ИНТЕГРАЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

ИНТЕГРАЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Курс алгебры и начала математического анализа содержит объемный материал, одним из них является «Первообразная и интеграл», которая изучается в 11 классе. Тема «Интеграл» является одной из сложных в школьном курсе математики.Успешное изучение этого раздела в старших классах зависит от правильной постановкой целей изучения, детального подбора теоретического и дидактического материала, разработки методических приемов и изучения особенностей данной темы.

Интеграл – это важнейшее понятие в математическом анализе. Его применяют в тех случаях, когда необходимо найти площадь, которая находится под кривой, когда нужно найти пройденный путь при неравномерном движении или узнать, какая масса у неоднородного тела, и так далее. При введении понятия интеграла так же, как и при введении понятия производной, обычно рассматривают конкретную задачу, которая поможет учащимся понять практическое значение нового понятия.

В классах с базовым уровнем изучения на математику (алгебру и начала математического анализа, геометрию) отводится 136 часов в год (4 часа в неделю), 11 из которых отводится на тему «Интегралы». В классах с профильным изучением –отводится 204 часа (6 часов в неделю) и только 15 часов на изучение темы «Интеграл».

В учебниках базового уровня сначала вводится понятие первообразной, указываются правила отыскания первообразных, составляется их таблица, затем определяется площадь криволинейной трапеции. Далее вводится понятие определенного интеграла. В зависимости от учебника, по которому происходит обучение, кроме площади плоской фигуры с помощью интеграла определяется объем тел вращения, – объем шара и частей шара, объем призмы, пирамиды, конуса. Так же рассматриваются физические задачи на приложение интеграла, такие как работа переменной силы, масса стержня, координаты центра масс.

Изучение интеграла в профильных классах начинается так же, как и в классах с базовым уровнем: сначала вводится понятие первообразной, правила ее отыскания, составляется таблица первообразных. Так же вводится понятие неопределенного интеграла, его свойства. И кроме этого изучаются методы интегрирования: интегрирование по частям, метод замены переменной, подстановкой. Далее вводится понятие определенного интеграла, с помощью решения задачи на нахождение площади криволинейной трапеции через площадь ступенчатой фигуры. Затем дается определение определенного интеграла через приращение первообразной и нахождение его по формуле Ньютона-Лейбница.Обобщается понятие определенного интеграла для неограниченных функций и с бесконечными пределами, вводится интеграл с переменным верхним пределом, указываются свойства определенного интеграла, выражаемыми равенствами и неравенствами. Рассматриваются задачи: вычисление площади плоской фигуры, длины кривой, перемещения точки по отрезку, работы силы притяжения.

Возможна и такая методика введения определенного интеграла: понятие определенного интеграла вводится как предел интегральной суммы, рассматривается приближенное вычисление определённого интеграла, даются понятия нижней и верхней интегральных сумм, приводятся формула Ньютона - Лейбница и свойства определенного интеграла. Рассматриваются такие задачи: вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, работы переменной силы, массы стержня, координат центра тяжести фигуры, силы давления жидкости на стенку.

При организации контроля освоения учебного материала по теме «Интеграл» учитель может предложить обучающимся практические задачи математического содержания. При изучении данной темы необходимо постоянно контролировать, уровень усвоения материала. В начале урока следует проводить фронтальный опрос, актуализацию знаний, конце урока проводить небольшие самостоятельные работы, обязательно подводить итоги урока.

Рассмотрим задачи, которые учитель может предложить обучающимся для самостоятельного решения или включить их в контрольную работу.

Задача. Заяц пересекает открытое поле со скоростью(время измеряется в секундах, а скорость в метрах за секунду). Какова длина пройденного пути по полю, если заяц пересек его за 3 секунды со скоростью , считая от начала движения .

Решение: Необходимо определить путь пройденного пути зайцем за промежуток времени .

.

Получили, длина пройденного пути равна 54 метра.

Ответ: 54 метра.

Задач на тему «Первообразная и интеграл» в ЕГЭ по математике базового уровня нет, но по математике профильного уровня встречается в задании №7.

Рассмотрим некоторые задачи из ЕГЭ.

Первая группа заданий: найти общий вид первообразной для функций:

1) 

2)  

Вторая группа заданий:

1)  на рисунке 1 изображён график функции . Функция   — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Рис. 1.

Решение: Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках  и. Получаем:

Ответ: 6.

2)На рисунке 2 изображен график некоторой функции . Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл .

Рис.2.

Решение: Определенный интеграл от функции  по отрезку  дает значение площади под графиком функции  на отрезке. Область под графиком разбирается на прямоугольный треугольник, площадь которого равна:

,

и прямоугольник, площадь которого равна:

.

Сумма этих площадей дает искомый интеграл:

.

Ответ: 12.

Таким образом, интеграл – это одно из тех понятий в школьном курсе математике, которое позволяет найти площадь под кривой, которое помогает вникнуть в практическое применение математического анализа. Данная тема рассматривается только 11 классе, и в разных учебниках по математике прописана своя последовательность, но, при этом, все они структурированы так, чтобы максимально понятно и логично донести информацию обучающимся. Решение практических задач на приложение интегралов способствует развитию мышления. Например, решение задач с применением определенного интеграла способствуют развитию абстрактного мышления, но, при этом, для решения таких задач необходима база теоретических обобщенных знаний по математике.

Литература

1.   Лукьянова Т.И., Мансурова Е.Р. Интеграл в школьном курсе математики // Физико-математические образование: проблемы и перспективы: сб. статей. – Елабуга: Изд-во Казан. Ун-та, 2017. – С. 51-55.

2.   Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 11класса. Ч.1 (базовый уровень).– М.: Мнемозина, 2014. – 264 с

3.   Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11клас. Ч.2 (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2014.–239 с.

4.