ПРИМЕРЫ РЕШНИЯ ЗАДАЧ ПО ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ

Задача 1

Определить число протонов и нейтронов в ядрах ¹²₆С и ₁₂²⁵Mg .

Решение

Для ядра ¹²₆С зарядовое число равно Z=6, а массовое – А=12. Это означает, что ядро ¹²₆С содержит 6 протонов и 6 нейтронов: N=12-6=6.

Для ядра ₁₂²⁵Mg . зарядовое число равно Z=12, а массовое – А=25. Следовательно, число протонов в ядре – 12, а число нейтронов: N=25-12=13.

Ответ: в ядре ¹²₆С Z=6, N=6; в ядре ₁₂²⁵Mg . Z=12, N=13.

Задача 2

Назвать химический элемент, в атомном ядре которого содержится следующее  количество нуклонов:

a) 9p + 10n;       б) 73p + 108n;        в) 35p + 45n.

Решение

Число протонов определяет заряд ядра и атомный номер элемента в таблице Менделеева, а сумма протонов и нейтронов равна масовому числу. Следовательно, в случае: a) Z=9, А=9+10=19, пользуясь таблицей

Менделеева, определяем ₉F¹⁹ ; б) Z=73, А=73+108=181 для ядра ₇₃Ta¹⁸¹ , в) Z=35, А=35+45=80 для ядра ₃₅Br⁸⁰.

Ответ: а) ₉F¹⁹ ; б) ₇₃Ta¹⁸¹; в) ₃₅Br⁸⁰.

Задача 3

Сколько происходит α- и β-распадов в ходе радиоактивного превращения ₉₂U²³⁸, если ядро превращается в ядро ₈₂Pb¹⁹⁸?

Решение

Схему радиоактивного распада урана можно записать в виде:

92U²³⁸→82Pb¹⁹⁸+х·2Не⁴+у·-1е^о,

α-частица –это ядро ₂Не⁴, β-частица – это электрон _-1е^о. Применяя закон сохранения зарядовых чисел, можно записать

92=82+х·2-у·1.                                                     (1)

Применяя закон сохранения массовых чисел, можно записать

238=198+ х·4.                                                         (2)

Решая уравнения (1) и (2) как систему, получим х=10 и у=10.

Ответ: происходит 10 α- распадов и 10 β-распадов.

Задача 4

В ядро какого элемента превращается ядро изотопа ₁₅Р³⁰ после испускания положительно заряженной  β-частицы?

Решение

В соответствии с правилом смещения для  β⁺- распада: zxA→z-1YA++1eo

после испускания ядром положительно заряженной β-частицы его заряд уменьшается на единицу, а массовое число не изменяется. Следовательно,  заряд образовавшегося ядра 

Z=15-1=14,

а массовое число А=30. Схему β⁺- распада для ядра изотопа ₁₅Р³⁰ можно записать в виде

15Р30→14Si30++1eo. Ответ: образуется ядро изотопа ₁₄Si³⁰.

Задача 5

Какую часть массы нейтрального атома алюминия ₁₃Al³⁰ составляет масса его электронной оболочки?

Решение

Чтобы определить, какую часть массы нейтрального атома алюминия 13Al³⁰ составляет масса его электронной оболочки, следует  найти отношение Z·m_e/m_ат.

Ядро атома  ₁₃Al³⁰ содержит 13 протонов, а нейтральный атом алюминия ₁₃Al³⁰ содержит 13 электронов. Так как массы нейтральних атомов в таблицах физическних величин, как правило, приведены в а.е.м., то массу электрона также удобно взять в  а.е.м. Используя числовые значения масс m_e=0,00055а.е.м. и m_ат=29,99817а.е.м., вычислим 13·0,00055/29,99817=2,4·10^-4.

Ответ: 2,4·10^-4 массы нейтрального атома.

Задача 6

 Найти дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра изотопа ₈О¹⁶.

Дано: m_ат=15,99491а.е.м.,  m_Н=1,00783а.е.м.,  m_n=1,00867а.е.м.

Найти: Δm, Е_св, δЕ.

Решение

Дефектом массы  Δm называют разность между суммой масс нуклонов, из которых состоит ядро, и массой ядра. Рассчитаем Δm, воспользовавшись формулой

Δm=[Zm_p+(A-Z)m_n]-m_я=[Zm_H+(A-Z)m_n]-m_а

где m_p, m_n ,m_я  – массы протона, нейтрона и ядра, соответственно, m_H= m_p+ m_е – масса атома водорода; m_а – масса атома. Подставим числовые значения масс и получим:

Δm=[8·1,00783+8·1,00867]-15,99491=0,13709(а.е.м.).

Енергия связи ядра прямо пропорциональна дефекту массы ядра Е_св=с² Δm.

         Подставим числовые значения и получим:

Е_св=931,4·0,13709=127,6(МэВ).

Удельная энергия связи ядра (энергия связи на нуклон) δ= Е_св/А. Подставим числовые значения и получим: δ=127,6/16=7,98(МэВ/нуклон).

Ответ: Δm=0,13709а.е.м; Е_св=127,6МэВ;  δ=7,98МэВ/нуклон.

Задача 7

Постоянная радиоактивного распада изотопа ₈₂Pb²¹⁰ равна 10^-9с^-1. Определить время, в течение которого распадется 2/5 начального количества ядер этого изотопа.

Дано: λ=10^-9с^-1, ΔN=(2/5)N_о.

Найти: t

Решение

Количество ядер, которые распадаются за время t, определяет  выражение

N  N₀  N  N₀1e^t .

По условию задачи ΔN=(2/5)N_о.

Следовательно, 

(2 5)N₀ N₀1e^t ,

2 51e^t ,

5 3e^t ,

t=(1/λ)ln(5/3).

Подставим числовые значения и получим: 

t=10⁹·ln(5/3)=5,1·10⁸с=16,2 лет.

Ответ: t=5,1·10⁸с=16,2 лет.

Задача 8

Начальная активность 1г изотопа радия ₈₈Ra²²⁶ равна 1 Ки. Определить период полураспада Т_1/2 этого изотопа.

Дано: µ=0,226 кг/мол; А₀=1Ки=3,7·10¹⁰Бк; m=1г=10^-3 кг.

Найти: Т_1/2.

Решение

Активность изотопа определяется выражением 

AN₀e^t ,                                                  (1)

где A_о N₀ – активность изотопа в начальный момент времени. Постоянная радиоактивного распада λ связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением ln 2

.                                                           (2)

Т1₂

Начальное количество ядер определяет выражение 

m

N₀  N_A.                                                        (3)



Подставим выражения  (2) и (3) в формулу начальной  активноти (1): ln 2 m

A₀ N_A.

Т₁ 

2

Откуда

mN^A ln2

                                                                                              T₁                 .

2 A0

Подставим числовые значения и получим:

T₁ 4,9910¹⁰(c) 1582года.

2  

Ответ: Т_1/2=4,99·10¹⁰с=1582 года.

Задача 9

Определить суточный расход урана ₉₂U²³⁵ атомной электростанцией, если мощность электростанции 7МВт и  к.п.д. 20%. Считать, что при каждом акте распада выделяется энергия 200МэВ.

Дано: Р=7МВт=7·10⁶Вт; η=20%=0,2; Е₀=200МэВ=200·10⁶·1,6·10^-19Дж=3,2·10^-11Дж.

Найти: m.

Решение

Если при каждом акте распада выделяется энергия E₀, то при распаде за сутки N атомов (ядер) выделится энергия 

E=NE₀.

Количество N атомов и масса урана m связаны соотношением mN^A

                                                                                            N ,

M

где N_A– число Авогадро, а M– массовое число урана. Энергия, которая выделяется за сутки 

mN^A

E₁ NE₀     E₀. M

Полезная энергия 

E E₁  Pt,

где P– мощность электростанции, а t=1 сутки=86400с. Тогда mN^A E₀,

Pt 

M

откуда 

PtM m         .

N0E0 Подставим числовые значения и получим: m    36,810^3 (кг).

Ответ: 36,810^3кг 36,8г