Поделиться
Лекция 1. Последовательности основные понятия.ppt
Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.
к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е. Раменское, 2015
Электронный курс лекций
«Математический анализ»
Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.
Действительные числа
Множество всех действительных чисел обозначается R. Его подмножества называются числовыми.
Операции сложения. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их суммой и обозначаемое a+b, такое, что при этом выполняются следующие условия:
1.1
1.2
1.3 Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что
1.4 Для любого числа
, существует число называемое ему противоположным
и обозначаемое –а, для которого
Число
называется разностью чисел и обозначается
2.Операции умножения. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их произведением и обозначаемое ab, такое, что при этом выполняются следующие условия:
2.1
2.2
2.3 Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что
2.4 Для любого числа
существует число называемое ему обратным и обозначаемое
, для которого
3.Связь операций сложения и умножения
4.Упорядоченность
Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо
транзитивность. Если a
если a
если a>b и c>0, то ac>bc
5.Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств Х и У, таких что для каждой пары чисел ,
выполняется неравенство
существует число а, удовлетворяющее условию
Х У
_________|_|_|_|_|_______________|_|_|_|_|___________
х а у
Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел.
Для любого числа
и натурального n степень
определяется как
произведение n
сомножителей, равных a.
Пусть a>0 , а n натуральное число. Число b называется корнем n-й степени из числа a, если
. Обозначение
. Неотрицательное значение корня
называется его арифметическим значением.
Если
, где p и q – целые,
, т. е. r –рациональное число, то для a>0
Для любого числа
неотрицательное число
называется
абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля
Расширенная числовая прямая. Окрестности.
Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.
Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через и - (плюс бесконечность и минус бесконечность). Считаем по определению, что выполняется неравенство . Множество действительных чисел R дополненное этими символами называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается . Бесконечности называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, остальные точки называются конечными точками числовой прямой.
Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой .
Пусть
Множество
- отрезок;
Множество
- интервал;
Множество
- полуинтервал;
Множество
- полуинтервал;
Все они – промежутки расширенной числовой прямой.
a,b – концы промежутков;
a
b-a – длина промежутка ( сам промежуток – конечный).
Важным является понятие окрестности конечной и бесконечно удаленной точки числовой прямой.
Если
, то
- окрестностью
числа а называется интервал
, то есть
В случае
В случае
Предел последовательности
Одной из важнейших операций мат. Анализа является операция предельного перехода. Рассмотрим простейшую форму предельного перехода, основанную на понятии предела числовой последовательности.
1.Числовые последовательности
В элементарном курсе математики было дано понятие последовательности, и примерами могут служить арифметическая и геометрическая прогрессия.
Определение Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел
(1)
называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности
Элемент или член последовательности
. Например,
соответственно
Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями.
Пусть даны последовательности
. Соответственно:
или
- сумма последовательностей;
или
- разность последовательностей;
или
- произведение последовательностей;
или
- частное последовательностей.
2.Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 1. Последовательность
называется ограниченной сверху (снизу),
если существует такое число M (число m), что каждый элемент
последовательности
удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
- условие ограниченности
последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Примеры:
1)Последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.
2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена.
3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.
3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Введем определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству
Замечание 1
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Замечание 2
Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Пример:
Неограниченная последовательность 1,2,1,3,…,n,… не является бесконечно большой, поскольку при А>1 неравенство не имеет места для всех элементов с нечетными номерами.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Рассмотрим пример:
,
Последовательность
При |q|>1 – бесконечно большая;
При |q|<1 – бесконечно малая.
Докажем первое утверждение
Если |q|>1, то
.
Используя формулу бинома Ньютона, получаем
элементы. Отсюда
.
Фиксируем
и выбираем номер N столь большим, чтобы имело место неравенство
. Из этого неравенства и неравенства (1) следует неравенство
. Так как,
при
. Тем самым доказано, что при |q|>1
рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.
Второе утверждение доказывается аналогично, применяя бином Ньютона и определение бесконечно малой последовательности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема 1
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство
Пусть - бесконечно малые последовательности.
Докажем, что - бесконечно малая последовательность
Пусть
- произвольное число.
- номер, начиная с которого
- номер, начиная с которого
Так как
, то, обозначая
, получаем, что,
начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
. Это означает, что
- бесконечно малая.
последовательность
Теорема 2
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство аналогичное, только, вместо
берем
Следствие Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть
- бесконечно малая последовательность. Пусть
- произвольное
число.
Пусть N – номер, начиная с которого
. Обозначим через
Очевидно, что
для
ограниченность последовательности.
.
, что означает
Теорема 4
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство
Пусть - бесконечно малая последовательность;
Пусть - ограниченная последовательность.
Так как
- ограниченная последовательность, то
, что
.
Возьмем
- произвольное число. Так как
последовательность, то для положительного числа
можно указать N такой, что при
выполняется
- бесконечно малая
неравенство
.
Тогда при
.
Поэтому последовательность - бесконечно малая.
Следствие
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Замечание
Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.
Например
бесконечно большая последовательность
бесконечно малая последовательность
Если бесконечно много элементов последовательности
равны 0, то последовательность
Теорема 5
Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0.
Доказательство
не имеет смысла.
Пусть
, положим
. Начиная с номера N, соответствующему этому
выполняется неравенство
. Так как
, а
, то
-
противоречие.
Теорема 6
Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого
номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой
последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности
не равны 0, то последовательность - бесконечно большая.
Доказательство
Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного A>0, существует N, начиная с которого
Это означает, что при
все элементы
,
.
тогда последовательность
имеет смысл, если ее элементы рассматривать,
начиная с номера
. Докажем теперь, что
бесконечно
малая последовательность.
Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при
выполняется неравенство . Поэтому, начиная с указанного номера N. Будет
выполняться неравенство , то есть доказано, что последовательность
- бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.
Сходящиеся последовательности и их основные свойства
Определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности . В соответствии с эти определением всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число 0.
Другое определение
Последовательность
называется сходящейся, если существует такое число а,
что
можно указать номер
, такой, что при
все
удовлетворяют
неравенству
(1). Число а – предел последовательности.
Символическая запись
или
при
.
Бесконечно большую последовательность иногда называют последовательностью, сходящейся к бесконечности. Символическая запись .
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера имеют определенный знак, то последовательность сходится к бесконечности определенного знака. Символическая запись
Замечание 1
Неравенство (1) эквивалентно неравенствам . Эти неравенства означают, что элемент находится в - окрестности числа а (это интервал ).
Еще определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что в - окрестности числа а находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение сходящейся последовательности утверждает, что разность - бесконечно малая последовательность. Следовательно, всякий элемент сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде (2), где - элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 2
Из определения предела последовательности, очевидно, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой последовательности и на величину этого предела.
.
или
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
