Данная презентация содержит основные формулы по теории вероятностей, примеры задач, в разобранном виде и задания которые необходимые выполнить самостоятельно. Думаю что данное приложение можно успешно использовать на уроках при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике. Также данную презентацию можно использовать в качестве пособия на факультативах по математике
Комбинаторика
Теория вероятностей
Математическая
статистика
Комбинаторика – это раздел математики, в
котором изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем или
иным условиям, можно составить из
заданных объектов.
Основы комбинаторики очень важны для
оценки вероятностей случайных событий,
т.к. они в ряде случаев позволяют
подсчитать количество всевозможных и
количество благоприятных исходов.
Перестановки
Размещения
Сочетания
Перестановкой из n элементов называется
любое упорядоченное множество, в которое
входят по одному разу все n различных
элементов данного множества
Теорема: Число перестановок n различных
элементов равно n!
!nРn
задачи
Задачи
1) Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7
3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3
2) Сколькими способами можно расставить девять различных
книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли
рядом?
Р
!6
Р
!4
РР
720
24
720
17280
24
6
4
6
4
Дополнительные задачи
по комбинаторике
Размещением из n элементов по m называется любое
упорядоченное подмножество из m элементов
множества, состоящего из n различных элементов
Теорема: число размещений из n по m равно
Am
n
!
n
mn
(
)!
задачи
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4
фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни
одна страница газеты не должна содержать более одной
фотографии ?
10987
5040
СП
!10
!6
А
4
10
!10
10(
)!4
2)Сколько можно записать четырехзначных чисел ,
используя без повторения все десять цифр?
А
4
10
10987
5040
!10
!6
СП
А
3
9
!9
)!39(
987
504
!9
!6
СП
Ответ
:
5040
504
4536
способов
Задачи
Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов,
которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов
Теорема: Число сочетаний из n по m равно
C m
n
!
n
mnm
(!
)!
Следствие: Число сочетаний из n элементов по nm равно числу сочетаний из n
элементов по m
С
nm
n
C
m
n
1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно
выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ?
Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.
210
Способов выбора былых шаров
4
10
С
С
3
5
!10
!6!4
!5
!2!3
10
Способов выбора черных шаров
По правилу умножения искомое число способов равно
СС
4
10
3
5
2100
2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на
две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во
второй не более 9 человек ?
С
С
С
3
12
4
12
5
12
220
495
792
Подгруппа из 3 человек
Подгруппа из 4 человек
Подгруппа из 5 человек
Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу
сложения искомое число способов равно:
ССС
4
12
3
12
5
12
1507
Задачи
Теория вероятностей
Вероятность события это численная мера
объективной возможности ее появления. Если
имеется полная группа попарно несовместных и
равновозможных событий, то вероятность Р(А)
наступления события А вычисляется как отношение
числа исходов, благоприятствующих наступлению
события, к числу всех исходов испытания.
АР
)
(
М
N
N – число всех исходов испытания
М – число исходов благоприятствующих событию А
Свойство вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1
АР
(
)
1
М
N
N
N
2) Вероятность невозможного события равна 0
АР
)
(
0
М
N
0
N
3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству
0
АР
(
1)
Задачи по теории вероятностей
1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова
вероятность что шар будет белым, черным ?
N=10; М=6; А Извлечение белого шара
АР
)
(
6,0
6
10
N=10; М=4; А Извлечение черного шара
АР
(
)
4,0
4
10
задачи
2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова
вероятность, что он:
А черный; В белый; С красный; D зеленый
N=10; М=2
N=10; М=4
N=10; М=4
N=10; М=0
АР
)
(
2,0
2
10
ВР
)
(
4,0
4
10
СР
)
(
4,0
4
10
DР
)
(
0
0
10
Задачи
События
Невозможные – это события, которые не могут произойти
в данных испытаниях
Достоверные – это события, которые обязательно
произойдут в данных испытаниях
Случайные – это события, которые могут произойти, а
могут не произойти в данных испытаниях
Статистическая и геометрическая
вероятности
Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная
частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под
относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где
N число опытов; Мчисло появления события. При увеличении опытов
относительная частота появления события будет практически сколь угодно
мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за
вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления
события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа
опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5.
Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно
считать приближенным значению вероятности.
Геометрической вероятностью события называется отношение меры
области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме
вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий:
Р
(
Р
(
i
ААА
1
n
1
Аi
2
)
3
n
...
А
)
АiР
(
i
1
)
Р
(
А
)
1
Р
(
А
2
)
Р
(
А
3
)
...
Р
(
А
n
)
n
Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих
полную группу , равна 1.
Теорема сложения вероятностей
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
АР
)
(
___
АР
(
1)
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного
наступления:
ВАР
)
(
АР
)
(
ВР
(
)
АВР
(
)
Теорема умножения вероятностей.
Условная вероятность
Условной вероятностью называется вероятность события В,
вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную
в предположении, что первое событие уже наступило:
АВР
(
)
АР
)
(
Р А
(
В
)
Два события называются независимыми, если появление любого из них не
изменяет вероятность появления другого:
)
(
АР
РВ
(
А
)
(
ВР
)
РА
(
В
)
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна
произведению их вероятностей:
АВР
(
)
ВРАР
(
(
)
)
Теорема умножения вероятностей.
Условная вероятность
Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению
вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность
каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже
наступили:
Р(А1А2А3…Аn)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3)…РА1А2А3 …Аn1(Аn);
РА1А2А3…Аn1(Аn) – вероятность появления события Аn , вычисленная в предположении, что события А1А2А3…Аn1 произошли
__
__
__
__
АААА
.....3
2
1
n
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна
произведению вероятностей этих событий:
Р
АААА
...
А
)
1
Р
Р
(
)
(
3
2
1
n
(
А
2
)
Р
(
А
)...
3
Р
(
А
n
)
__
__
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn , независимых в совокупности,
АААА
равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
__
__
.....3
2
1
n
Р
(
ААА
2
1
3
...
А
n
1)
Р
)__(
)__(
АА
Р
2
1
Р
)__(
А
3
Р
...(
)__
А
n
Случайные события. Операции над
событиями
Событие- явление , которое происходит в результате
осуществления
комплекса
условий. Осуществление комплекса условий называется
опытом или испытанием. Событие- результат испытания.
определенного
какого-либо
Случайным событием называется событие, которое может
произойти или не произойти в результате некоторого
испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а
может и не выпасть).
Достоверным событием называется событие, которое
испытания
обязательно
( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).
произойдет
в
результате
Невозможным считается событие, которое не может
произойти в результате данного испытания( извлечение
черного шарика из ящика с белыми шарами).
Случайные события
Событие А называется благоприятствующим событию
В, если появление события А влечет за собой появление
события В.
События А и В называются не совместными, если в
результате данного испытания появление одного из них
исключает появление другого ( испытание: стрельба по
мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не
четного).
События А и В называются совместным, если в
результате данного испытания появление одного из них
не исключает появление другого( А- в аудиторию вошел
учитель; В- вошел студент).
Случайные события
___
А
Два события А и
называются
противоположными, если не появление одного
из них в результате испытания влечет появление
другого( отрицание А).
___
А
Если группа событий такова, что в результате
испытания обязательно должно произойти хотя
бы одно из них и любые два из них несовместны,
то эта группа событий называется полной
группой событий.
События называются равновозможными , если
по условию испытания нет оснований считать
какое-либо из них более возможным, чем любое
другое ( А-орел; В-решка).
Операции над событиями
Суммой нескольких событий называется событие,
состоящее в наступлении хотя бы одного из них в
результате испытания.
Пример: в ящике находится красный, черный и белый
шары.
А- извлечение черного шара
В- извлечение красного шара
С- извлечение белого шара
А+В – извлечен черный или красный шар
В+С – извлечен красный или белый шар
А+С – извлечен черный или белый шар
Формула полной вероятности.
Формула Байеса
Вероятность события А, которое может наступить
только при условии появления одного из событий
H1, H2, H3,…,Hn , образующих полную группу попарно
несовместных событий, равна сумме произведений
вероятностей каждого из событий H1, H2, H3,…,Hn на
соответствующую условную вероятность события
А :
n
АР
)
(
i
1
Р
(
РH
)
i
(
)
А
H
i
Формула полной
вероятности
Формула полной вероятности.
Формула Байеса
Рассмотрим события В1, В2, В3,…,Вn которые образуют полную группу событий и
при наступлении каждого из них Вi событие А может наступать с некоторой условной
вероятностью
ВР i
)
(А
Тогда вероятность наступления события А равна
сумме произведений вероятностей каждого из
событий на соответствующую условную вероятность
события А
(
...
(
АР
)
)
А
)
А
)
А
Р
Р
Р
(
(
(
(
(
РВ
n
)
В
n
РВ
)
1
В
1
РВ
)
2
В
2
Сколько бы не было вероятностей:
В
В
В
...
)
1
Р
Р
Р
(
)
(
(
2
n
1)
Формула полной вероятности.
Формула Байеса
Рассмотрим событие А которое может наступить при
условии появления одного из несовместных событий, В1, В2,
В3,…,Вn , которые образуют полную группу событий. Если
событие А уже произошло то вероятность событий может
быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности
гипотез:
ВРВР
)
(
i
(
)
АР
i
)
i
(
)
А
ВР
(
А
Формула Бернулли
Вероятность того что в n независимых испытаниях
в каждом из которых вероятность появления события
равна Р , Р(0<Р<1) , событие наступит К раз
безразлично в какой последовательности,
вычисляется по формуле Бернулли
Р
qрС
q=1-p ; q- вероятность
)
n К
(
противоположного события
к
кn
к
n
ил
и
!
n
КnК
(!
)!
Р
n
(
К
)
mn
к
qр
Асимптотические формулы
Если число испытаний велико, то использование
формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу
необходимости выполнения громоздких вычислений.
Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую
формулу , позволяет вычислить вероятность
приближенно.
Теорема: Если вероятность наступления события А в
каждом из n независимых испытаниях равна p и
отлична от нуля и единицы, а число испытаний
достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n
1
испытаниях событие А наступит m раз, приближенно
npq
равна значению функции
u
e
uf
)(
где
(
uf
),
y
1
2
2/2
,
u
npm
npq
Асимптотические формулы. Распределение
Пуассона
Если вероятность события в отдельном испытании
близка к нулю, то применяют другую
асимптотическую формулу- формулу Пуассона.
Теорема:
Если вероятность р наступления события А в
каждом испытании постоянна, но близка к нулю,
число независимых испытаний n достаточно велико,
а произведение np= , то вероятность Рn(m) того, что
в n независимых испытаниях событие А наступит m
раз, приближенно равна
em
!m
Р
n
(
m
)
m
e
!
m
1) В журнале 10 страниц , необходимо на
страницах поместить 4 фотографии. Сколькими
способами это можно сделать , если ни одна
страница газеты не должна содержать более
одной фотографии ?
А
4
10
!10
10(
)!4
10987
5040
!10
!6
СП
2)Сколько можно записать четырехзначных
4
10
10987
чисел , используя без повторения все десять
цифр?
!10
А
!6
!9
А
:
Ответ
!9
!6
504
)!39(
987
504
5040
4536
3
9
5040
СП
СП
способов