Электронный курс лекций «Математический анализ». Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.

Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения. 

к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е.Раменское, 2015

Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.
Действительные числа

Множество всех действительных чисел обозначается R. Его подмножества называются числовыми.

Операции сложения. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их суммой и обозначаемое a+b, такое, что при этом выполняются следующие условия:

1.1

1.2

1.3 Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что

1.4 Для любого числа

, существует число называемое ему противоположным

и обозначаемое –а, для которого

Число

называется разностью чисел и обозначается

2.Операции умножения. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их произведением и обозначаемое ab, такое, что при этом выполняются следующие условия:

2.1

2.2

2.3 Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что

2.4 Для любого числа

существует число называемое ему обратным и обозначаемое

, для которого

3.Связь операций сложения и умножения

4.Упорядоченность
Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо

транзитивность. Если a и b, то a
если a то для любого числа c имеет место a+c
если a>b и c>0, то ac>bc

5.Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств Х и У, таких что для каждой пары чисел ,

выполняется неравенство

существует число а, удовлетворяющее условию

Х У
_________|_|_|_|_|_______________|_|_|_|_|___________
х а у

Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел.

Для любого числа

и натурального n степень

определяется как

произведение n

сомножителей, равных a.

Пусть a>0 , а n натуральное число. Число b называется корнем n-й степени из числа a, если

. Обозначение

. Неотрицательное значение корня

называется его арифметическим значением.

Если

, где p и q – целые,

, т. е. r –рациональное число, то для a>0

Для любого числа

неотрицательное число

называется

абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля

Расширенная числовая прямая. Окрестности.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.
Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через и - (плюс бесконечность и минус бесконечность). Считаем по определению, что выполняется неравенство . Множество действительных чисел R дополненное этими символами называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается . Бесконечности называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, остальные точки называются конечными точками числовой прямой.
Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой .

Пусть

Множество

- отрезок;

Множество

- интервал;

Множество

- полуинтервал;

Множество

- полуинтервал;

Все они – промежутки расширенной числовой прямой.

a,b – концы промежутков;

a – внутренние точки;

b-a – длина промежутка ( сам промежуток – конечный).

Важным является понятие окрестности конечной и бесконечно удаленной точки числовой прямой.

Если

, то

- окрестностью

числа а называется интервал

, то есть

В случае

В случае

Предел последовательности
Одной из важнейших операций мат. Анализа является операция предельного перехода. Рассмотрим простейшую форму предельного перехода, основанную на понятии предела числовой последовательности.
1.Числовые последовательности
В элементарном курсе математики было дано понятие последовательности, и примерами могут служить арифметическая и геометрическая прогрессия.
Определение Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел

(1)

называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности

Элемент или член последовательности

. Например,

соответственно

Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями.

Пусть даны последовательности

. Соответственно:

или

- сумма последовательностей;

или

- разность последовательностей;

или

- произведение последовательностей;

или

- частное последовательностей.

2.Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 1. Последовательность

называется ограниченной сверху (снизу),

если существует такое число M (число m), что каждый элемент

последовательности

удовлетворяет неравенству

M – верхняя грань; m – нижняя грань.

- условие ограниченности

последовательности сверху (снизу).

Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству

M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где

Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Примеры:
1)Последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.
2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена.
3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.

3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Введем определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству
Замечание 1
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Замечание 2
Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Пример:
Неограниченная последовательность 1,2,1,3,…,n,… не является бесконечно большой, поскольку при А>1 неравенство не имеет места для всех элементов с нечетными номерами.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Рассмотрим пример:

,

Последовательность

При |q|>1 – бесконечно большая;

При |q|<1 – бесконечно малая.

Докажем первое утверждение

Если |q|>1, то

.

Используя формулу бинома Ньютона, получаем

элементы. Отсюда

.

Фиксируем

и выбираем номер N столь большим, чтобы имело место неравенство

. Из этого неравенства и неравенства (1) следует неравенство

. Так как,

при

. Тем самым доказано, что при |q|>1

рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.
Второе утверждение доказывается аналогично, применяя бином Ньютона и определение бесконечно малой последовательности.

Свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема 1
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство
Пусть - бесконечно малые последовательности.
Докажем, что - бесконечно малая последовательность

Пусть

- произвольное число.

- номер, начиная с которого

- номер, начиная с которого

Так как

, то, обозначая

, получаем, что,

начиная с некоторого номера N выполняется неравенство

. Это означает, что

- бесконечно малая.

последовательность

Теорема 2
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство аналогичное, только, вместо

берем

Следствие Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство

Пусть

- бесконечно малая последовательность. Пусть

- произвольное

число.

Пусть N – номер, начиная с которого

. Обозначим через

Очевидно, что

для

ограниченность последовательности.

.

, что означает

Теорема 4
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство
Пусть - бесконечно малая последовательность;
Пусть - ограниченная последовательность.

Так как

- ограниченная последовательность, то

, что

.

Возьмем

- произвольное число. Так как

последовательность, то для положительного числа

можно указать N такой, что при

выполняется

- бесконечно малая

неравенство

.

Тогда при

.

Поэтому последовательность - бесконечно малая.
Следствие
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Замечание
Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.
Например

бесконечно большая последовательность

бесконечно малая последовательность

Если бесконечно много элементов последовательности

равны 0, то последовательность

Теорема 5
Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0.
Доказательство

не имеет смысла.

Пусть

, положим

. Начиная с номера N, соответствующему этому

выполняется неравенство

. Так как

, а

, то

-

противоречие.

Теорема 6
Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого

номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой

последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности

не равны 0, то последовательность - бесконечно большая.

Доказательство
Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного A>0, существует N, начиная с которого

Это означает, что при

все элементы

,

.

тогда последовательность

имеет смысл, если ее элементы рассматривать,

начиная с номера

. Докажем теперь, что

бесконечно

малая последовательность.

Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при

выполняется неравенство . Поэтому, начиная с указанного номера N. Будет

выполняться неравенство , то есть доказано, что последовательность

- бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

Сходящиеся последовательности и их основные свойства
Определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности . В соответствии с эти определением всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число 0.
Другое определение

Последовательность

называется сходящейся, если существует такое число а,

что

можно указать номер

, такой, что при

все

удовлетворяют

неравенству

(1). Число а – предел последовательности.

Символическая запись

или

при

.

Бесконечно большую последовательность иногда называют последовательностью, сходящейся к бесконечности. Символическая запись .
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера имеют определенный знак, то последовательность сходится к бесконечности определенного знака. Символическая запись
Замечание 1
Неравенство (1) эквивалентно неравенствам . Эти неравенства означают, что элемент находится в - окрестности числа а (это интервал ).
Еще определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что в - окрестности числа а находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение сходящейся последовательности утверждает, что разность - бесконечно малая последовательность. Следовательно, всякий элемент сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде (2), где - элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 2
Из определения предела последовательности, очевидно, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой последовательности и на величину этого предела.

.

или