Колебательный контур. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс.

Колебательный контур. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс. Электрические и магнитные явления тесно связаны друг с другом. Простейшей системой, где это можно наблюдать, является колебательный контур - цепь, состоящая из катушки индуктивности L и конденсатора С. Если обкладки заряженного конденсатора соединить с концами катушки, конденсатор будет разряжаться и в контуре появится ток I. Энергия электрического поля конденсатора q2 (где q – 2C заряд на пластинах конденсатора) будет превращаться в . Когда 2C=const . (15.1) q=0 (15.2) энергию магнитного поля катушки LI2 2 Рис. 15.1 конденсатор полностью разрядится, ток в катушке и связанная с ним энергия магнитного поля достигнут максимума. Ток будет некоторое время поддерживаться за счет ЭДС самоиндукции, пока конденсатор не перезарядится. Энергия магнитного поля катушки преобразуется в энергию электрического поля перезаряженного конденсатора. Конденсатор снова начнет разряжаться, и явления повторятся в обратной последовательности. За время Т в контуре восстановится исходное состояние. Возникают периодические электрические колебания, сопровождающиеся превращением электрической энергии в магнитную и обратно. Колебания с периодом Т испытывают заряд q на обкладках конденсатора, разность потенциалов между ними, сила тока в контуре, напряженность электрического поля конденсатора и индукция магнитного поля катушки. Составим уравнение колебаний, например, заряда на обкладках конденсатора и определим период этих колебаний. Примем, что сопротивление R контура очень мало и потерями энергии в контуре можно пренебречь. При этом полная энергия электрического и магнитного полей с течением времени не изменяется: W=LI2 2 + q2 После преобразований получим дифференциальное уравнение собственных колебаний: dq dt+ 1 LC Электрические колебания, происходящие в колебательном контуре без воздействия внешних ЭДС, получили название собственных или свободных электрических колебаний. Введя обозначения 1 LC=ω0 d2q 2q=0 (15.3) dt2 +ω0 где ω0 — собственная частота контура. Получили уравнение колебаний заряда q на обкладках конденсатора. Решение уравнения (15.3) имеет вид: q = q0cos(ω0t + φ), (15.4) где q0 - амплитудное значение заряда, ω0 – циклическая частота собственных колебаний, φ – фаза колебаний. Дифференциальное уравнение (15.3) не отличается от уравнения колебаний гармонического осциллятора: d2q dt2 +ω0 где х – смещение точки от положения равновесия. Заряд q и все перечисленные выше электрические величины будут гармонически (по закону синуса или косинуса) изменяться в колебательном контуре во времени с частотой ω0= 1 √LC , а период этих колебаний определяется формулой 2 , приходим к следующей записи: 2x=0 (15.5) Томсона: T=2π ω0 Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1 =2π√LC (15.6) C : . (15.8) CI0 . (15.9) q0 Ccos(ω0t+φ)=U0cos(ω0t+φ) . (15.7) q0 C , I0=ω0q0 . Используя √LC , получим U0=√ L U= Продифференцировав выражение (15.4) по времени, получим выражение для силы тока: I=−ω0q0sin(ω0t+φ)=I0cos(ω0t+φ+π 2) Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π 2 . Из выражений (15.7) и (15.8) следует, что U0= выражение ω0= 1 В реальном колебательном контуре (R ≠ 0) свободные электромагнитные колебания являются затухающими. Уравнение колебаний в данном контуре будет: IR=−q Дифференциальное уравнение затухающих колебаний: d2q dt2 +R q=0 . (15.11) L Приняв во внимание, что ω0= 1 затухания), получим выражение (15.11) в виде: d2q dt2 +2βdq При условии, что β2 < ω0 имеет вид: q = q0e-βtcos (ωt + φ), (15.13) где ω=√ω0 LC− R2 4L2 √LC и введя обозначения β= R 2−β2 . Подставив значения ω0= 1 LC , решение уравнения (15.12) C−Ldl dt dt+ 1 dq LC 2 , то есть R2 4L2 < 1 и β= R 2L √LC dt+ω0 2q=0 (15.12) . (15.15) q0 Ce−βtcos(ωt+φ)=U0e−βtcos (ωt+φ) Таким образом, частота затухающих колебаний ω меньше собственной частоты ω0 Разделив функцию (15.13) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе: U= Чтобы найти силу тока I, продифференцируем выражение (15.13) по времени: I = q0e-βt[-β cos(ωt+φ) - ω sin(ωt+φ)]. (15.16) произведя преобразования (15.16), получим I = I0e-βt cos(ωt+φ+α). (15.17) так как coaα < 0, а sinα > 0, то значение а заключено в пределах от π 2 до π. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления R сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на π 2 (при R = О ω=√ 1 . (15.14) . (15.10) 2L (β коэффициент , получим, что 2 ). . (15.18) q0e−βt q0e−β(t+T)=βT=β2π ω0 опережение составляет π Кроме коэффициента β для характеристики затухающих колебаний пользуются логарифмическим декрементом затухания δ, который равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, взятых через период Т: δ=ln Величина N=1 δ определяет число периодов, за которое амплитуда колебаний убывает в е раз. Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний нужно включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение U = U0cosωt Для контура (рис. 15.2) можем записать IR=−q Произведя преобразования, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: U0 d2q dt2 +2βdq Lcosωt, (15.21) dt+ω0 2= 1 LC , β= R где ω0 2L Решение уравнения (15.21) имеет вид q = q0cos(ωt-ψ) , (15.22) где ψ – начальная фаза, dt+U0cosωt. (15.20) C−LdI 2q= . q0= U0 ω√R2+(ωL− 1 ωC) 2 tgψ= R (15.23) ωC−ωL . (15.24) 1 Рис. 15.2 Продифференцировав выражение (15.22) по t, найдем силу тока I в контуре: I=−ωqosin(ωt−ψ)=I0cos(ωt−ψ+π 2), или , (15.25) I=I0cos (ωt−φ) где φ=ψ-π 2 tgφ=tg(ψ-π 2)= −1 tgψ = Из выражения (15.26) следует, что ток отстает по фазе от напряжения том случае, когда ωL> 1 ωL< 1 есть сдвиг по фазе между током и напряжением, тогда ωC , и опережает напряжение ωL− 1 ωC R (15.26) (φ<0) в при условии, что (φ>0) ωC . Согласно выражения (15.23) (15.27) I0=ωq0= U0 C - q0 C= (15 30) q0 Ccos(ωt−φ) (15.32) I0 ωC . = √R2+(ωL− 1 ωC)2 Представим соотношение (15.20) в виде IR+ q C+LdI dt=U0cosωt (15.28) Произведение IR равно напряжению на активном сопротивлении UR,q напряжение на конденсаторе UC , выражение LdI dt определяет напряжение на индуктивности UL . С учетом этого можно записать UR+UC+UL=U0cosωt (15.29) Сумма напряжений на отдельных элементах контура в каждый момент времени равна напряжению, приложенному извне. В соответствии с (15.25) напряжение на активном сопротивлении UR=RI0cos(ωt−φ) Разделив выражение (15.22) на емкость, получим напряжение на конденсаторе: (15.31) UC= UC=UC0cos(ωt−φ−π 2) U0 UC0= ωC√R2+(ωL− 1 ωC)2 dt=−ωLI0sin (ωt−φ), (15.33) UL=UL0cos(ωt−φ+π Умножив производную функцию (15.25) на L, получим напряжение на индуктивности: UL=LdI Сопоставление выражений (15.25), (15.30), (15.31) и (15.33) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π 2 , а напряжение на индуктивности опережает ток на π 2 . Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Установившиеся вынужденные электрические колебания происходят с частотой, равной частоте внешней вынуждающей силы, независимо от величины параметров самой колеблющейся системы, то есть независимо от R, L, С. Этим объясняется, что в цепях переменного тока колебания тока I (или заряда q на конденсаторе) всегда происходят с частотой ЭДС генератора, независимо от того, какова эта цепь. Амплитуда же колебаний и сдвиг фаз, наоборот, существенно зависят от параметров цепи. Электрической автоколебательной системой является ламповый генератор незатухающих электрических колебаний. В реальном контуре R≠0 из-за потерь энергии (джоулево тепло, излучение) колебания со временем затухают. Их можно поддерживать, пополняя энергию контура извне. На этом основано действие лампового генератора. Колебательный контур включен в анодную цепь лампы. При ее замыкании конденсатор заряжается и в контуре возбуждаются свободные колебания. Протекающий по катушке переменный ток наводит в связанной с ней индуктивно катушке обратной связи - переменную ЭДС. Переменное напряжение с этой катушки поступает на промежуток сетка-катод. Изменения сеточного напряжения вызывают изменения анодного тока с частотой, равной частоте ω0 свободных колебаний в контуре. Если фаза колебаний анодного тока согласована (совпадает) 2). (15.34) UL0=ωLI0 с фазой колебаний в контуре, то энергия колебательного контура будет пополняться за счет энергии батареи и, таким образом, в контуре будут поддерживаться незатухающие колебания. Поступление энергии от источника регулируется самим контуром. Если присоединить электрическую цепь лампового генератора к входу электронного осциллографа, то при замыкании ключа на экране видны незатухающие электромагнитные колебания. Периодическое изменение силы анодного тока достигается периодическим изменением потенциала сетки триода. При последовательном соединении активного сопротивления R, реактивных сопротивлений (индуктивного L и ёмкостного С) в цепи действует переменная ЭДС, изменяющаяся по закону ε = ε0sinωt и I=I0sinωt . При изменении частоты ω изменяется амплитуда тока I и сдвиг фаз φ. При частоте ω = ω0, определяемой (ωL− 1 ωC) условием ω0 обращается в нуль в законе Ома √R2+(ωL− 1 ωC) Рис 14.10 , сила тока I при этом достигает максимального значения LC , реактивное сопротивление , контур действует как чисто активное 2= 1 U0 I0= I0= U0 R сопротивление. Полное сопротивление равно наименьшему значению. Чем меньше сопротивление R1