математика, теория вероятностей и математическая статистика

  • Презентации учебные
  • pptx
  • 05.02.2017
Публикация на сайте для учителей

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Данная презентация содержит основные формулы по теории вероятностей, примеры задач, в разобранном виде и задания которые необходимые выполнить самостоятельно. Думаю что данное приложение можно успешно использовать на уроках при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике. Также данную презентацию можно использовать в качестве пособия на факультативах по математике
Иконка файла материала Комбинаторика.pptx
Комбинаторика Теория вероятностей  Математическая  статистика
Комбинаторика – это раздел математики, в  котором изучаются вопросы о том, сколько  различных комбинаций, подчиненных тем или  иным условиям, можно составить из  заданных объектов.  Основы комбинаторики очень важны для  оценки вероятностей случайных событий,  т.к. они в ряде случаев позволяют  подсчитать количество всевозможных и  количество благоприятных исходов.
Перестановки Размещения Сочетания
Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества  Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n! !nРn  задачи
Задачи 1) Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7 3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3 2) Сколькими способами можно расставить девять различных  книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли  рядом? Р !6 Р !4 РР 720 24 720 17280 24 6 4 6 4 Дополнительные задачи  по комбинаторике
Размещением из n элементов по m называется любое  упорядоченное подмножество из m элементов  множества, состоящего из n различных элементов Теорема: число размещений из n по m равно  Am n  ! n  mn ( )! задачи
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4  фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни  одна страница газеты не должна содержать более одной  фотографии ?  10987 5040 СП !10 !6 А 4 10  !10  10( )!4 2)Сколько можно записать четырехзначных чисел ,  используя без повторения  все десять цифр?  А 4 10  10987 5040 !10 !6 СП А 3 9  !9  )!39(  987 504 !9 !6 СП Ответ : 5040  504  4536 способов Задачи
Сочетанием  из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов,  которые принадлежат множеству, состоящему из  n различных элементов Теорема: Число сочетаний из n по m равно  C m n  ! n  mnm (! )! Следствие: Число сочетаний из n элементов по    n­m равно числу сочетаний из n  элементов по m С nm n  C m n
1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно  выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ? Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.  210 Способов выбора былых  шаров 4 10 С С 3 5 !10  !6!4 !5  !2!3  10 Способов выбора черных  шаров По правилу умножения искомое число способов равно СС 4 10 3 5 2100
2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на  две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во  второй­ не более 9 человек ? С С С 3 12 4 12 5 12  220  495  792 Подгруппа из 3 человек Подгруппа из 4 человек Подгруппа из 5 человек Выбор первой подгруппы  однозначно определяет вторую, по правилу  сложения искомое число способов равно: ССС  4 12 3 12  5 12  1507 Задачи
Теория вероятностей  Вероятность события­ это численная мера  объективной возможности ее появления. Если  имеется полная группа попарно несовместных и  равновозможных событий, то  вероятность Р(А)  наступления события А вычисляется как отношение  числа исходов, благоприятствующих наступлению  события, к числу всех исходов испытания. АР ) ( М N N – число всех исходов испытания М – число исходов благоприятствующих событию А
Свойство вероятности:  1) Вероятность достоверного события равна 1 АР ( )  1 М N N N  2) Вероятность невозможного события равна 0 АР ) (  0 М N 0 N  3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству 0  АР (  1)
Задачи по теории вероятностей 1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова  вероятность что шар будет белым, черным ?  N=10;  М=6;   А­ Извлечение белого шара  АР ) ( 6,0 6 10 N=10;  М=4;   А­ Извлечение черного шара  АР ( ) 4,0 4 10 задачи
2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова  вероятность, что он: А­ черный; В­ белый; С­ красный; D­ зеленый  N=10;  М=2  N=10;  М=4  N=10;  М=4  N=10;  М=0 АР ) ( 2,0 2 10 ВР ) ( 4,0 4 10 СР ) ( 4,0 4 10 DР ) ( 0 0 10 Задачи
События   Невозможные – это события, которые не могут произойти  в данных испытаниях  Достоверные – это события, которые обязательно  произойдут в данных испытаниях  Случайные – это события, которые могут произойти, а  могут не произойти в данных испытаниях
Статистическая и геометрическая  вероятности Было замечено ,  что при многократном повторении опытов относительная  частота появления  события в этих опытах стремится к устойчивости. Под  относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где  N­ число опытов; М­число появления события. При увеличении опытов  относительная частота появления события будет практически сколь угодно  мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за  вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления  события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа  опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5.  Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно  считать приближенным значению вероятности. Геометрической вероятностью события  называется отношение меры  области,  благоприятствующей появлению события , к мере всей области.
Теорема сложения вероятностей Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме  вероятностей этих событий:                                    Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий  равна сумме вероятностей этих событий: Р ( Р ( i ААА      1 n  1 Аi 2 ) 3 n  ... А ) АiР ( i 1 )  Р ( А ) 1  Р ( А 2 )  Р ( А 3 )  ... Р ( А n ) n Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих  полную группу , равна 1.
Теорема сложения вероятностей  Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 АР ) (  ___ АР (  1) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна  сумме вероятностей  этих событий без вероятности их совместного  наступления: ВАР  ) ( АР ) (  ВР ( )  АВР ( )
Теорема  умножения вероятностей.  Условная вероятность Условной вероятностью ­ называется вероятность события В,  вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.  Вероятность совместного появления двух событий равна произведению  вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную  в предположении, что первое событие уже наступило:  АВР ( )  АР ) ( Р А ( В ) Два события называются независимыми, если появление любого из них не  изменяет вероятность появления другого: ) ( АР РВ ( А ) ( ВР ) РА ( В ) Вероятность совместного появления двух независимых событий равна  произведению их вероятностей: АВР ( )  ВРАР ( (  ) )
Теорема  умножения вероятностей.  Условная вероятность Вероятность  совместного  наступления  конечного  числа  событий  равна  произведению  вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность  каждого  последующего  события  вычисляется  в  предположении,  что  все  предыдущие  уже  наступили:     Р(А1А2А3…Аn)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3)…РА1А2А3 …Аn­1(Аn); РА1А2А3…Аn­1(Аn) – вероятность появления события Аn , вычисленная в предположении, что события А1А2А3…Аn­1 произошли  __ __ __ __ АААА .....3 2 1 n  Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна  произведению вероятностей этих событий:  Р АААА ... А  ) 1 Р Р ( ) ( 3 2 1 n ( А 2 )  Р ( А )... 3 Р ( А n ) __ __  Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn  , независимых в совокупности,  АААА равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий  __ __ .....3 2 1 n Р (  ААА  2 1 3  ... А n  1) Р )__( )__( АА Р 2 1 Р )__( А 3 Р ...( )__ А n
Случайные события. Операции над   событиями Событие- явление , которое происходит в результате осуществления комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания. определенного какого-либо Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть). Достоверным событием называется событие, которое испытания обязательно ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами). произойдет в результате Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).
Случайные события Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В. События А и В называются не совместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не четного). События А и В называются совместным, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А- в аудиторию вошел учитель; В- вошел студент).
Случайные события ___ А Два события А и называются противоположными, если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого( отрицание А). ___ А Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий. События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка).
Операции над событиями Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары. А- извлечение черного шара В- извлечение красного шара С- извлечение белого шара А+В – извлечен черный или красный шар В+С – извлечен красный или белый шар А+С – извлечен черный или белый шар
Формула полной вероятности. Формула Байеса Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий   H1, H2, H3,…,Hn , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1, H2, H3,…,Hn на соответствующую условную вероятность события А : n АР ) (   i  1 Р ( РH ) i ( ) А H i Формула полной вероятности
Формула  полной вероятности.  Формула Байеса Рассмотрим события В1, В2, В3,…,Вn  которые образуют полную группу событий и  при наступлении каждого из них Вi событие А может наступать с некоторой условной  вероятностью ВР i ) (А Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А (  ... ( АР ) ) А ) А ) А  Р Р Р  ( ( ( ( ( РВ n  ) В n РВ  ) 1 В 1 РВ  ) 2 В 2 Сколько бы не было вероятностей: В  В В ... ) 1 Р Р Р  ( ) ( ( 2 n  1)
Формула полной вероятности. Формула Байеса Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В1,  В2,  В3,…,Вn  , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез:    ВРВР ) ( i ( ) АР i  ) i ( ) А ВР ( А
Формула Бернулли Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р , Р(0<Р<1) , событие наступит К раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли Р  qрС q=1-p ; q- вероятность ) n К ( противоположного события к кn к n ил и ! n  КnК (! )! Р n ( К )  mn к  qр 
Асимптотические формулы Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую формулу , позволяет вычислить вероятность приближенно. Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n 1 испытаниях событие А наступит m раз, приближенно npq равна значению функции  u e uf )( где ( uf ),  y 1  2 2/2 , u   npm npq
Асимптотические формулы. Распределение Пуассона Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение  np=    , то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна      em !m  Р n ( m ) m e ! m
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ? А 4 10  !10  10( )!4  10987 5040 !10 !6 СП 2)Сколько можно записать четырехзначных 4 10 10987  чисел , используя без повторения все десять цифр? !10 А !6 !9 А  : Ответ !9 !6  504 )!39(  987 504 5040  4536  3 9 5040 СП СП способов
Дополнительные задачи