Лекция 2. Представление информации в ЭВМ

План

1.      Системы счисления.

2.      Перевод чисел в различные системы счисления.

3.      .Двоичная система счисления. Двоичная арифметика.

Системы счисления.

Необходимым признаком любого экономического показателя является количественный признак, или основание. Невозможно представить экономической системы без количественных показателей.

Совокупность приемов наименования и изображения количественных величин с помощью ограниченного набора знаков называется системой счисления. В настоящее время используются два вида систем счисления: позиционные и непозиционные системы счисления.

Наиболее известной непозиционной системой счисления является римская система счисления. В ней запись различных целых количеств производится с помощью цифр I, V, X, L, С, D, М и т.д., обозначающих количества один, пять, десять, пятьдесят, сто, пятьсот, тысяча и т.д. Несколько стоящих подряд цифр изображают сумму количеств, обозначаемых этими цифрами. Например, II = I + I - два; XXX = X + X + X - тридцать. Пара цифр, в которой младшая цифра (обозначающая меньшее количество) стоит слева от старшей (обозначающей большее количество), изображает разность соответствующих количеств. Например, IV = V - I - четыре; XL = L - X - сорок; СМ = M - С - девятьсот. Запись, состоящая из старшей цифры (или старшей группы цифр) и стоящей справа от нее младшей цифры (или группы цифр), изображает сумму количеств, отвечающих этим цифрам (или группам цифр). Например, XI = X + I - одиннадцать; XIV = X + IV - четырнадцать; XLIV = XL + IV - сорок четыре. Запись MCMLXXXVII расшифровывается следующим образом:

MCMLXXXVII = М + СМ + L + XXX + VII

и означает число одна тысяча девятьсот восемьдесят семь.

Запись цифр в определенном порядке будем называть числом.

Изображение чисел в римской системе счисления является весьма неудобным, что и объясняет ограниченное использование этой системы счисления в наше время.

Рассмотрение позиционных систем счисления начнем с хорошо знакомой десятичной системы счисления. В этой системе для записи чисел используется десять различных знаков - цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры обозначают количества от нуля до девяти. Количество, равное десяти, требует уже для своей записи две цифры "10". Остальные количества записываются числами, представляющими собой последовательности цифр, разделенных запятой на целую и дробную части. Десятичную систему называют позиционной потому, что значение количеств, изображаемых одной и той же цифрой меняется в зависимости от ее положения в числе. Так, например, в числе 214252 двойка, стоящая на первой позиции, означает количество единиц, на третьей позиции -количество сотен, а на шестой - количество сотен тысяч.

К позиционной системе счисления относятся и восьмеричная, и шестнадцатеричная системы счисления. Допустим, нам необходимо построить восьмеричную систему счисления. Основание системы счисления в этом случае равно восьми. Максимальное количество, которое может быть отображено с помощью цифр в этой системе счисления равно семи, а первые восемь цифр десятичной системы счисления - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Тогда, например, число 256, записанное в восьмеричной системе счисления, в десятичной системе счисления будет означать количество, равное

256(8) = 2 • 8 2 + 5 • 8 ' + 6 • 8° = 128 + 40 + 6 = 174(10).

Индексы в скобках означают основания систем счисления.

При построении шестнадцатеричной системы счисления основанием системы счисления будет количество, равное шестнадцати. Поэтому для записи цифр в этой системе счисления необходимо шестнадцать символов. Возьмем в качестве символов, обозначающих количества от нуля до девяти, цифры десятичной системы счисления: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения количества от десяти до пятнадцати воспользуемся символами A, B, C, D, E, F соответственно.

Тогда число B5F(16), записанное в шестнадцатеричной системе счисления, будет означать количество, которое в десятичной системе счисления можно определить следующим образом:

B5F(16) = 11 • 16 2 + 5 • 161 + 15 • 16 ° = 2911(10).

Минимальным целым положительным числом, которое может служить знаменателем геометрической прогрессии, является два. Следовательно, два - это минимальное количество, которое может служить основанием системы счисления. В этой системе счисления, которая носит название двоичной, всего две цифры - 0 и 1. Тем не менее, в этой системе счисления может быть записано любое количество. Так, число 1011(2) означает количество, которое можно записать в десятичной системе счисления следующим образом:

1011(2) = 1*23 + 0*22 +1*21 +1*20 = 11(10).

Из сравнения позиционных систем счисления с различными основаниями можно сделать вывод о том, что, чем больше основание системы счисления, тем меньше требуется разрядов для записи одного и того же количества, более компактна запись числа. Однако количество цифр, используемых для записи числа, при этом увеличивается.

Вопросы для закрепления:

1.      Какие системы счисления называют позиционными, а какие – непозиционными? Приведите примеры.

2.      Что называется основанием системы счисления?

3.      Почему для вычислительной техники особенно важна система счисления по основанию 2?

2. Перевод чисел в различные системы счисления

Для перевода целого числа из одной позиционной системы в другую необходимо это число разделить на основание новой системы счисления, записанное в старой системе счисления. Остаток, полученный в результате этого деления, представляет собой младшую цифру числа в новой системе счисления, записанную в старой системе счисления. При делении полученного частного от первого деления получают в качестве остатка следующую цифру числа в новой системе счисления. В результате последующих делений вновь получаемых частных на основание новой системы счисления последовательно получают цифры числа вплоть до старшей, которая является последним частным, меньшим основания новой системы счисления. Деления выполняют в старой системе счисления. Деление производят нацело до получения остатка до тех пор, пока последнее частное не окажется меньше основания новой системы счисления.

Проиллюстрируем примерами данный способ перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.

Пример:

Перевести заданные числа в систему счисления с основанием 2,8,16.

125(10)=175(8)                                                125(10)=1111101(2)

Вопросы и упражнения

1. Перевести заданные десятичные   целые   числа   в   двоичную систему счисления:

а) 37;     6)52;      в) 145;      г) 452;     д) 976;     е)8764.

2. Перевести заданные в упражнении 1 целые числа в системы счисления с основаниями 8 и 16.

3. Перевести заданные целые   числа   из   десятичной   системы счисления в систему счисления с основаниями 2, 8, 16:

3. Двоичная система счисления. Двоичная арифметика

Наиболее привлекательной, с точки зрения технической реализации записи и хранения чисел, является двоичная система счисления. Это объясняется тем, что при технической реализации записи и хранения чисел каждой цифре должно соответствовать определенное состояние физического элемента. Для того чтобы записать любую цифру в двоичной системе счисления, требуется физический элемент, имеющий всего два различимых состояния. Так, наличие или отсутствие пробивки или намагничивания в определенной позиции машинного носителя, наличие или отсутствие сигнала любой физической или иной природы может трактоваться соответственной как запись «1» или «0».

Чтобы перевести следующие числа 1000011(2), 237(8), 16А(16) в десятичную систему счисления, воспользуйтесь приведенными решениями:

Решение:

1000011(2)=1* 2 6+1*2 1+1*2 0=64+2+1=67(10)

237(8)=2 *8 2 +3 *81 +7 *8 0 =128+24+7=159(10)

16А(16)=1* 16 2 +6 *16 1 +10=256+96+10=362(10)

Ответ:

1000011(2)=67(10)

273(8)=151(10)

16А(16)=362(10).

Выполнение арифметических операций в различных системах счисления производится по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Так, при выполнении действий в двоичной системе счисления, применяются следующие правила:

С помощью этих таблиц операции сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел выполняются так же, как и в десятичной системе счисления.

Пример:

Вопросы и задания для закрепления:

q    Ответьте на контрольные вопросы:

1.      Какие способы перевода целых десятичных чисел в двоичные и обратно Вы знаете?

2.      Каковы правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном представлении?

3.      Как переводить целые числа из двоичного представления в восьмеричное и шестнадцатеричное представления и обратно?

4.      Дайте определение системы счисления. Назовите и охарактеризуйте свойства системы счисления.

5.      Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

q  Перевести в десятичную систему счисления числа с основанием два:

а) 1000011,110;         б) 10001111,011;  в)1101010,11; г) 10010100,011;

д) 1101010,11.

q  Выполнить следующие арифметические действия в двоичной системе счисления:

q    Выполнить действия в двоичной системе счисления и результат проверить в десятичной системе счисления: