Абелевы группы. Общее определение группы

Абелевы группы и модули
Общее определение группы

01

02

03

01

«Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет»

Нильс Хенрик Абель — норвежский математик.

Родился 5 августа 1802 года в Финнёе в семье пастора. Исключительные математические способности начал проявлять с 16 лет.
Первая работа Абеля была посвящена интегральным уравнениям (1823). Важные исследования относятся к алгебре: он доказал, что
алгебраические уравнения степени выше 4-й в общем случае неразрешимы в радикалах. Указал также частные типы уравнений, разрешимых в радикалах.

Коммутативные группы абелевыми впервые назвал Жордан в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, поскольку Абель доказал, что корни многочлена выражаются в радикалах в случае, когда группа многочлена является коммутативной.

Систематическое изучение абелевых групп началось только в XX веке. Первые работы по абелевым группам относятся к 1917—1925 годам и принадлежат Леви и Прюферу. К начальному этапу изучения абелевых групп также относятся труды Ульма, Бэра, Понтрягина, Куроша и Мальцева.

В 1940-е годы интерес к абелевым группам был менее высок, чем в предыдущие и последующие годы. Однако именно в этот период произошло выделение теории абелевых групп в самостоятельное направление общей алгебры, во многом это произошло благодаря работам Куликова.

02

Группой называется множество A с операцией ∗, такой что:
0) для любых a,b ∈ A a∗b ∈ A (множество A замкнуто относительно операции ∗);
1) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c для любых a,b, ∈ A (ассоциативность);
2) существует такой элемент e ∈ A, что a ∗ e = e ∗ a = a для любого a ∈ A (нейтральный элемент);
3) для любого a ∈ A существует такой элемент a−1 ∈ A, что a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e (обратный элемент).

Множество A называется Абелевой (или коммутативной) группой относительно операции ∗, если оно является группой относительно этой операции, и, кроме того, операция коммутативна, т.е. a ∗ b = b ∗ a для любых a,b ∈ A.
Часто группы обозначают парой множество-операция: (A,∗).

если ϕ,ψ,χ ∈ Sn, то ϕ(ψχ) = (ϕψ)χ (ассоциативность композиции);

существует тождественная подстановка n-й степени e ∈ Sn (иногда обозначают id), которая оставляет все символы на месте, причём σe = eσ = σ для любой σ ∈ Sn;

для любой σ ∈ Sn существует обратная подстановка σ−1 ∈ Sn, такая что σσ−1 = σ−1σ = e.

для любых σ,τ ∈ Sn τσ ∈ Sn (Sn замкнуто относительно операции композиции);

Однако только коммутативной операция композиции не является(пример был приведён выше). Это значит, что множество Sn не является абелевой группой. Но, если так можно сказать, "почти" является. Более строго, множество Sn образует группу относительно операции композиции.

Все те числовые множества, что были приведены в начале являются абелевыми группами, а значит, являются и группами.

Множество движений плоскости (т.е. преобразований плоскости, сохраняющих расстояние) является неабелевой группой (две осевые симметрии не всегда коммутируют).

Примеры показывают, что группы бывают как конечными, так и бесконечными. Конечная группа может быть задана своей таблицей умножения. Так, множество G = {e,a,b,c} с таблицей умножения является абелевой группой.

03

Абелевы группы бесконечного порядка приводят к глубоким вопросам о теории множеств, которая, как обычно считается, лежит в основе всей математики.

При изучении алгебраических систем большую роль играют отображения этих систем, среди которых особое значение имеют гомоморфизмы.

Таким образом, изучение абелевых групп оказало значительное влияние на развитие алгебры и смежных областей математики.