Методическое пособие «Геометрические подходы к решению баллистических задач по физике»

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ТЮМЕНСКОЕ ПРЕЗИДЕНТСКОЕ КАДЕТСКОЕ УЧИЛИЩЕ»

 

 

 

Методическое пособие «Геометрические подходы к решению баллистических задач по физике»

 

 

 

 

 

г. Тюмень, 2021 г.

ФИЗИКА: Геометрические подходы к решению баллистических задач по физике/ Составитель И. В. Забродина. – Тюмень: ФГКОУ «Тюменское президентское кадетское училище», 2021,- 29с.

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка представляет собой пособие по применению геометрических подходов к решению задач повышенной сложности на движение тела, брошенного под углом к горизонту и горизонтальный бросок (задачи на баллистическое движение).

 

Методическое пособие адресовано обучающимся 9-11 классов, углубленно изучающих физику, а также учителям школ для подготовки обучающихся к олимпиадам и ЕГЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрено на заседании методического совета Тюменского ТПКУ

                                                                           

 

©ФГКОУ “Тюменское президентское кадетское училище», 2021.

Содержание

1.     Пояснительная записка …………………………………………………………. 4

2.     Геометрический метод. Краткая теория ….……………………....………......…5

3.     Примеры решения задач …………………………………………………………8

4.     Литература и Интернет ресурсы …………………………………..……...…… 30

 

Пояснительная записка

Методическая разработка представляет собой пособие по применению геометрических подходов к решению задач повышенной сложности на движение тела, брошенного под углом к горизонту и горизонтальный бросок (задачи на баллистическое движение).

В школьном курсе физики базового и профильного уровня изучение законов движения тела, брошенного под углом к горизонту и горизонтальный бросок, осуществляется в 10 классе. В основном обучающиеся изучают стандартный координатный метод для решения задач такого типа. Однако, большое количество баллистических задач решается гораздо проще через использование векторного геометрического способа. Геометрический метод подразумевает использование знаний обучающихся о свойствах векторов и операций над векторами и их применение к решению задач.

Геометрический метод в большинстве случаев необходимо применять для решения олимпиадных задач по баллистике, поэтому пособие рекомендовано обучающимся углубленно изучающим физику и имеющим основательные базовые знания по геометрии.

В пособии представлены краткая теория, используемая для применения метода к физическим задачам и разборы задач с одним или несколькими алгоритмами решения.

 

Геометрический метод. Краткая теория.

Движение под углом к горизонту – это движение с ускорением, поэтому для решения задач мы будем использовать формулы для равноускоренного движения. Геометрический метод подразумевает решение задач через использование свойств операций над векторами.

Здесь h – перепад высот, «минус» соответствует движению вверх, «плюс» – движению вниз. Формула хороша тем, что в ней отсутствует время t. В общем виде формула записывается так:

Так как скалярное произведение равно

,

 а в нашем случае

Последнюю формулу можно вывести из энергетических соображений:

А также нам будет полезна еще одна формула:

При решении будем пользоваться векторными треугольниками. Выделяют два векторных треугольника: треугольник скоростей и треугольник перемещений.

Изобразим первый.

 

 

Вектор    направлен вниз. Сумма векторов   и   в сумме дают вектор  . Проведем высоту в этом треугольнике. Тогда угол – угол, под которым произведен бросок. Угол при вершине треугольника тогда будет равен  . Достроим наш треугольник до параллелограмма. В параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения. Половина диагонали параллелограмма, таким образом, будет медианой треугольника. А длина этого вектора будет равна  .  Этот вектор будет направлен вниз, если тело приземляется ниже точки броска. В случае же, если тело падает на тот же горизонтальный уровень, он будет направлен горизонтально и треугольник в этом случае будет равнобедренный, . Если мы закидываем тело вверх, указанный вектор будет направлен вверх.

Представим себе, что вектор  перпендикулярен . Тогда указанный вектор     равен радиусу описанной окружности (из геометрии). Кроме того, в этом случае вектор  направлен по биссектрисе угла между вектором перемещения и вертикалью. Это очень важный факт, который позволяет существенно упростить решение некоторых задач. Доказательство будет приведено ниже.

Если говорить о площади этого треугольника, то она пропорциональна перемещению (дальности полета).

Теперь нарисуем второй треугольник - треугольник перемещений. Высота этого треугольника – не что иное, как дальность полета L.

 

Задача 1. С поверхности земли под углом  к горизонту выстрелила пушка. Через время  она поразила наземную цель. Определите дальность полета снаряда. Пушка и ее цель неподвижны и расположены на одном горизонтальном уровне. Сопротивлением воздуха пренебречь. Размеры пушки, снаряда и цели не учитывать.

 

Первый способ решения. Введем систему координат, ось x направим горизонтально, y – вертикально.

 

 

Запишем уравнения по осям:

Минус этого способа – два уравнения. Плюс – привычные нам оси.

Выражаем :

Подставим скорость в первое уравнение:

 

Второй способ. Метод тоже аналитический - координатный. Выберем другие оси: выберем ось y, совпадающую с направлением скорости , а ось x – перпендикулярно к ней.

Тогда в проекциях на эту ось x (проекция  равна нулю):

Третий способ. Нарисуем векторный треугольник перемещений.

Тогда в этом треугольнике:

Ответ:

Как видим из сравнения решений – третий векторный метод решения данной задачи – самый простой и лаконичный.

Задача 2. Мячик бросили со скоростью   под углом к горизонту. В полете он находился время . Чему равна дальность полета мячика, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Снова рисуем векторный треугольник перемещений.

 

По теореме Пифагора:

Ответ:

 

Задача 3. С поверхности земли под углом к горизонту бросают камень со скоростью . Какова максимальная дальность полета камня, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.

По аналогии с задачей 2 запишем

Проанализируем выражение под корнем.  L_max = L(). Так как выражение под корнем – парабола, то

Ответ:

Задача 4. С обрыва под углом   к горизонту бросили камушек со скоростью  =6 м/с. Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость составила =8 м/с и была направлена под углом  к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Из того, что дано, заключаем, что конечная и начальная скорость перпендикулярны друг другу. Поэтому можно записать из треугольника скоростей

Ответ:

 

Задача 5. С обрыва под углом  к горизонту бросили камушек со скоростью  =10 м/с.  Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость была направлена под углом  к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

Эта задача – вариант предыдущей. Изучая условие задачи, приходим к выводу, что конечная и начальная скорость перпендикулярны друг другу. Мы в этой задаче не знаем конечную скорость, но знаем угол.

Поэтому можно записать из треугольника скоростей

Откуда

Ответ:

Задача 6. Камень бросили со скоростью  под углом   к горизонту.  Чему равен модуль перемещения, если до места падения он летел время ? Сопротивление воздуха не учитывать.

 

Заметим, что нам не известно, на каком уровне упал камень: на том же самом или ниже.

 

Рассмотрим треугольник перемещений и применим для него теорему косинусов. Тогда

Ответ:

 

Задача 7. С крутого берега реки со скоростью  бросили камень под углом  к горизонту. С какой скоростью он упал в воду, если до места падения он летел время ? Сопротивление воздуха не учитывать.

 

В этой задаче мы также применим теорему косинусов для треугольника скоростей.

Ответ:

Задача 8. Камень бросили со скоростью  под углом  к горизонту.  Через какое время угол между вектором скорости камня и горизонтом составит угол ? ().

 

 

Нарисуем треугольник скоростей для момента t₁.

 

Скорость в моменты времени t₁ и t₂ нам неизвестна, поэтому необходимо исключить данную величину при решении задачи. Применим теорему синусов и выразим время t₁.

 

Теперь рассмотрим второй момент времени, когда скорость снова направлена под углом  к горизонту – t₂. Рисунок изменится:

 

Снова применяем теорему синусов и выразим t₂:

Ответ:

 

Задача 9. Начальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту, равна =10 м/с, а спустя время =0,8 c скорость камня стала равна =6 м/с.  На какую максимальную высоту над уровнем бросания поднимется камень? Сопротивление воздуха не учитывать.

 

Запишем максимальную высоту подъема:

Из треугольника скоростей

Теперь подставим полученное значение синуса угла в выражение для максимальной высоты:

Это способ решения задачи «в лоб». Попробуем упростить решение. На мысль о том, что существует более простое решение, наталкивают числа, данные в задаче.

Рассмотрим треугольник скоростей.

Запишем теорему косинусов для него:

Подставив числа, имеем:

Видим, что в левой части уравнения последнее слагаемое равно 0, следовательно, =0, =0.

 

Тогда максимальная высота

Ответ: 3,2 м.

 

Задача 10. Со скалы, возвышающейся над морем на высоту h=15 м, бросили камень со скоростью =10 м/с. Найти время полета камня, если известно, что непосредственно перед падением в воду его скорость была направлена под углом 120⁰ к направлению бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.

 

 

Скорость в момент приводнения не зависит от угла, под которым камень был брошен. Она зависит от начальной скорости и высоты бросания – из закона сохранения энергии. Тогда

Теперь рассматриваем треугольник скоростей и по теореме косинусов найдем время:

Откуда

Ответ: 2,6 с.

 

Задача 11. Камень бросают с высоты h=4 м вверх под углом к горизонту так, что к поверхности земли он подлетает под углом  . Какое расстояние по горизонтали пролетит камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

Первый способ. В этой задаче очень мало что известно. Поэтому кажется, что геометрический подход неприменим. Но здесь мы вспомним свойство, упомянутое в предыдущей статье: длина медианы треугольника скоростей равна  .

 

А медиана в треугольнике делит противоположную сторону пополам, и для обеих половинок можно из рисунка записать:

Определим время:

Тогда

Также используем факт, что горизонтальная составляющая скорости неизменна:

Тогда

Ответ: L=10,9 м.

 

Второй способ решения этой задачи – записать двумя разными способами площадь треугольника скоростей.

Далее надо было бы решить систему:

Решение будет более длинным, но приведет к тому же ответу.

 

Задача 12. С поверхности земли под углом к горизонту бросают камень. Через время  он падает на поверхность холма, причем со скоростью, перпендикулярной начальной. Чему равно расстояние между точками броска и приземления? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Из треугольника скоростей (который будет прямоугольным) видно, что медиана в этом случае является радиусом описанной окружности, поэтому

Ответ:

 

Задача 13. Из точки A под разными углами к горизонту бросили два камня с одинаковыми по величине начальными скоростями. Они приземлились в точке B, причем время полета первого из них составило t₁, а второго – t₂, t₂ > t₁.  Точки A и B находятся на одном горизонтальном уровне. Пренебрегая сопротивлением воздуха, ответьте на вопросы:

 

а) Чему равна величина начальной скорости  камней?

б) Под каким углом к горизонту бросили каждый из камней?

в) Найдите расстояние AB – горизонтальную дальность полета.

 

Нарисуем траектории полета камней. Так как второй летел дольше, следовательно, его траектория должна лежать выше первого. Также изобразим векторные треугольники перемещений.

 

Сравним два треугольника. Запишем теорему Пифагора для них, так как углы неизвестны.

Приравниваем правые части:

Подставим эту найденную нами скорость в любое из выражений, составленных по теореме Пифагора:

Определяем углы из треугольников перемещений:

Косинусы углов:

Тогда

 

 

Синус принимает одно и то же значение при двух разных углах, дополняющих друг друга до 180⁰.

Тогда

Тогда один из углов

Это следует из треугольника перемещений:

Заметим важный факт: биссектриса угла между векторами начальных скоростей камней будет наклонена под углом 45⁰ к горизонтали.

Обозначим угол между вектором  и биссектрисой . Тогда

Ответ:

 

Задача 14. Из одной точки, расположенной достаточно высоко над поверхностью земли, вылетают две частицы с горизонтальными противоположно направленными скоростями   и . Через какое время  угол между направлениями скоростей этих частиц станет равным 90⁰? На каком расстоянии друг от друга они при этом будут находиться? Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

Решим эту задачу двумя способами.

Первый способ.

 

Изобразим векторы скоростей частиц в момент вылета и в исследуемый момент. Заметим, что для обеих частиц длина вектора  одинакова. Если обозначить угол между начальной и конечной скоростью первой частицы , то для второй частицы этот угол окажется равным 90⁰ - .

 

Тогда треугольники скоростей подобны. Запишем тангенс этого угла из обоих треугольников:

Второй способ.

Скалярное произведение векторов конечных скоростей частиц равно нулю, так как они перпендикулярны друг другу. Тогда

Остался еще один вопрос в этой задаче: расстояние между частицами в этот момент. Для этого перейдем в систему координат, падающую с ускорением g. В такой системе частицы удаляются друг от друга со скоростью , тогда они разлетятся на расстояние

Ответ:

 

Задача 15. Над горизонтальной поверхностью земли на несколько осколков разорвался снаряд. Они разлетелись во все стороны с одинаковыми по величине начальными скоростями. Осколок, полетевший вертикально вниз, достиг земли за время t₁. Осколок, полетевший вертикально вверх, упал на землю через время t₂. Пренебрегая сопротивлением воздуха, ответьте на вопросы:

 

а) Чему равна величина  начальной скорости осколков?

б) На какой высоте над землей разорвался снаряд?

в) Сколько времени падали осколки, полетевшие горизонтально?

г) Какое расстояние по горизонтали они преодолели?

Так как перемещение тел 1 и 2 одинаково (просто расстояние от точки разрыва до земли), то их можно приравнять. Запишем перемещения обоих тел:

Откуда

Второй вопрос задачи: для определения высоты просто подставим найденную скорость в одно из ранее написанных выражений для перемещения.

Третий вопрос: из треугольника перемещений

Четвертый вопрос: расстояние по горизонтали можно найти, умножив скорость на время полета этих осколков.

Ответ:

Задача 16. В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о ее дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик. Промежуток времени между ударами о дно и стенку равен . Дно коробки образует угол  с горизонтом. Найдите скорости шарика сразу после ударов.

 

 

Самое важное в этой задаче то, что шарик прыгает по одной и той же траектории. Действительно, при упругом ударе угол падения равен углу отскока.

 

Если шарик падает на стенку коробки так, что его скорость не перпендикулярна стенке, то при отскоке его траектория отличалась бы от траектории подлета – я показала это дополнительным маленьким рисунком. Следовательно,  перпендикулярен стенке. А это значит, что вектора скоростей   и   перпендикулярны друг другу. 

 

Нарисуем треугольник скоростей.

Из него следует, что

Это и будет ответом.

 

Задача 17. Шарик свободно падает с высоты h на наклонную плоскость, составляющую угол  с горизонтом. Определите расстояние между ее точками, в которых шарик совершил первый и второй удары. Соударения шарика с плоскостью считать абсолютно упругими.

 

Первый способ. Заметим, что шарик при отскоках от наклонной плоскости никогда не окажется выше прямой, проведенной через место падения параллельно плоскости. К этому факту вернемся ниже.

Скорость, с которой шарик упадет на плоскость, найти несложно:

Нарисуем треугольник перемещений.

 

Он оказывается равнобедренным – это довольно сложно заметить и использовать. Я показала углы на рисунке. Тогда можно приравнять равные стороны этого треугольника:

Теперь опустим в этом треугольнике высоту. Она же будет медианой. Тогда

Подставим скорость:

Второй способ решения этой задачи:

 

 

Мы помним, что если тело брошено вверх, то время его полета вверх до максимальной точки подъема и время падения равны. Если ускорение будет равно не g, а gcos, то этот факт не изменится. Спроецируем ускорение свободного падения на оси координат:

 

Теперь развернем нашу плоскость горизонтально. Тогда время спуска и подъема одинаково, что я и показала на рисунке. Вниз направлено ускорение g_y= - gcos. Скорость по оси x меняется, но по оси y – нет. Скорость, с которой ударяемся – равна скорости отскока. Именно поэтому шарик при отскоках от наклонной плоскости никогда не окажется выше прямой, проведенной через место падения параллельно плоскости.

 

Нарисуем зависимость скорости  от времени. Это прямая. Тогда несложно заметить, что применимо правило нечетных чисел: за первый промежуток времени прошли расстояние x, за второй такой же – 3x, за следующий 5x и так далее. Тогда до места первого удара по оси x шарик пройдет расстояние 8x, и

Также это позволит найти число ударов, если известна длина наклонной плоскости.

Ответ:.

 

Задача 18.  Облетая грозовые тучи, самолет, летящий на восток со скоростью

=134 м/с, сделал несколько маневров. Сначала он в течение некоторого времени двигался с ускорением a, направленным на юг, в результате чего его скорость выросла до . Затем он летел еще такое же время с ускорением a, но направленным на восток. И наконец, он двигался в течение времени  с ускорением 2a, направленным на север. Какой стала скорость самолета, и под каким углом к курсу на восток она направлена после завершения всего маневрирования?

 

Последовательно нарисуем, что происходило.

Тогда из факта, что

Можно заключить, что

Тогда из прямоугольного треугольника скоростей ABC

Угол найдем из этого же треугольника:

Ответ: 300 м/с,  α = arctg(1/2) = 27⁰

 

 

Задача 19. На горизонтальной площадке между двумя гладкими стенками установлена катапульта. Катапульта выстреливает шариками, начальная скорость которых =10 м/с. Какое максимальное число ударов о стены может совершить шарик перед тем, как упадет на площадку? Удары шарика о стенки считать абсолютно упругими. Расстояние между стенками L₀=1,2 м. Положение катапульты и угол вылета можно изменять. Ответ должен быть целым числом. Считать, что g=10 м/c².

 

Так как удар о стенку абсолютно упругий, то угол отражения равен углу падения . Для упрощения расчета мы можем сделать развертку перемещения шарика, тогда траектория будет параболой, а удары — пересечениями изображений стенок с ней.

Максимальное число ударов можно получить, если дальность полета максимальная, то есть бросок выполняется под углом 45⁰.

Тогда

При выполнении этого условия при L<L₀ может произойти не более одного столкновения. А при L₀  L <2L₀ не более двух. По аналогии можно показать, что если (n-1) ∙L₀  L< n ∙L₀, то может произойти не более n столкновений.

Следовательно, максимальное число столкновений равно целой части отношения L/L₀ плюс одно столкновение, то есть

Ответ: 9

Задача 20. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — вниз под углом к горизонту. Величина начальной скорости обоих тел одинакова и равна  =25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t₀=2 с. Ответ выразить в м, округлив до целых.

 

В системе отсчета одного из тел другое будет двигаться по прямой с постоянной скоростью. Для определенности перейдём в СО тела, брошенного вверх. Тогда оно становится неподвижным, а второе тело летит под углом вниз со скоростью U, которую можно найти из закона сложения скоростей.

тогда за время t₀ расстояние между телами станет

Ответ: 87 м.

 

Литература и Интернет – ресурсы

 

1.     Генденштейн Л.Э., Кирик Л. А., Гельфгат И.М. Задачи по физике для профильной школы с примерами решений. 10-11 класс. Под ред. В.А. Орлова. – М.: Илекса, 2018.

2.     https://easy-physic.ru/ Простая физика. Сайт Анны Денисовой

3.     https://edu.sirius.online/#/course/245 Дополнительные главы физики: кинематика 9 класс. (курсы по физике)

 

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru