Материалы по физике

             Волновая функция

Итак, несомненно, поток электронов обладает и волновыми, и корпускулярными свойствами. Это значит, что двигающемуся элек- трону соответствует какой-то волновой процесс неизвестной пока природы. Де Бройль также не понимал физическую природу этого волнового процесса и поэтому предложил описать его с помощью функции, которую он назвал волновой функцией, т.е. функцией, кото- рая описывает движение частиц с волновой точки зрения. Но при этом он считал, что при таком описании должна сохраниться аналогия с описанием волнового процесса в оптике.

Мы знаем, что движение фотонов в виде пучка параллельных лу- чей описывается плоской электромагнитной волной. Следовательно, и движение свободных электронов, перемещающихся в пространстве параллельно и прямолинейно, также должно описываться в виде пло- ской волны, образованной волновой функцией.

Введение волновой функции, ее конкретный вид проще всего вы- яснить на примере использования знакомых нам явлений.

Уравнение плоской электромагнитной волны имеет вид

E  E0 cos(t  k x),   H  H 0 cos(t  k x).

Запишем теперь это же уравнение так, чтобы в него вошли как корпускулярные, так и волновые характеристики материи. Для этого перейдем от ω и k, характеризующих процесс с волновой точки зре- ния, к энергии кванта ε и импульсу кванта p, характеризующим тот же процесс с корпускулярной точки зрения:

  2ν  2 h   2    ;         h ;

h        h            2

k  2  2 h   2 p   p  ;

   h   h      

здесь p – импульс фотона. Тогда, заменив ω и k в уравнении плоской электромагнитной на ε и p, получим:

0   ⎜           ⎟         ₀    ⎜           ⎟

Аналогичное выражение получается, если плоскую волну выразить не через косинус, а через синус. Поэтому в общем случае эти две три- гонометрические функции можно объединить и записать уравнение плоской электромагнитной волны в более общем виде:

E  E0 e

-                i  t  p x 

       ,

H  H0 e

-                i  t  p x 

      .

При такой форме записи мы видим, что в уравнении плоской элек- тромагнитной волны отображаются и волновые, и корпускулярные свойства материи. Волновые свойства здесь проявляются в том, что эти уравнения записаны в виде волны, а корпускулярные свойства проявляются в том, что параметрами электромагнитной волны явля- ются энергия фотона  и импульс p фотона, причем под  здесь пони- мается полная энергия фотона или других микрочастиц, если подоб- ные рассуждения проводить для них. Если же движение фотона про- исходит в произвольном направлении, то в общем случае уравнение плоской электромагнитной волны с учетом корпускулярных свойств материи будет

E  E e 

p r                    p r

,   H   H e       ,

0                     0            

E0  const, H 0  const, r  x i   y j  z k .

Де Бройль в своих физических рассуждениях исходил из предвзя- той, но очень плодотворной идеи. Он считал, что законы природы и уравнения, при помощи которых описываются эти законы как с вол- новой, так и с корпускулярной точек зрения, во всех физических явле- ниях должны быть едины и поэтому должны иметь тождественный

вид. Поэтому де Бройль предложил воспользоваться аналогичным вы- ражением для описания волновых свойств электрона, только вместо векторов E и H , имеющих ясный физический смысл в случае свето- вого потока, ввести некоторую волновую функции ψ, записав с помо-

щью этой функции уравнение плоской волны:

-        i  t  px

  0e        ,

(1.3.1)

где в случае плоской волны ψ₀ = const.

Не надо думать, что волновая функция, которая здесь была введе- на по аналогии, является характеристикой только электрона. Нет! При помощи этой функции можно также описать распространение света в пространстве как с волновой, так и с корпускулярной точек зрения. Но только физический смысл волны де Бройля будет отличаться от физи- ческого смысла электромагнитной волны. Введение волновой функ- ции ψ есть новая математическая формулировка одного из законов природы, который проявляет свое действие в микромире.

На приведенном примере мы вновь убеждаемся в том, что матема- тическая формулировка основных законов природы не выводится, а постулируется, о них догадываются. Поскольку введенная волновая функция есть закон природы, отображающий объективную реаль- ность, и поскольку ее аналитическое выражение получено путем ис- пользования аналогии, т.е. по существу по догадке, то все рассужде- ния, связанные с постулированием вида волновой функции, являются яркой иллюстрацией того, что, как правило, фундаментальные законы природы являются обобщением результатов эксперимента в виде кон- кретных аналитических формул.

Итак, на примере волновой функции ψ мы проследили все этапы открытия волновой функции для свободного электрона, мы как бы проанатомировали само открытие волновой функции, при помощи которой можно описать движение электрона с волновой точки зрения. Де Бройль считал, что уравнение (1.3.1) описывает движение сво- бодного электрона с полной энергией  = m_ec² и импульсом p = m_ev. Предположим, что в пространстве существуют такие точки и такие моменты времени, для которых фаза колебаний всегда постоянная.

Тогда для свободного электрона, у которого  = const, p = const,

                       dx

dx    c²

t  px  const,

  p       0;

dt

vфаз  dt  p  v

 c.

Следовательно, фазовая скорость волны де Бройля не совпадает со скоростью движения частицы, поскольку она больше скорости света в вакууме. Поэтому фазовая скорость определяет всего лишь скорость

перемещения фазы в пространстве некоторого колебательного про- цесса, описывающего движение электрона с волновой точки зрения и не больше. Это указывает на то, что волновая функция не может непо- средственно описать движение электронов в пространстве, она имеет иной более сложный физический смысл.

Итак, оказывается, что фазовая скорость свободного электрона больше скорости света в вакууме. С этой скоростью частицы в про- странстве перемещаться не могут. Если же ввести в рассмотрение та- кие гипотетические частицы, как тахионы, то окажется, что они в про- странстве могут перемещаться со скоростью больше скорости света в вакууме, но это уже будут не реально существующие в природе час- тицы. Нечто подобное имеет место в оптике, когда при рассмотрении распространения света в анизотропных средах мы вынуждены приме- нять такие понятия, как фазовая и лучевая скорости, имеющих разный физический смысл.

Иначе обстоит дело с групповой скоростью волн де Бройля. Из- вестно, что для любого волнового процесса

v      d   d .

груп    dk        dp

mv²

Подставляя сюда

  0 

2

и p = mv, где ₀ – энергия покоя, m

– масса, v – скорость частицы (полагаем v<<с), получим

vгруп= v.

То есть движению частицы в пространстве отвечает групповая ско- рость волны, иными словами – скорость перемещения волнового па

Скачано с www.znanio.ru