Электронный курс лекций «Математический анализ». Лекция 2. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы. Свойства сходящихся последовательностей.

Лекция 2. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы.Свойства сходящихся последовательностей. 

к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е.Раменское, 2015

Лекция 2. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы.
Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство
Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности . Используя формулу (2) можно записать и , где , - бесконечно малые последовательности. Вычитая, получим Так как, все элементы последовательности имеют одно и тоже значение b-a, то по теореме 5 (см. ранее) b-a=0 и b=a. Теорема доказана.
Теорема 2
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть последовательность сходящаяся и а – ее предел. Имеет место формула
, - бесконечно малая последовательность. Так как бесконечно малая последовательность - ограничена (теорема 3), то справедливо
. Поэтому для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности .
Замечание
Ограниченная последовательность может быть и не сходящейся.
Например
1,-1,1,-1,… - ограничена, но не сходящаяся. Если бы последовательность сходилась, то
и - бесконечно малые последовательности и
была бы бесконечно малой последовательностью, но

,

Теорема 3
Сумма сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и
.
Доказательство
Пусть и . Тогда и , соответственно . Таким образом, последовательность
- бесконечно малая, и поэтому последовательность сходится и имеет своим пределом a+b.
Теорема 4
Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей
и . Доказательство аналогичное.
Теорема 5
Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .
Доказательство

Пусть

и

. Тогда

и

, соответственно

. Но в силу теоремы 4 (для бесконечно

малых последовательностей, следствия из него и теоремы 1)

сходится и ее предел - ab.

- бесконечно малая последовательность. То есть

Лемма
Если последовательность

сходится, то есть

, то, начиная с

некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
Доказательство
Пусть . Так как . Пусть N – номер, соответствующий этому ,

начиная с которого выполняется неравенство . Из этого

неравенства следует, что при выполняется неравенство . Действительно



Поэтому, при имеем . Следовательно, начиная с этого номера N,

можно рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.
Теорема 6
Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Доказательство
Из леммы следует, что, начиная с некоторого номера N элементы не равны 0 и
последовательность - ограничена. Начиная с этого номера, рассмотрим

последовательность .

Пусть

и

.

Так как - ограничена, а последовательность - бесконечно малая, то

последовательность - бесконечно малая, то есть

. Теорема доказана.

Предельный переход в неравенствах

Неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
Имеют место теоремы.
Теорема 1
Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел а этой последовательности
удовлетворяет неравенству

Докажем, что

- бесконечно малая последовательность. Так как

и

, то

Доказательство
и , начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству Покажем, что . Предположим обратное, то есть a. Так как , тогда положим и для можно указать , что при выполняется . То есть или . Используя правое неравенство, получим , а это противоречит условию теоремы.
Следствие 1
Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .
Следствие 2
Если элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте [a,b], то и

Теорема 2
Пусть и . Пусть также начиная с некоторого номера элементы последовательности удовлетворяют неравенству , тогда


Монотонные последовательности
Определение
Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех номеров n справедливо неравенство
Общее название – монотонные последовательности.
Если для всех n - возрастающая.
Если для всех n - убывающая.
Общее название – строго монотонные.
Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо снизу.

Невозрастающие – ограничены сверху;
Неубывающие – ограничены снизу;
Невозрастающая последовательность ограничена с двух сторон, если она ограничена снизу.
Неубывающая последовательность ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху
Примеры.

1. невозрастающая, ограничена сверху 1, снизу – 0.

2. неубывающая, ограничена снизу - 1.

3. возрастающая, ограничена снизу , сверху – 1.


Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема
Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится (основная теорема).
Другая формулировка
Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, то она сходится.

Доказательство
Последовательность

- ограничена, то

и

- точные верхняя и нижняя грани.

Докажем, что если последовательность неубывающая, то - ее предел;
Если последовательность невозрастающая, то - ее предел;
Ограничимся случаем неубывающей последовательности.
Поскольку - верхняя грань множества элементов последовательности, то
, такой, что и . Сопоставляя неравенства, получаем . Так как - неубывающая последовательность, то при
справедливо неравенство . Выше было
неравенство , тогда или . Таким образом, - предел .
Замечание 1
Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости.
Замечание 2
Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например - сходящаяся, так как . Но она не монотонная.

Свойства числовых последовательностей и числовых множеств

Подпоследовательности числовых последовательностей
Пусть - некоторая числовая последовательность. Рассмотрим последовательность . Выбираем из элементы с
номерами , то есть - это подпоследовательность
последовательности .
Свойство 1
Если для , то любая подпоследовательность этой
последовательности имеет своим пределом число а.