Методические указания к практическим работам по теме: "Решение показательных, логарифмических и иррациональных уравнений"

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «БЕЛГОРОДСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ОБУЧАЮЩИМСЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ по теме: "РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ" Разработала преподаватель  математики Н.А. Гроза Практическая работа  Тема: Решение показательных уравнений  Цель:  отработать умения и навыки по решению показательных уравнений.    Оборудование:  тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы 1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач. 2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради. Порядок выполнения работы: Краткие теоретические сведения. Определение: Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени,  называется показательным. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида  ах=b,гдеа>0,а≠1 Уравнение ax = b не имеет корней, если b<0. Решение показательного уравнения вида  af(x)  = ag(x)  (где а>0, а≠1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению  f(x) = g(x). Уравнение вида  Aa2x  +  Bax  +  C  = 0, с помощью подстановки  ax  =  t, (t>0)  сводится к квадратному уравнению At2+ Bt+ C=0, Способы решения показательных уравнений: 1. Уравнивание оснований. 2. Вынесение общего множителя за скобки. 3. Введение вспомогательной переменной (замена переменной). 4. Разложение на множители. Примеры решения задач: 1. Уравнивание оснований. Суть метода: 1. Уединить слагаемое, содержащее переменную; 2. Привести степени к одному основанию; 3. Приравнять показатели; 4. Решить полученное уравнение; 5. Записать ответ. Пример 1: 3х ­ 27 = 0; 3х = 27; 3х = 33; х = 3 Ответ: x = 3. 2.  Вынесение общего множителя за скобки.  Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем. Пример 2:    3х ­ 3х+3 = ­78;         3х(1­33) = ­78;        3х(­26) = ­78;        3х ­ 3х∙33 = ­78;         3х(1­ 27) = ­78;       3х =  −78 −26 ;   3х = 3;    х= 1 Ответ: x = 1. 3. Введение новой переменной Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным. Пример 3: a) 42x  ­ 5∙4x + 4 = 0 Замена 4x = t, t>0 тогда уравнение можно записать в виде: t2 ­5∙t + 4 = 0; D = 25­16 = 9; D>0 ­ 2 корня t1/2=5±3 ;t1=4,t2=1 . 2 Сделаем обратную замену: 1) 4x = 4,    х = 1       2)  4x = 1,    х = 0 Ответ: х = 1 или х = 0 32x  ­  8∙3x ­ 9 = 0 б) 9x ­ 8∙3x ­ 9 = 0; Замена 3x = t, t>0 тогда уравнение можно записать в виде: t2 ­8∙t  ­ 9 = 0; D = 64 + 36= 100; D>0 ­ 2 корня t1/2=8±10 ;  t1 = 9,  t2 = ­1< 0 ­ посторонний корень 2 Обратная замена: 1) 3x = 9,    х = 2 Ответ: х = 2  Задания для самостоятельного решения Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Задание 1. Решите уравнение методом уравнивания оснований. А) 7х=49; Б) 5х ­ 2 = 25; А) 4х=64; Б) 9х ­ 5 = 1; ( 16 9 )х ( 3 7)х+7 =( 3 4)5 =5 4 9 В)  Г)  ; В)  Г)  ( 4 25)х+2 ( 2 9)х+3 =20 1 4 =(5 2)6 ; А) 5х=125; Б) 3х + 1 = 81; ; =( 3 4)5 ( 16 9 )х ( 2 5)3х+1 =6 1 4 В)  Г)  Задание 2. Решите уравнение методом вынесения общего множителя за скобки. А) 5х + 3∙5х = 500;  Б)  2х +3 ­ 2х ­1= 60∙ А) 7х+1 ­ 5∙7х = 98;  Б)  4х +2 + 4х ­1= 260∙ А) 3х + 7∙3х = 648;  Б) 7∙ 3х +3 +  3х +2= 22∙ Задание 3. Решите уравнение методом подстановки А) 4х ­ 17∙2х +16= 0;  Б)    32х−6∙3х−27=0 ∙ А) 2∙22х  ­ 9∙2х  + 4= 0;  А) 2∙22х  ­ 5∙2х  + 2= 0;  Б)   3∙32х ­ 4∙3х +1= 0∙ Б) 9х  ­ 12∙3х  + 27= 0  ∙ Задание  4. Найдите сумму корней уравнения: А)  8х2−2=64х ; А)  2х2−х=64 ; А)  64х2−6=43х ; Б)  22х−6∙2х+8=0 Б)  52х−6∙5х+5=0 Б)  42х−18∙4х+32=0 Практическая работа  Тема: Решение логарифмических уравнений  Цель: отработать умения и навыки решения логарифмических уравнений. Оборудование:  методические рекомендации по выполнению работы.   тетрадь   для   практических   работ,   ручка,   справочная   таблица, Порядок выполнения работы: 1. Ответить на контрольные вопросы:  а) Дайте определение логарифма. б) Сформулируйте основные свойства логарифмов. в) Что понимают под логарифмическим уравнением?  2. Рассмотрите теоретический материал и примеры, сделайте краткую запись в тетради. 3. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. Определение:  Уравнения,   содержащие   неизвестное   под   знаком   логарифма, называются логарифмическими. logax=b  ­ x ­ выражение переменной, a, b ­ числа, причем  a  a, 0  1 . При решении логарифмических уравнений применяются также методы логарифмирования и потенцирования. Логарифмирование– это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений. Потенцирование–  это  нахождение  чисел  или  выражений  по  данному логарифму числа (выражения). Потенцировать   –   значит   освобождаться   от   значков   логарифмов   в   процессе   решения логарифмического выражения. При решении логарифмических уравнений полезно помнить некоторые свойства  логарифмов: log a1 = 0; log a(xy) = log ax + log ay;  log a log aa = 1; (х у) = log ax ­ log ay t lg Замечание:  t натуральный логарифм (по основанию  e ) десятичный логарифм (по основанию 10)                          ln     Методы решения логарифмических уравнений 1.  Простейшее логарифмическое уравнение:   Последовательность решений:  logaf(x)=b   ­ 1) (по определению логарифма) решить равносильное уравнение   f(x)=ab 2) выполнить проверку корней или найти ОДЗ:  ОДЗ     f  (  x  ) > 0   и выбрать корни удовлетворяющие ba x  ;  Пример 1.  log3(x−12)=2 Решение: 1)   x −12=32 log3(21−12)=log39=2 2) Проверка:       х = 9 +12      x = 21 Ответ: х = 21 2.   По свойству логарифмов и определение логарифма:   Последовательность решений:  1) решить уравнение:f(x) = g(x) 2) выполнить проверку или найти  ОДЗ:  { f(x)>0 g(x)>0 a>0,a≠1 2 = 2 logaf(x)=logag(x)  и выбрать из корней уравнения ϵ  ОДЗ. Пример 2.  lg(x−3)+lg(x−2)=1−lg5 Решение:1)   lg(x−3)(x−2)=lg10−lg5 10 (¿:5) lg(x−3)(x−2)=lg¿ lg(x−3)(x−2)=lg2 (x­3)(x­2) = 2 x2 ­5x + 6 ­ 2 = 0 x2 ­5x + 4 = 0, решая это уравнение получим корни x1 = 1  и x2 = 4  x−2>0 ;      {x>3 2) ОДЗ  {x−3>0 x1 = 1 ∉ ОДЗ  и x2 = 4  ∈  ОДЗ x>2 ;  x > 3 Ответ : x = 4 3. Метод замены (введение новой переменной):   А(logax)2+Blogax+C=0 Последовательность решений:  1) пусть  t =  logax ;      At2 +Bt + C = 0,     ОДЗ x> 0 2)  сделать обратную замену :  logax=t1⇒x1=at1 ,        logax=t2⇒x2=at2 Пример 3.  (log3x)2−2log3x−3=0 Решение: ОДЗ х > 0  1)    Замена: t =  log3x     t2 ­ 2t  ­ 3 = 0 ­ это квадратное уравнение. Д = 4 + 12 = 16,   t1 = 3,    t2 = ­1 log3x=3⇒x1=33=27 ;       2) обратная замена:    log3x=−1⇒x1=3−1= 1 3 . Ответ : 23,   1/3 Задания для самостоятельного решения. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Задание. Решение решите уравнение: log2(7x−15)=¿  4; log12(x2−x)=1 ; log3(3x+2)=log3(x+4) 1)  2)  3)  1)  2)  ; 3)   log4(3x+10)=2 ; log7(x2+6x)=1 ; log5(2x−3)=log5(x+1) ; 4) 4) log2(4−x)+log2(1−2x)=2log23 ; 5) log2(x+1)−log2(8−x)=2 ; log5(2x−1)=2 ; log15(x2−2x)=1 ; 1)  2)  3) log2(4x−1)=log2(2x+3) ; 4) log3(x−2)+log3(x+6)=2 log2(x−5)+log2(x+2)=3 ; 5)  lg(3x−1)−lg(x+5)=lg5 ;  6) log2(3x+1)∙log2x−2log2(3x+1)=0 ); 6) log4(2x−1)∙log4x−2log4(2x−1)=0 7)   log5 2x+log5x−2=0 ;  7) lg2x   + lg x ­ 8 = 0 5) lg(7+x)−lg(3−x)=lg4 6) 1 2 7)   log 3 (x−2)∙log5x−2log3(x−2)=0 log4 2x−2log2x−3=0 Практическая работа  Тема: Решение иррациональных уравнений  Цель: отработать умения и навыки решения иррациональных уравнений. Оборудование:  тетрадь для практических работ, ручка,   методические рекомендации по выполнению работы. 1. Ответить на контрольные вопросы:  Порядок выполнения работы: а) дать определение арифметического квадратного корня; б) какие утверждения следуют из определения арифметического квадратного корня? в) какой основной метод решения иррациональных уравнений? г) в каком случае появляются посторонние корни и как от них избавиться? д) что такое ОДЗ? 2. Рассмотрите теоретический материал и примеры, сделайте краткую запись в  тетради. 3. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. Определение:  Иррациональные   уравнения  –   это   уравнения,   которые   содержат переменную под знаком корня (радикала).  Они решаются с помощью перехода к рациональным уравнениям  и или их системам. Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – это возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень (иногда несколько раз) Чаще всего используется метод возведения обеих частей уравнения  в степень: f(x) = g(x)  ⟹  f n(x) = gn(x). При   возведении   в   четную   степень   возможно   появления  посторонних   корней, поэтому обязательно нужно выполнять проверку, подставляя полученные корни в исходное уравнение. проверка чаще упрощается, если найти ОДЗ уравнения (посторонними   будут корни, не принадлежащие ОДЗ). Так же могут использоваться такой метод, как  введение новой переменной  (чаще всего новая переменная заменяет корень с наибольшим показателем) Алгоритмы решения иррациональных уравнений  Возведение в степень, равную показателю корня. 1. Уединим радикал.  2. Возведем обе части в степень  3. Выполняем равносильные преобразования.  4. Решаем полученное уравнение.  5. Проверка: а) подстановкой или б) нахождением области определения.  Введение новой переменной. 1. Вводим новую переменную.  2. Решаем полученное уравнение.  3.   Произведем   замену   переменной,   найдем неизвестное число.  4. Проверка. Методы решения иррациональных уравнений 1.  Простейшее иррациональное уравнение ­ это уравнение вида √A(x)=B(x)или√A(x)=С  , где А(х) и В(х) ­ это выражения, зависящие от  переменной х, С ­ постоянное число. √A(x)=B(x)⇔{А(х)=В2(х) В(х)≥0            (1) Замечание:  Неравенство   В(х)≥0   в   этой   системе   выражает   условие,   при котором уравнение можно возводить в квадрат, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки Пример 1. Решить иррациональное уравнение: а)  √2x−1=3 ;   б)  √х−3+9=х Решение:  а)   Возведем в квадрат (√2x−1)2=32 Получим равносильное уравнение: 2х ­ 1 = 9 2х= 10        х = 5. Проверка: √10−1=√9  = 3            3=3 ­ верно Ответ: 5 б) Приведем уравнение к виду (1), для этого перенес  число 9 в правую часть уравнения. Получим:    √х−3=х−9 ­ возведем в квадрат, (√х−3)2=(х−9)2 Получим равносильное уравнение:  х­3 = х2 ­ 18х +81 х2 ­19х +84=0 . D = 361 ­336 = 25 = 52;      х1/2=19±5 2 , х1 = 12, х2 Проверка:  1)  √12−3+9=√9+9=3+9=12 ,    12=12 ­ верно 2)  √7−3+9=√4+9=2+9=11 ,     11≠7 ­ посторонний корень Ответ: 12 2. Если иррациональное уравнение имеет вид,  √A(x)±√B(x)=С   , необходимо  двукратно возводить в квадрат.  Пример 2. Решить иррациональное уравнение    √x+3+√3x−3=10 (√x+3+√3x−3)2=102   Решение:1)  Возведем в квадрат:  (√x+3)2+2√x+3∙√3x−3+(√3x−3)2=100 x+3+2√(x+3)∙(3x−3)+3x−3=100 2√(x+3)∙(3x−3)=100−4x √(x+3)∙(3x−3)=50−2x  ­ получили уравнение (1) вида  2) возведем в квадрат ­  (√3x2−3x+9x−9)2 =(50−2x)2 3x2 + 6x ­ 9 = 2500 ­200x +4x2 3x2 + 6x ­ 9 ­ 2500 +200x ­4x2 = 0 x2 ­206x + 2509=0 D = 42436 ­10036 = 32400 = 1802,     х1/2=206±180 2 , х1 = 193, х2 =13. Проверка:  1)  √193+3+√3∙193−3=√196+√576=14+24=38 ,    38≠10 ­ пос­ий корень  2)  √13+3+√3∙13−3=√16+√36=4+6=10 ,     10=10 ­ верно Ответ: 13 3. Метод замены переменной:  Пример 3.  x2−5x+4√x2−5x+10=2 Решение: 1)       Заменим, выражение, которое повторяется в уравнении буквой  t:   x2  ­5x  =  t  ⟹ t+4 √t+10=2 . Приведем уравнение к  виду (1) и решим его: 2)  4√t+10=2−t ,   ∞ ; 2] 16(t+10)=4−4t+t2 ОДЗ: 2 ­ t  ≥  0,   t  ≤  2,   xϵ (­ (4√t+10)2=(2−t)2   , t2 ­ 20t ­156 = 0 D = 400 +624 = 1024 = 322,     t1/2=20±32 2 ,   t1 = 26 ∉ ОДЗ,   t2 =­6. 3) Возврат к замене: x2 ­5x = ­6,  х1/2=5±1 2 D = 25 ­ 24 = 1,     x2 ­5x + 6 = 0. , х1 = 3, х2 =2. 3;    2 Ответ   : Задания для самостоятельного решения. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Задание.  Решите   иррациональное     уравнение.   Если   уравнение   имеет   более   одного   корня, укажите меньший из них. 1)  √2x−1=3 ; 2) √ 1 5−2x=1 3 ; 3)  √x+2=√2x−3 1)  √x+9=4 ; 2)  √ 5 14−x= 1   √x+4=√2x−1 ; 1)  √x−2=5 ; 2)  √ 1 1−5x=1 6 ; 3)  √x+9=√3x−3 ; 10 ; 3) 3√х−7=3√3х−4 ; 4)  5)  √x+3=9−x ; 6)  2x+√17−6x−x2=1 ; 7)  √x−3=√2−x+2 ; 8) √ 2х+1 х−1 −2∙√ х−1 2х+1=1 . 3√4х−7=3√х−3 ; 4)  5)  6−x=√2x+3 ;  6)  5x+√4−3x+15x2=1 ; 7)  4+√3−x=√4−x ; 2+х+3∙√ 2+х 8)  √ 3−х 3−х=4 . 3√2х+3=3√5х+2 ; 4)  5)  √2x+7=x−4 ; 6)  1=√11+7x−9x2+4 ;  7)  √x+5=√6−x−3 ; х−1−1=2∙√х−1 8)  √ х х