«Длина окружности и площадь круга»: «Зернышко в квадратном поле»

 «Длина окружности и площадь круга»:

«Зернышко в квадратном поле»

                                       Автор:

                                                                                            Сорочан Алла Викторовна,

                                                                                                    учитель математики ГБОУ СОШ № 447

Будучи очень заинтересованным учителем, я изучаю математические журналы по предмету, интересуюсь разработками своих коллег, собираю материалы интересных уроков, знакомлюсь с современными технологиями обучения школьников. Материалы с  интересными  разработками  храню, в некотором смысле «коллекционирую»,  периодически перечитываю, какие-то использую в своей работе,  а некоторые материалы  ждут своего часа. Однажды  в «Учительской газете» я познакомилась со  статьёй  Алексея Азевича  «Зёрнышко в квадратном поле». Меня  очень заинтересовала эта   статья.   И вот, получив предложение участвовать в фестивале «Использование информационных технологий в образовательной деятельности» ,  я поняла, что материал, который я храню уже много лет, к которому постоянно возвращаюсь в мыслях,   соответствует проблеме, которую я выбрала в качестве методической темы,  и который  ждёт своего  воплощения в качестве разработки урока, «обогащённого»  использованием современных информационных технологий.  Я очень старалась  соответствовать уровню автора статьи и сделать урок полезным и интересным для моих учеников и моих коллег - учителей математики.  А ещё хочу,  чтобы   идея занимательного урока, предложенная  Алексеем Азевичем  нашла своё воплощение  в  жизни     и служила  решению проблемы   формирования    у обучающихся   навыков  анализа,  критического осмысления  ситуации, умения ориентироваться в новых условиях, ставить перед собой цели и достигать их, не только владеть определённой суммой знаний, умений и навыков, но и уметь находить пути решения возникающих проблем. А  главное,  показала, что математика удивительно красивая и увлекательная наука, в которой есть место сказке, фантазии, и которую можно и нужно изучать  увлекательно и с наслаждением…

Впервые ученики встречаются с площадью в начальной школе. Затем это понятие появляется в шестом классе при нахождении площади круга. Наконец, более подробно и систематично данная тема изучается в курсе геометрии девятого класса, где выводятся формулы для вычисления площадей уже хорошо знакомых фигур:  треугольника, четырёхугольников, круга. Тем не менее, у многих учеников часто складывается мнение, что площадь связана только с такими  «стандартными» фигурами, как квадрат, треугольник, круг.

Урок, о котором идет речь,  разработан с целью  развеять эти обманчивые представления,  познакомить с разнообразием  задач на вычисление площадей нестандартных фигур.

При их конструировании вполне допустимо и даже необходимо использование обычных геометрических фигур. Высказанную мысль можно проиллюстрировать серией задач на нахождение площадей оригинальных фигур, которые можно  построить вместе с детьми. Такого рода задачи нужны не только для проверки знания формул, умения выполнять тождественные преобразования выражений, но и для достижения более значимой в обучении цели - развития творческого мышления учеников, формирования их интереса к математике.

В течение  урока учащиеся включаются в работу по просмотру презентации, решают задачи на доске и в тетрадях, анализируют полученные результаты. Процесс построения чертежей достаточно трудоёмкий, поэтому использование чертежей,  заранее выполненных  в презентации, дает возможность сэкономить время  на решение большого объёма задач, сложность которых усложняется от задачи к задаче.  Учащиеся знакомятся с «оригинальными» задачами, учатся применять навыки вычисления площадей в нестандартных ситуациях, осознавая, что от решения задач можно получать не только практическое, но и эстетическое  удовольствие. Форма работы на уроке может быть как групповой,  в  парах, так и индивидуальной, когда учащиеся решают в течение некоторого времени поставленную задачу, а затем обсуждают полученные результаты, анализируют допущенные ошибки. Учитель  следит за обсуждением задач, указывает на ошибки, следит за временем, даёт оценку ответам обучающихся.  В результате проведения урока учитель ставит перед собой и обучающимися такие цели, как  закрепление  навыков  использования изученных формул для вычисления площадей изученных фигур: треугольника,  параллелограмма, квадрата, круга ; знакомство с   задачами на нахождение площадей «оригинальных»  фигур; развитие  творческого мышления учеников, формирование их интереса к математике;  активизация мыслительной деятельности обучающихся; развитие ключевых компетенций: коммуникативной, социальной, информационной, рефлексивной. Чтобы добиться успеха в  достиженииэтих целей приходится повторить  формулы для вычисления площадей изученных фигур: треугольника,    параллелограмма, квадрата, круга, отработать навыки тождественных преобразований выражений; решить задачи на нахождение площадей «оригинальных» фигур.

Во вступительном слове учитель сообщает ученикам, что урок будет необычным, что они попадут в  сказку с названием «площадь». Ведь и взрослым детям иногда хочется погрузиться в волшебный мир приключений.

Итак, сказка начинается. Для того чтобы вырастить цветок, нужно бросить в землю зерно. Только благодаря заботе и должному уходу из него вырастет то, что потом будет радовать глаз красотой и совершенством. Давайте  и  мы бросим зерно мысли в поле площадей. Для этого найдём площадь «зерна»,  расположенного в квадрате с длиной стороны а (рис . 1)  

Такие же измерения квадрата  сохранятся во всех последующих задачах. Слушая математическую сказку, будем решать задачи на нахождение площадей геометрических фигур. Приступим к задаче 1, в которой требуется определить площадь фигуры, изображенной на рис. 1 . Так как формулировка задачи понятна из самого содержания сказки, то в дальнейшем будем лишь приводить номера задач и ответы к ним. ЗАДАЧА  1.

 ОТВЕТ :  

Но только ли одно зёрнышко может уместиться в нашем квадратном поле? Нельзя ли расположить в нём четыре?  Как видно  на рис. 2, это вполне возможно.

Глядя на рисунок, думаем, а может, это вовсе  и не зёрнышки, а контуры будущего цветка? Определим его площадь.

ЗАДАЧА 2.

ОТВЕТ:

 Интересно, что ответы в двух первых задачах получились одинаковые. Но впереди ещё много таинственных неожиданностей.

Бросая зёрна в землю, мы не заметили, что  одно «зёрнышко» легло в землю не так, как хотелось бы. (рис. 3).

Вырастет ли из него цветок?

Наше зёрнышко легло в землю неровно, наверное,  поэтому  и  ЗАДАЧА 3 получилась труднее предыдущих.

ОТВЕТ:  
.

 Преодолеть трудности поможет опыт,  накопленный  в начале пути. Вновь будем использовать хорошо знакомые фигуры - квадрат, круг и их части.

Изрядно потрудившись с последней задачей, надо бы отдохнуть. Приложим голову к «подушке» (рис.4),  а заодно найдём её площадь . ЗАДАЧА 4.

ОТВЕТ :
 .

Решив задачу и отдохнув на подушке, мы погрузились в сказочный сон. На живописном небе повисли воздушные белоснежные облака. Они уносились вдаль, превращаясь в грациозных лебедей. Потом приближались, напоминая парусники, гонимые попутным ветром. Причудливые, невесомые формы так быстро изменялись, как будто скрывали величины своих площадей. Мы всматривались в лазурную голубизну неба, летали, прикасаясь к тёплому белому покрывалу. Было непостижимо приятно погружаться в его мягкую и прозрачную ткань. И всё-таки нам захотелось домой - на землю. Откуда ни возьмись, появился парашют (рис. 5).

 Он очень пригодился. Мы медленно спускались с парашютом, по ходу движения решая  ЗАДАЧУ 5.

  ОТВЕТ: .

С высоты птичьего полёта захватывало дух. Сердце наполнялось новыми ощущениями, и от этого казалось очень большим (рис.6).

Оно трепетало и замирало от нахлынувших впечатлений. Один наш путешественник обнаружил у себя необыкновенные способности -  нашёл площадь невидимого нам сердца. ЗАДАЧА 6.

 ОТВЕТ:  .

Внизу простирались зелёные леса и голубые озёра. Необычные большекрылые птица летали над раскидистыми деревьями. Приближаясь к земле, мы заметили на поверхности прозрачно - голубого озера серебристую рыбку, которая весело плескалась в воде. Игрунья поразила нас своей изящной формой (рис.7).

 Это заставило задуматься о её площади. ЗАДАЧА 7.

ОТВЕТ:  .

Спрыгнув на берег озера, и в последний раз посмотрев на уплывающую рыбку, мы заметили неподалёку красивый домик, похожий на грибок (рис.8).

Дом стоял на высоком холме. Солнечные лучи грели его хрустальную крышу, отражаясь от неё сотнями золотых бликов. Необъяснимая сила тянула к «грибку». А может, это было желание поскорее найти его площадь - ЗАДАЧА 8.

 ОТВЕТ:    .

Мы с упоением восхищались волшебным созданием. Казалось, что хрустальный дворец вот-вот исчезнет.

Прошло какое-то время, прежде чем мы всё отчётливо рассмотрели. Из дома вышла улыбающаяся девушка в разноцветном фартуке (рис.9).

У неё приветливая улыбка, добрый взгляд. Знакомясь с хозяйкой  дома (у неё было необычное имя Площания) и рассказывая о проделанном путешествии, мы незаметно окинули взором фартук и нашли его площадь.  ЗАДАЧА 9.

ОТВЕТ:
. 

Нам так не хотелось уходить из этого уютного и красивого дома. Но надо было торопиться домой. Ещё раз посмотрев на «Грибок», мы устремились вперёд по желтой дорожке, ведущей к озеру.

 На пути увидели квадратную клумбу, в которой рос один-единственный цветок (рис. 10). Он был правильно симметричным и совсем не походил на другие земные цветы. Теперь было ясно, что всё кругом состояло из волшебно-геометрических созданий. Восторгаясь творениями неизвестного сказочника, мы определяли элементы симметрии цветка, находили его площадь . ЗАДАЧА 10. ОТВЕТ:  .

 Вокруг росли другие необычные цветы. Они наполняли воздух кружащим голову ароматом. Яркие бабочки летали над цветами, словно хвалясь перед нами своей совершенной формой.

Всё вокруг дышало покоем, простотой и гармонией. И нам так не хотелось  возвращаться из этой удивительной математической сказки…

Использованная литература:

            4.1. А. Азевич  «Зёрнышка в квадратном поле», «Учительская газета»,

                  4.2. Учебник геометрии для 7-9 классов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,  С. Б. Кадомцев и             

                  и  др.