3.32 Описанная около четырехугольника окружность

Описанная около четырехугольника окружность.

 Повторяем теорию.

Окружность называется описанной около четырехугольника,

если все вершины четырехугольника лежат на окружности.

В   этом   случае  четырехугольник   называют   вписанным   в окружность.

Свойства

1.     Около четырехугольника можно описать окружность (и притом только одну) в том и только в том случае, если суммы его противоположных углов равны 180^О.

АВСD вписан в окружность ⇔

∠𝐴 + ∠𝐶 = ∠𝐵 + ∠𝐷 = 180°

2.     Центром описанной окружности четырехугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

АВСD – вписан в окружность,

О – центр описанной окружности, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника

3.     Около параллелограмма можно описать окружность, только если он является прямоугольником.

4.     Около любого прямоугольника (а значит, и квадрата) можно описать окружность; центром этой окружности является точка пересечения диагоналей прямоугольника, а ее радиус равен половине диагонали прямоугольника.

5.     Около трапеции можно описать окружность в том и только в том случае, если она равнобедренная.

Проверяем себя.

Т1. Укажите верные утверждения:

а) Любой квадрат можно вписать в окружность.

б) Не любой прямоугольник можно вписать в окружность.

в) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. г) Не любой параллелограмм можно вписать в окружность.

Ответ: а), г)

Т2. Расположите номера заданий по возрастанию полученных градусных мер углов

а) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность.

б) Центральный угол, который опирается на дугу, равную 1/3 окружности.

в) Меньший угол четырехугольника, вписанного в окружность, если два угла этого угла четырехугольника 60° и 140°.

Ответ: в), а), б).

Т3. Если вы согласны с утверждением, отвечаете «да», если не согласны

«нет».

Ответ:

Решаем задачи.

1.     а) Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного

в окружность, равен 82°. Найдите угол     C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 98

б) Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного

в окружность, равен 48°. Найдите угол     C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 132

в) Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 71°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 109

2.                    а) Сторона   квадрата равна 8 √2 .    Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Ответ: 8

б) Сторона квадрата равна 12 √2 . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Ответ: 12

в) Сторона квадрата равна 14 √2 . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Ответ: 14

3.               а) Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 15 и 5√7.

Ответ: 10

√135.

Ответ: 8

в) Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 27 и √295.

Ответ: 16

4.              а) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 54°, угол САD равен 41°. Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 13.

б) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 132°, угол САD равен 80°. Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 52.

в) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 146°, угол САD равен 53°. Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 93.

5.              а) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Ответ: 8

б) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Ответ: 32

в) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 14√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Ответ: 28

6.                а) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Ответ: 4

б) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Ответ: 8

в) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 6√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Ответ: 12

7.              а) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Ответ: 4

б) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 6√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Ответ: 6

в) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 14√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Ответ: 14

Задачи с развернутым ответом

1.     В четырёхугольнике ABCD углы B и D — прямые. Диагональ AC образует со стороной AB острый угол в 40°, а со стороной AD - угол в 30°. Найдите острый угол между диагоналями AC и BD.

Ответ: 80°

2.     Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла (в последовательном порядке) относятся как 4:7:6. В ответе укажите больший из них в градусах.

Ответ: 126°