Двоичное представление информации. Поиск основания системы счисления. Решение уравнений. Подсчет количества единиц (нулей, двоек и т.д.)в записи выражения в системе счисления с основанием n

РМО учителей информатики. Тема. Двоичное представление информации. Поиск основания системы счисления. Решение уравнений. Подсчет количества единиц (нулей, двоек и т.д.)в записи выражения в системе счисления с основанием n.  Задания данного типа относятся к заданиям базового уровня и требуют навыков   прямо   применять   изученное   правило.   В   ЕГЭ   это   единственное задание на воспроизведение знаний и умений. Несмотря на простоту данных заданий, здесь важно не просто обладать знаниями о методах перевода между различными   системами   счисления   и   представления   чисел   в   памяти компьютера,   но   делать   это   быстро,   четко,   наиболее   простым   и   удобным способом. Максимальное количество времени, которое можно потратить на выполнение таких заданий во время экзамена, ­ не более 1 минуты. Очень важна   практика,   почти   автоматизм   в   выполнении   действий.   Большинство ошибок, совершаемых в таких заданиях, следуют из­за невнимательности и арифметических неточностей. Что нужно знать! (взяла у К. Полякова – что нравится: кратко, четко, без воды!)  перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления») Полезно помнить, что в двоичной системе:   четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1; числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей если число N принадлежит интервалу 2k-1  N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125: 26 = 64  125 < 128 = 27, 125 = 11111012 (7 цифр) числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц,     нулей, например: 16 = 24 = 100002 например: 15 = 24-1 = 11112 если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например: 15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002  желательно выучить наизусть таблицу двоичного представления чисел 0-7 в виде триад (групп из 3-х битов);    и таблицу двоичного представления чисел 0-15 (в шестнадцатеричной системе – 0-F16) в виде тетрад (групп из 4-х битов); отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде; для перевода отрицательного числа (­a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции: o перевести число a­1 в двоичную систему счисления; o сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки; o прибавить единицу. Рассмотрим на конкретных примерах: 1. Поиск основания системы счисления. Пример 1. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание. Решение Обозначим искомое основание х. Тогда, запишем число 30х запишем через развернутую форму записи числа.   27 = 30х = 0 ∙ х0+ 3 ∙ х1 = 3 ∙ х .То есть х = 27: 3, х = 9  Ответ: 9. Задания для самостоятельного решения по аналогии. Задача 1. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13  записывается в виде 111. Укажите это основание.  P.S.  а. число 111х переводим в 10 сс через развернутую форму записи числа: 111х = 1∙х0 + 1∙х1 + 1 ∙х2; х2 + х + 1 = 13; х2 + х ­12 = 0. б. При решении  квадратного уравнения через дискриминант исключаем  отрицательный корень, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным! Ответ: 3. Задача 2. Укажите наибольшее число, двоичная запись которого содержит  ровно три значащих нуля и две единицы. Ответ запишите в десятичной СС. PS   .  а. Значащие нули НЕ могут располагаться в самом начале числа. В начале – единица! б. Вспомним формулу перевода двоичного числа в десятичное: чем левее в  двоичном числе единица, бОльшая степень двойки входит в качестве  слагаемого в эту запись. Следовательно, максимальное значение двоичного числа получится, если все единицы будут в старших разрядах. в. Так как требуется, чтобы в записи числа было ровно три значащих нуля  и две единицы – число 5­разрядное. Логично предположить, что это число 110002. Г. Смотрим на условие задания: ответ должен быть представлен в 10сс.  Переводим из 2сс в 10 сс через развернутую форму записи числа.  110002 = 24 + 23 = 16+8=24 Ответ: 24 2. Решение уравнений. Пример 2. Решите уравнение: 121х + 110 = 1017. Ответ запишите в троичной  системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Решение 121х+ 110= 1017   Переведем все числа в десятичную систему счисления: 1∙х0 + 2∙х1+ 1∙х2 +1 = 1 • 70 + 0 •71 + 1∙72; 1 + 2∙х + х2+1 = 1 + 49; х2 + 2∙ х — 48 = 0. Квадратное уравнение имеет корни — 8 и 6. х = 610 (так как основание системы не может быть отрицательным). 610 = 203. Ответ: 20.  Задание для самостоятельного решения по аналогии. Задача 3. Известно, что для целого числа х выполнено: 334+х  ­ 334 = 3310.  Определите значение х. Ответ запишите в десятичной СС. P.S. Преобразование обоих недесятичных чисел в десятичную СС. Ответ 11. 3. Подсчет количества единиц (нулей, двоек и т.д.) в записи выражения в системе счисления с основанием n. Для   решения   этого   типа   задач   нужно   вспомнить,   как   происходит сложение и вычитание  «в столбик». В двоичной системе счисления количество значащих нулей легко найти как разность общего количества разрядов в числе и количества единиц в нем, поэтому если знаем количество нулей в двоичной СС, то можно легко найти количество единиц. При   сложении   в   системах   счисленияпроисходит   поразрядное суммирование записанных друг за другом цифр, начиная с младших разрядов. В системах счисления,   отличных от 2 сс, в случае, если полученная сумма двух   цифр   больше   или   равна   основанию   системы   счисления,   под суммируемыми   цифрами   записывается   остаток   от   деления   этой   суммы   на основание   системы,   а   целая   часть   от   деления   этой   суммы   на   основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов. При   вычитании   происходит   поразрядное   вычитание   записанных   друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше   второй,   мы   «занимаем»   у   соседнего   (большего)   разряда   единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В привычной 10 сс – это 10, в двоичной – это 2, в троичной – это 3 т.д. Пример 3. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:  81000 + 4500 – 2250 + 3? Решение: 1. Все числа, кроме последнего, представим как степени двоек ( 8 = 23, 4 = 22).   Число   3,   учитывая   ограниченное   число   единиц   в   его   двоичной записи (всего 2 единицы), просто переведем в 2 сс (112) и так запишем, получим выражение: 23000 + 21000 – 2250 + 112. 2. Вспоминаем шпаргалки  К. Полякова: двоичное число вида 2N содержит одну единицу в позиции с номером  N  (при общепринятой нумерации позиций   справа   налево,   начиная   с   нуля)   и  N  нулей   в   последующих позициях. 3. Прежде   чем   перейти   к   непосредственному   нахождению   значения данного   выражения,   вспомним   операции   сложения   и   вычитания   в двоичной системе счисления: 3.1. При сложении двух двоичных чисел 2N и 2М (считая, что N >M) мы в число, состоящее из единицы в  N­ой позиции и остальных нулей, просто добавляем еще одну единицу в позицию с номером М. пример: 25 + 23 = 1000002 + 10002 = 1010002 разряды 25 в двоичной сс 23 в двоичной сс сумма 5  1 1 4 0 0 3 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.2. Вычитание   двоичной   единицы   из   двоичного   нуля   производится заёмом из предыдущих разрядов. При этом заём распространяется влево,   пока   не   дойдёт   до   первой   же   встреченной   единицы.   Эта единица и затрачивается на очередной заем, а далее вправо в числе уже ничего не меняется. Пример:  100000 001000 011000 Тем самым при вычитании двоичных чисел 2N и 2М (N >M) за счет заёмов из старших разрядов получаем число, в котором сначала записаны N – М единиц ( в нашем случае 5­3 = 2 единицы), а затем М нулей (в нашем случае – 3 нуля).  Еще   28 – 23 = 100000000 – 1000 =  пример этому: к       8 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 0 1 0 0 0                                                                 единица в позиции 8 затрачена на заёмы 4. Используя   эти   знания,   продолжаем   решение   задачи   для   полученного выражения 23000 + 21000 – 2250 + 112. Первое значение 23000 дает нам одну единицу в позиции 3000. Пара значений 21000 – 2250 дает нам число, в котором имеется 750 единиц (1000­250). Сложение это числа с первым дает в сумме 751 единицу, а последние число   112  (уже   представленное   в   двоичной   СС)   добавляет   еще   2 единицы. Итого получаем: 751 (единица) + 2 (единицы) = 753 единицы. Ответ: 753. Пример 4. Значение арифметического выражения 3432017 + 49500 – 7777 + 3 записано в системе счисления с основанием 7. Сколько шестерок и сколько значащих нулей содержится в этой записи? Решение. 1. Представляем все числа как степени семерок: 3432017 + 49500 – 7777 + 3 = (73)2017 + (72)500 ­ 7777 + 3 = 76051 + 71000 ­7777 + 3. Проверим, что степени записаны в порядке убывания. 2. Самое   первое   значение   3432017  дает   только   единицу,   поэтому   в подсчетах   шестерок   не   участвует.   Нам   важно   лишь   количество разрядов в семеричном числе, очевидно, равно 2018, и из них  2017 нулей. 3. Разность 71000 – 7777 дает 1000­777 = 223 шестерки (все остальное – нули). 4. Последняя тройка нас тоже не интересует, отметим просто, что этот последний разряд числа получается ненулевым.  5. Тогда   количество  шестерок  в   значении   выражения   равно   223, количество нулей вычисляется как 2017­223­1 =  1793, где 2017 – количество   нулей   в   числе  3432017  в  троичной   записи   числа,  223 – количество шестерок от разности 71000 – 7777, а 1 – число 3. Ответ: 223 шестерки и 1793 нуля. Встречаются также задания на поиск чисел в выражениях, содержащих два и более вычитаний подряд, например: Пример 5. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8256 + 16256 – 2128 – 245? Решение. Прежде   всего   заметим,   что   в   двоичной   системе   счисления   количество значащих нулей легко найти как разность общего количества разрядов в числе и   количества   в   нем   единиц,   поэтому   данная   задача,   по   сути   на   поиск количества единиц в числе. 1. Представляем   все   числа   как   степени   двоек.   Число   245   представим выражение 256­8­2­1 и тоже посредством степеней двоек: 8256 + 16256 – 2128 – 245 = 2768 + 21024 – 2128 – (28 – 23 – 21 – 20)  =  = 2768 + 21024 – 2128 ­ 28 + 23 + 21 + 20. 2. Перепишем выражение по убыванию степеней двоек: 2768 + 21024 – 2128 ­ 28 + 23 + 21 + 20 = 21024+2768– 2128 ­ 28 + 23 + 21 + 20. 3. Можно   было   бы   применить   уже   занкомое   нам   правило   определения количества   единиц   в   разности   чисел,   но   здесь   у   нас   идет   сразу   два вычитания   подряд.   Попытаемся   свести   эту   разность   к   сумме   двух отдельных разностей ! запомним правило (нашла в одном справочнике по подготовке к ЕГЭ!): ­2N = ­2N+1 + 2N. Пользуясь этим правилом, заменим число ­2128 на сумму  ­ 2129 + 2128.  Получаем: 21024+2768– 2128 ­ 28 + 23 + 21 + 20 = 21024+2  768   – 2   8 + 23 + 21 + 20.  129 + 2  128   ­ 2  4. Теперь в выражении имеем две отдельные разности степеней двоек и  операции сложения, с которыми работать мы умеем. Производим  подсчет единиц: 21024 дает 1 единицу; разность 2  768   – 2  (768­129 = 639); разность 2  128   ­ 2   8 дает еще 120 единиц (128­8 = 120), а  каждое слагаемое из суммы 23 + 21 + 20 добавляет по 1 единице. Всего  получится 1 + 639 + 120 + 1 + 1 + 1 = 763 единицы.  129 дает 639 единиц  5. Находим количество значащих нулей: общее количество значащих  нулей определяется самой старшей степенью двойки, в нашем случае – числом 21024. Такое число, как мы знаем, содержит единицу в старшем  разряде и 1024 нуля после нее, т.е. общая длина знаков 1025. Тогда  количество значащих нулей в ответе равно 1025­763 = 262. Ответ: 262. 1. Поляков К.Ю. http  2. Есакова Л.Б. Информатика: авторский курс подготовки к ЕГЭ,2018.  .  ru; Использованная литература:  ://   kpolyakov  .  spb 3. Самылкина Н.Н. ЕГЭ 2019. Информатика: задания, ответы,  комментарии. 2018. 4. Задания открытого банка ФИПИ. Подготовила Миндалиева Карлгаш Серекбаевна,  учитель информатики МОУ – СОШ с. Приволжское  Марксовского района Саратовской области Раздаточный материал 1. В   системе   счисления   с   некоторым   основанием   десятичное  число   27 записывается в виде 30. Укажите это основание. 2. В   системе   счисления   с   некоторым   основанием   десятичное   число   13 записывается в виде 111. Укажите это основание. 3. Решите уравнение: 121х + 110 = 1017. Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). 4. Известно,   что   для   целого   числа   х   выполнено:   334+х  Определите значение х. Ответ запишите в десятичной СС.   ­   334  =   3310. 5. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:  81000 + 4500 – 2250 + 3? 6. Значение арифметического выражения 3432017 + 49500 – 7777 + 3 записано в   системе   счисления   с   основанием   7.   Сколько   шестерок   и   сколько значащих нулей содержится в этой записи? 7. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8256  + 16256  – 2128  – 245? 1. В   системе   счисления   с   некоторым   основанием   десятичное  число   27 записывается в виде 30. Укажите это основание. 2. В   системе   счисления   с   некоторым   основанием   десятичное   число   13 записывается в виде 111. Укажите это основание. 3. Решите уравнение: 121х + 110 = 1017. Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). 4. Известно,   что   для   целого   числа   х   выполнено:   334+х  Определите значение х. Ответ запишите в десятичной СС.   ­   334  =   3310. 5. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:  81000 + 4500 – 2250 + 3? 6. Значение арифметического выражения 3432017 + 49500 – 7777 + 3 записано в   системе   счисления   с   основанием   7.   Сколько   шестерок   и   сколько значащих нулей содержится в этой записи? 7. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8256  + 16256  – 2128  – 245? 1. В   системе   счисления   с   некоторым   основанием   десятичное  число   27 записывается в виде 30. Укажите это основание. 2. В   системе   счисления   с   некоторым   основанием   десятичное   число   13 записывается в виде 111. Укажите это основание. 3. Решите уравнение: 121х + 110 = 1017. Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). 4. Известно,   что   для   целого   числа   х   выполнено:   334+х  Определите значение х. Ответ запишите в десятичной СС.   ­   334  =   3310. 5. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:  81000 + 4500 – 2250 + 3? 6. Значение арифметического выражения 3432017 + 49500 – 7777 + 3 записано в   системе   счисления   с   основанием   7.   Сколько   шестерок   и   сколько значащих нулей содержится в этой записи? 7. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8256  + 16256  – 2128  – 245? Полезно знать! (Взято у К.Ю. Полякова http    четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1; числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа,  ://   kpolyakov  .  spb   .  ru ) которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей если число N принадлежит интервалу 2k-1  N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125: 26 = 64  125 < 128 = 27, 125 = 11111012 (7 цифр) числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц,  если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например: 15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002 ­2N = ­2N+1 + 2N;  для перевода отрицательного числа (­a) в двоичный  дополнительный код нужно сделать следующие операции: o перевести число a­1 в двоичную систему счисления;      нулей, например: 16 = 24 = 100002 например: 15 = 24-1 = 11112. o сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки; o прибавить единицу. Необходимо знать наизусть таблицу двоичного представления чисел 0-7 в виде триад Х10, х8 Х2 000 001 010 011   0 1 2 3 Х10, х8 4 5 6 7 Х2 100 101 110 111 и таблицу двоичного представления чисел 0-15 (в шестнадцатеричной системе – 0-F16) в виде тетрад. Х10 0 1 2 3 4 5 6 7 Х2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Х2 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Х10 8 9 10 11 12 13 14 15 Х16 8 9 A B C D E F