1.7 Углы в четырехугольниках.

Углы в четырехугольниках.

Повторяем теорию.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (𝑛 − 2) ∙ 180⁰. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360⁰.

Свойства углов четырехугольников.

1.            В     параллелограмме    противоположные углы равны.

∠𝐴 = ∠𝐶, ∠𝐵 = ∠𝐷

2.            В      параллелограмме      сумма      углов, прилежащих к одной стороне равна 180⁰.

∠𝐴 + ∠𝐵 = 180⁰, ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180⁰

3.            В ромбе диагонали делят его углы пополам.

ABCD – ромб, то

∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐶, ∠𝐵𝐶𝐴 = ∠𝐷𝐶𝐴

∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐵𝐷, ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐶𝐷𝐵

4.            В ромбе диагонали перпендикулярны.

𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷

5.            В квадрате все углы прямые.

6.            В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

ABCD – равнобедренная трапеция, то

∠𝐴 = ∠𝐷, ∠𝐵 = ∠𝐶

Проверяем себя.

Т1. Выберите верные утверждения:

а) В параллелограмме есть два равных угла.

б) Если в ромбе один из углов 90°, то такой ромб – квадрат. в) В ромбе все углы равны.

г) Существует выпуклый четырехугольник, все углы которого острые. д) Существует выпуклый четырехугольник, все углы которого прямые. Ответ: а), б), д).

Т2. Выберите неверные утверждения:

а) В равнобедренной трапеции углы при основании равны. б) В параллелограмме сумма любых двух углов равна 180° в) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. г) Существует трапеция, все углы которой равны.

Ответ: б), г).

Т3. Выберите верное утверждение:

1)  Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

2)  Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом.

3)  Существует параллелограмм с углами 30° и 120°.

Ответ: 1.

Решаем задачи

1.     а) Один из углов параллелограмма равен 61°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 119

б) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 150°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 105

в) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 240°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

2.     а) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 16:29. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 116

б) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 11:61. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 152,5

в) Найдите меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 13:23. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 65

3.          а) Диагональ прямоугольника образует угол 50° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 80

б) Угол DOB между диагоналями прямоугольника 50°. Найдите угол СDО.Ответ дайте в градусах

Ответ: 25

в) Угол DOB между диагоналями прямоугольника 40°. Найдите угол между диагональю ВС и стороной ВD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 70

4.          а) В ромбе ABCD угол CBD равен 11°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 158

б) В ромбе ABCD угол DCA равен 63°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 27

в) В ромбе ABCD угол ABC равен 82°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 49.

5.          а) Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 46° и 1° соответственно. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 133

б) Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 129

в) Один из углов равнобедренной трапеции равен 55°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 125.

6.          а) Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 6⁰? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 93

б) Чему равен меньший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 25⁰? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 77,5

в) Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 80⁰? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 130

7.          а) Угол выпуклого четырехугольника равен 40°, второй угол на 65° больше, два других угла одинаковые. Найдите один из этих углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 107,5

б) Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите больший угол четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:144

в) Сумма трех углов четырехугольника 270°. Найдите четвертый угол.

Ответ дайте в градусах.

Ответ: 90.

Задачи с развернутым ответом

1.    Найдите острый угол прямоугольной трапеции, основания которой равны 18 и 9 и меньшая сторона равна 9. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45