Интегрированный урок математика + физика "Применение производных в математике и физике"(11 класс)

Применение производных в математике и физике  «Предмет математика настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным» Б. Паскаль Цель урока:    повторение основных методов и навыков техники дифференцирования, воспитание ответственности всех членов коллектива, умение работать в команде, ознакомление учащихся с некоторыми историческими сведениями.                                                                         Ход урока. I. Вводное слово учителя. 1. (М). Эпиграфом к уроку являются слова Паскаля:  «Предмет математика настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным».  Девизом урока послужат слова:              Математика и физика Нужны электрику и токарю, Оператору и повару, А чтобы это доказать Задачи будем мы решать, На вопросы отвечать и связь С профессией искать. 2. (Ф). Хочу начать урок народной мудростью: «Послушай – и ты поймёшь!                                                                                    Посмотри и ты запомнишь!                                                                                    Сделай – и ты научишься!» 3. (М). Предлагаю отгадать ключевое слово урока. 1) С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ. 2) Бывает первой, второй,… 3) Обозначается штрихом.  (Ответы учеников: производная) (Произносится учителем  и записывается на доске тема урока). 4. (Ф). Итак, сегодня на уроке мы поговорим о применении производной при решении  многих практических задач математики и физики. 5. (М). С прошлого учебного года вы посещаете занятия по программам дополнительной профессиональной   подготовки.   Одна   из   профессий   –   электромонтер   по   ремонту   и обслуживанию электрооборудования. Это первая ступенька на пути карьерного роста до инженера­электрика.   Проследим   связь   между   предметами   и   профессией.   Прослушаем перечень   общих   компетенций,   необходимых   не   только   профессионалам,   но   и   вам, ученикам. (Говорят учащиеся).  Инженер  должен обладать общими компетенциями (ОК), включающими в себя  способность: ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять  к ней устойчивый интерес. ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы  выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них  ответственность. ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного  выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития. ОК 5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с  использованием информационно­коммуникационных технологий. ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями. ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат  выполнения заданий. ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития,  заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации. ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной  деятельности 5. (Ф). Формированию общих компетенций способствуют на школьных уроках ваши навыки и умения при выполнении практических заданий. Производная  позволяет решать задачи  просто,  красиво, интересно. II. Актуализация знаний. 1. (Ф). Сегодня на уроке работают две творческие группы:  1­я группа применяет при решении задач геометрический смысл производной; 2­я группа ­  физический смысл производной. А мы проверяем ступени вашего мастерства.  (М). I ступень. Устный опрос (разминка). (Формирование ОК­5).   (Каждой команде по очереди задаётся вопрос,  за правильный ответ­ 1 балл). Вопросы. I. (М). Что называют производной функции у=f(х) ? (Ответ. Производной функции у=f(x), заданной на некотором интервале (a: b), в точке х  этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к  соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к  нулю). II.(Ф).  Как называется математическая операция нахождения производной функции? (Ответ. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.) I. (М). В чем заключается геометрический смысл производной функции?           (Ответ. Значение производной функции в точке   х0    есть тангенс угла  α касательной и положительным направлением оси Ох, т.е.  f, α  ( х0  ) =  tg . )              между этой II. (Ф). В чём состоит механический смысл производной ? (Ответ. Если тело движется по прямой согласно закону s(t), то  скорость точки есть  производная от пути по времени, т.е. v (t)= s‘(t ) ). I. (М). Уравнение касательной в точке  х0  имеет вид: (Ответ: у = f( х0 ) +  f,(x0) (x ­  x0 ) ). II. Что такое ускорение с точки зрения производной ? (Ответ. Ускорение есть производная от скорости по времени, т.е. а(t) = v’(t) ). (Ф). II ступень. Эстафета. (Формирование ОК ­4, ОК­6, ОК­7). Для эффективного решения задач необходимо знать таблицу производных и правила дифференцирования.   (Учителя   вручают   первому   члену   команды   листы,   где   в   столбик записаны формулы, в которых вместо ответа прямоугольник. В него необходимо вписать правильный ответ. Лист передают друг другу, пока будут заполнены все прямоугольники. Время проведения – 2 минуты, каждая правильная формула – 1 балл).            I команда                                                                               II команда  x sin¿ ¿ ¿ ¿ 1.                                                                   1.  x cos¿ ¿ ¿ ¿ = (ctgx)'=¿                                                                 2.   2.  (tgx)'=¿ (¿¿x)'=¿ e ¿ 3.                                                                       3. (  (logax)' =                                                                  4.   4.  ax ¿¿'=¿ x ln ¿ ¿ ¿ ¿ 5.  6.  7.  8.  9.  (u+v)'=¿                                                                5.   (u v)' =¿                                                                        6.   (u−v)'=¿ (uv)' = √x ¿ ¿ ¿  =                                                                      7.   ( 1 x)' =¿ ( 2 3 x3−x2)' =¿                                                            8.  ( 2 x−4√x+7)' =¿                                                       9.  ( 4 3 x3−2x2)' =¿      ( 3 x−6√x−5)' =¿    (7x4+4x3−5cosx)'=¿                                       10.   10.  (5x4−2x3+3sinx)'=¿ (e2x+5−x3 3 )' =¿                                                      11.   (e3x−4+x4 4)' =¿ 11.  (М).  III ступень. Самостоятельная  работа в группах. (Формирование  ОК­6 и ОК­9). Выполнив задания, вы расшифруете:   как И. Ньютон называл производную функции. I  группа.  1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции       f(x) = ­  x2+4х  в точке   x0 =1. (Решение: к =f  (х) = ­ 2х + 4; ′  k = f  (1) = ­ 2∙1 + 4 = 2. ′  Ответ: к = 2.)  2) Найдите tg        f(x) = 2 х2 α  угол наклона касательной к графику функции  ­  α , где   + 8x – 3 в точке   х0 = ­3. (Решение: f  (х) = 4х + 8; ′  tg α = f  (­3) = 4∙(­3) + 8 = ­ 4. ′  Ответ: ­ 4.) 3) Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) =  х3 точке           х0  = 3.  – 2х  в  (Решение: f  (′ x) = 3 х2 ­ 2;   f(3) =  33 ­2 ∙ 3 = 27­ 6 =21 ′ f  (3) = 27­ 2 = 25; у = 21 + 25 (х­3);     у = 25х ­54 Ответ: у = 25х – 54.) II группа. 1) Движение автомобиля во время торможения описывается формулой s(t) = 30t ­ 5 t2 ,  (s ­ тормозной путь в метрах, t ­ время в секундах, прошедшее с начала   торможения   до   полной   остановки   автомобиля).   Найдите,   сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его   полной   остановки.   Какое   расстояние   пройдет   машина   с   начала торможения до полной ее остановки? (Решение:  Скорость есть первая производная от перемещения по времени, то s'(t)=¿   30 – 10t.  Т.к. при торможении скорость равна нулю, тогда 30– 10t=0; 10t = 30; t = 3(сек). Тормозной путь s(t) = 30t ­ 5 t2 =30∙3­5∙  32 45=45(м). Ответ: время торможения t= 3с; s= 45м.) = 90 ­  2) Координата тела меняется по закону х(t) = 5 ­ 3 t2 (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2  секунды?  + 2 t3   Решение: S = S(t);   Скорость v = s (t) = ′ ′  x (t);   ускорение  а = v (t) = х (t). ″ ′ v(t) = x (t) = ­6t + 6 ′ t2 ; v(2) = ­6∙2 + 6∙4 = 12 (м/с); a(t) = ­6 + 12t;  a(2) = ­ 6 + 12∙2 = 18(м/ c2 ). Ответ:  v = 12 м/с; а = 18м/ c2 . 3) Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с  некоторого момента, задаётся формулой  q(t)=3t2+t+2 . Найдите силу тока  в момент времени t = 3 c. (Решение. I(t) =  q'(t);    I(t) =  (3t2+t+2)'=6t+1;   I(3) = 6∙3 + 1 = 19(A). Ответ: 19А Ю f(x) = ­  x2+4х  ; Ф f(x) = 2 х2  + 8x – 3 k= ?             2 tg  α  =?        ­4 М f(x) =  х3  – 2х;     х0  = у = ?            у=25х­54 3. s(t) = 30t ­ 5 t2 s(t) = 30t ­ 5 t2 t= ?             3 s= ?             45 q(t)=3t2+t+2 I = ?            19 х(t) = 5 ­ 3 t2  + 2 t3 х(t) = 5 ­ 3 t2  + 2 t3 v = ? a = ? 19 Л 2 Ю 18 К 12 18 3 С С Я Л И К ­4 Ф 12 И 45 Я IV   ступень. Индивидуальная работа. (Формирование ОК­3, ОК­7, ОК­9 ). (1. Учащиеся работают у доски по карточкам с индивидуальными  заданиями ( по 1 человеку от каждой команды.) 2. По очереди по 1 человеку от команды решают тесты на диске с  проецированием на экран, состоящие из 5 заданий. За все правильные задания каждой команде ставится 1 балл). V    ступень. Исторический Экскурс. (Формирование ОК­5) (Сообщение ученика).       Понятие производная  возникло в связи с необходимостью решения ряда задач   физики,   механики   и   математики.   Честь   открытия   основных   законов математического   анализа   принадлежит   английскому   ученому   Ньютону   и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой. Знаменитый   физик   Исаак   Ньютон,   родившейся   в   английской   деревушке Вульстроп,  внес немалый вклад и в математику. Он вычислил производную и интеграл   степенной   функции.  Решая   задачи   на   проведение   касательных   к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения   таких   задач   – метод   флюксий (производных).  Переменные величины Ньютон назвал флюентами, а скорости изменения флюент он  назвал  флюксия  –   это   устаревшее   название флюксиями.   Таким   образом, производной.    О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод   флюксий»   (1665   –   1666гг.),   послужившей   одним   из   начал математического  анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница. Многие   ученые   в   разные   годы   интересовались   касательной.   Эпизодически понятие   касательной   встречалось   в   работах   итальянского   математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность   полета   снаряда.   Иоганн   Кепплер(1571­1630гг.)   рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. В   17   веке   на   основе   учения   Г.   Галилея   о   движении   активно   развилась кинематическая   концепция   производной.   Различные   варианты   изложения встречаются у Р.Декарта. VII. Рефлексия.  Один учитель подводит итоговые баллы по группам, по каждому ученику, другой в это  время  рассказывает притчу: « Приходит профессор к студентам на урок. Приносит стакан  полный камушков, и спрашивает ребят­ « Как вы думаете, полный ли этот стакан».  Большинство ребят говорят, что он полный. Тогда профессор насыпает в стакан песок,  песок заполняет пустоты в стакане. «Как вы думаете, полный ли этот стакан сейчас» ­  спрашивает профессор. Уже меньше было поднято рук, большинство засомневались. « Он и сейчас не полный»­ говорит профессор, и берёт кувшин и наливает воду. «Как вы думаете,  полный ли этот стакан сейчас». Совсем мало ребят подняли руки. «Он и на этот раз не  полный» ­ говорит профессор , и берёт, и растворяет в воде соль. Что же хотел сказать  профессор своим студентам, а я хочу сказать вам: « Те знания, которые получите за время  обучения в нашей школе ­это те камушки, которые находятся в стакане, это фундамент  знаний. Я бы хотела, что бы вы пополняли свои знания в дальнейшем, росли  профессионально и как личности». Итоги урока. (М.) Учитель математики озвучивает количество баллов, набранных каждой  командой, и полученные оценки. (Ф.).  А   я   хочу   закончить   урок   высказыванием   русского   учёного   М.В. Ломоносова, в котором, как нам кажется, мы сегодня убедились: «Слеп физик без математика».