Лабораторная работа: Исследование температурной зависимости электропроводности в полупроводниках

Лабораторная работа №1 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ  ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ Целью   работы  зависимости электропроводности   и   определение   из   этой   зависимости   ширины   запрещенной   зоны   и отношения подвижностей исследуемого материала. является   исследование   температурной   1. ВВЕДЕНИЕ Физические   явления,   обусловленные   движением   носителей   заряда   под   действием внешних   и   внутренних   полей,   называются   кинетическими   явлениями   или   явлениями переноса.   К   ним   относятся   электропроводность,   теплопроводность,   гальваномагнитные, термомагнитные,   термоэлектрические   явления.   В   настоящей   работе   исследуется электропроводность полупроводников. Одним из методов   теоретического описания кинетических эффектов является метод кинетического   уравнения   Больцмана.    В   состоянии   термодинамического   равновесия система   описывается   равновесной   функцией   распределения     – ,   где    и  )k,r(f0 r k радиус­вектор   и   волновой   вектор   частицы   (например,   электрона),   соответственно.   Под действием   внешних   сил   функция   распределения   меняется,   и   состояние   описывается ,  зависящей от времени t. В случае, если неравновесной функцией  распределения   t,k,rf  можно   ввести   понятие   времени   релаксации   ,   стационарное   кинетическое   уравнение Больцмана записывается следующим образом:                            ,v(  r )f  1  ,F(  k )f  f f 0 ,                                                (1)  – сила, обусловленная внешними макроскопическими полями,  где  F скорость частицы. , где  ­ v v k 1  E Решение   его   позволяет   найти   стационарную   неравновесную   функцию   распределения,  и характер внешних сил. если известны структура энергетических зон кристалла, т.е.  )v(E Плотность   тока,   возникающего   в   результате   внешних   воздействий,   определяется неравновесной функцией распределения:                       j  q 3  4     d)k,r(fv 3V  k ,                                               (2) где интегрирование ведется по зоне Бриллюэна. Аналогично можно записать плотность потока энергии: 1W  q 3  4     d)k,r(fv 3V  k .                                    (3) Если   в   полупроводнике   имеются   частицы   разных   сортов   (например,     электроны   и дырки), то нужно просуммировать токи и потоки, создаваемые частицами каждого сорта. С помощью выражений (2) и (3) можно описать все кинетические явления. 2. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ Для описания электропроводности необходимо знать связь между плотностью тока   и j , вызывающим этот ток. При наличии в полупроводнике носителей заряда двух полем    сортов – электронов и дырок ­ для плотности тока получаем:  j      2  ne n * m n  2  pe p * m p                                     ,                                          (4) где     и   n p соответственно, ­   усредненные   по   энергии   времена   релаксации   электронов   и   дырок   и     * nm * pm   –   эффективные   массы   носителей   заряда,    ­ электропроводность,  n  и  p  ­концентрации электронов и дырок.  Из (4) видно, что                                        ne   и   где   e n   n m * n q p   p m * p ,                                                          (5) pe  p  ­   дрейфовые   подвижности   электронов   и   дырок,  n   соответственно.   Дрейфовая   подвижность   численно   равна   скорости   дрейфа   в электрическом   поле   единичной   напряженности.   Из   (5)   следует,   что   температурная зависимость проводимости определяется зависимостями   и  .  )(n )( Рассмотрим температурную зависимость концентрации носителей заряда. Концентрация электронов в с­зоне может быть найдена следующим образом:                              n     c fEN ) ( n ,                                                   (6)     (6)  )( d n 2­   функция   распределения   Ферми­Дирака,   определяющая   что   состояние электроном,   ­   плотность   состояний,   т.е.   число   состояний   в занято     где   f      вероятность n  EE F Tk 0 e    1  1     того, 4)E(N n       2/3 * m2 n 2 h     )EE(  c 2/1 единичном интервале энергий в единице объема кристалла.  Введем безразмерные величины                                E c F  E Tk 0 .                                                 (7) ;           c  EE Tk 0 Величину    называют   приведенным  уровнем  Ферми.  С  учетом  этого  выражение  (6) преобразуется к виду                                      21FNn c  ,                                                                     (8) где   2/3 N c    2    Tkm2 0 * n 2 h     ­   эффективная   плотность   состояний   в   с­зоне;  ­ интеграл Ферми­Дирака с индексом 1/2. Для невырожденного                                           имеем (F 2/1  )  2   2/1  d     e 1 0 электронного газа (при   или  ) 1       E F  E c  Tk 0 .                                                                      (9) (F 2/1  e)  Тогда   для   концентрации   электронов   в   невырожденном   собственном   полупроводнике                        eNn c  F  EE c Tk 0  8,4 10  .                        (10) 23 23 T  e F  EE c Tk 0 15 * m n m         Аналогично, для концентрации дырок в отсутствии вырождения легко получить                                 ,              (11)  eNp v  E  E F v Tk 0  8,4 10 15 * m p m         23 23 T  e E  E F v Tk 0 где   N v  2      Tkm2 0 * p 2 h ­ эффективная плотность состояний в  ­зоне. 2/3     3Для   нахождения   уровня   Ферми   используется   условие   электронейтральности,   по которому при термодинамическом равновесии суммарный заряд  всех заряженных частиц кристалла должен быть равен нулю:                                        n   i n ai  p p dj  j ,                                                    (12) где   ain ­   число   электронов   на   i ­ом   акцепторном   уровне,   ­число   дырок   на   ­ом j djp донорном уровне. Рассмотрим, например, полупроводник, содержащий один   сорт донорной примеси с   ниже   дна   зоны концентрацией  Nd  ,   уровень   которой   расположен   на   расстоянии   dE проводимости  Ec.   Решая   уравнение   электронейтральности   для   этого   случая,   получаем следующий результат. В области низких температур, когда уровень Ферми находится выше донорного уровня, концентрация электронов в с­зоне при увеличении температуры растет за счет ионизации примесных центров:                                    ,                                            (13) n   NNg 1 c exp d      E d Tk2 0    где g­фактор спинового вырождения.  В области средних температур, когда уровень Ферми находится ниже донорного уровня, концентрация электронов в с­зоне остается постоянной, так как примесь вся ионизована, а ионизация собственных атомов еще не существенна:                                                                                                                    (14) dNn  Наконец,   в   области   высоких   температур   происходит   ионизация   собственных   атомов полупроводника и                               n  p n i                                            (15) NN c v exp      E g Tk2 0    ­ принято называть собственной концентрацией носителей заряда. in На   рис.1   приведена   температурная   зависимость   концентрации   носителей   заряда   для . нескольких образцов с разной концентрацией примеси   5 Поскольку   в   двух   температурных   областях   зависимость  n(T)  носит   экспоненциальный характер, эти кривые принято строить в спрямляющих координатах (lg n, 103/T). Это дает возможность определить энергию  ионизации  примеси     при  низких  температурах и 4 3 2 d d 1 d d d N  N  N  N  N dE ширину запрещенной зоны  gE  при высоких температурах. Действительно,       nlg  lg  1 NNg c Тогда                              ,     elg nlg  lg NN c v   d  E d Tk2 0  E g Tk2 0 elg                   (16) 4 E,E d g  4,0 )n(lg  10(  3 )T/         [эВ]                                  (17) Для более точного определения энергии, особенно энергии ионизации примеси, следует учесть   температурную   зависимость   предэкспоненциального   множителя   и   строить при   низких   температурах   и зависимость  n(T)  в   координатах   lg     n 4/3 T 3 10, T/    при высоких температурах. lg     n 2/3 3 10, T/    T Уменьшение   наклона   прямой   при   возрастании   концентрации   примеси   при   низких температурах   обусловлено   тем,   что   при   достаточно   высокой   концентрации   примеси дискретный примесный уровень размывается в зону и расстояние от верхнего уровня этой зоны   до  Ес  уменьшается.   Переход   к   нулевому   наклону   свидетельствует   о   слиянии примесной   зоны   с   зоной   проводимости.   Это   означает   вырождение   электронного   газа   в полупроводнике.  Температурная   зависимость   подвижности   определяется,   очевидно,   температурной зависимостью   времени   релаксации,   которая,   в   свою   очередь,   зависит   от   конкретного механизма рассеяния носителей заряда. Наиболее часто реализуются два вида рассеяния: на тепловых колебаниях решетки (для атомных полупроводников – на акустических) и на   для ионизованной примеси. Теоретическое рассмотрение дает зависимость   рассеяния   на   акустических   колебаниях   решетки   и   1 T~   2/3   для   рассеяния   на  II T~  2/3                                    ионизованной примеси. Если в кристалле действуют оба механизма рассеяния, то ,   AT 2/3  CT 2/3 1  где А и С – не зависящие от температуры величины. На рис. 2 приведена температурная зависимость   подвижности,   полученная   при   этих   предположениях.   При   низких температурах доминирует примесное рассеяние, при высоких ­ тепловое. При увеличении концентрации примеси подвижность становится меньше в той области температур, где доминирует рассеяние на ионах примеси. Перейдем к рассмотрению температурной зависимости электропроводности. Видно, что в   любом   случае   зависимость   подвижности   от   температуры   носит   степенной   характер. Поэтому из сравнения температурных зависимостей концентрации и подвижности следует,   определяется  подвижностью  лишь   в  том  случае,   если что  характер   зависимости   )T( концентрация   носителей   заряда   не   зависит   от   температуры   (в   области   насыщенной примесной проводимости). В области же низких и высоких температур, где концентрация экспоненциально   меняется   с   температурой,   именно   она   определяет   температурную зависимость электропроводности (рис. 3). 5Экспоненциальная   зависимость     позволяет   определять   )T( dE   в   области   низких температур   и   gE   в   области   собственной   проводимости   аналогично   тому,   как   эти величины определяются из температурной зависимости концентрации (см. формулу (15)).   при определении этой величины желательно Отметим, что ввиду малых значений   dE учитывать температурные зависимости подвижности и предэкспоненциального множителя в выражении для концентрации. 3. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА Определение   дифференциальной   термоЭДС   полупроводника   сводится   к одновременному измерению величины термоЭДС VT и разности температур между двумя контактами полупроводника с металлом (Т2­Т1). Поскольку дифференциальная термоЭДС металлов много меньше дифференциальной термоЭДС невырожденных полупроводников, измеренная   величина  VT  целиком   определяется   свойствами   полупроводника.   Разность температур   должна   быть   по   возможности   малой.     определяется   как  VT/(T2­T1)   и T соответствует   температуре  T=(T1+T2)/2.   Для   решения   этой   задачи   используется   схема, приведенная на рис.8. Кристалл   германия   припаивается   оловом   (для   создания   теплового   и   электрического контактов)   к  двум   латунным   стержням.   Один   из   стержней   с   помощью   константановой спирали может подогреваться с целью создания небольшой разности температур между спаями германия с оловом. В местах спаев припаяны две термопары медь­константан для измерения   температуры   горячего   и   холодного   спаев.   Медные   ветви   этих   термопар используются в качестве выводов для измерения термоЭДС и сопротивления германия. ТермоЭДС   образца   и   термопар   измеряются   обычным   компенсационным   методом   с помощью   потенциометра   Р­306.   Температуры   находятся   по   градуировочному   графику термопары.  Образец   германия   помещается   в   термостат,   позволяющий   изменять   температуру   от комнатной до 100­1500  С. В случае германия его контакт с оловом является омическим, поэтому   можно   не   пользоваться   зондовым   методом   измерения   электропроводности,   а применить любой подходящий измеритель сопротивления. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. 2. Что представляет собой энергетический спектр электронов в кристалле? Различие металлов, полупроводников и диэлектриков с точки зрения зонной теории. 3. 4. 5. Понятие о собственных и примесных полупроводниках.  Функция распределения электронов. Понятие   о   плотности   состояний   и   зависимости   ее   от   энергии   для разрешенных зон и примесных уровней. 6. Концентрация   носителей,   выраженная   через   уровень   Ферми.   Условие электронейтральности. 7. Зависимость   концентрации   и   положения   уровня   Ферми   от   температуры   в собственном   полупроводнике.   Условия   равновесия   электронов   и   дырок   в полупроводнике.  8. Зависимость концентрации и положения уровня Ферми от температуры для полупроводника с одним типом примеси.  69. Рассчитать   концентрацию   основных   и   неосновных   свободных   носителей   в материале Х при температуре Т, если уровень Ферми расположен на расстоянии Е ниже Ес (Х, Т и Е задаются преподавателем). Электропроводность полупроводников. Понятие о подвижности носителей. 10. 11. Механизмы рассеяния. Зависимость подвижности и электропроводности от температуры.  12. Методика проведения эксперимента. ЗАДАНИЕ 1. Снять температурную зависимость сопротивления германия. Построить графики в соответствующих координатах. 2. Их   температурной   зависимости   сопротивления   полупроводника   определить ширину запрещенной зоны. 3. Используя результат, полученный в п.2, определить отношение подвижностей. 4. Полученные результаты сравнить с табличными значениями. Оценить источники ошибок, которые могут привести к некорректному результату. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Проверить измерительную систему. Включить потенциометр и установить рабочий ток. Выждать 15­20 минут,   пока рабочий ток не стабилизируется. Включить   нагревательную   спираль   и   добиться   устойчивой   разности температур между спаями. Для измерения температур переключатели должны быть поставлены следующие положения: П3­в «∞», П2­ Т, П1­ поочередно в «Т1» и «Т2». Несколько   раз   измерить  VT,   чтобы убедиться   в   воспроизводимости        результатов. Для измерения VTП2 поставить в положение «VT». Измерить   сопротивление   образца,   переключив   П2  в   «Т»,   а   П3  –   в «измерит.сопрот.». Включить нагреватель термостата. По мере  нагревания  образца  измерить  Т1, Т2,VT  и  R.  Реостат  нагревателя следует вводить постепенно для медленного повышения температуры в термостате. После достижения максимальной температуры выключить термостат и снять зависимость сопротивления от температуры при охлаждении. Построить соответствующие графики и произвести необходимые расчеты. ЛИТЕРАТУРА 1. Физика твердого тела. Лабораторный практикум. Под ред. Хохлова А.Ф. Изд­во Нижегородского ун­та, 2000. 2. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергоатомоиздат. 1985.  3. Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников. М.: Высшая школа, 1984. 4. Бонч­Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1977. 5. Киреев П.С. Физика полупроводников. М.: Высшая школа, 1975. 6. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 2000. 7