Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Балахнинский технический техникум (ГБПОУ БТТ)

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ.

 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

 

для студентов и преподавателей 

 

                

 

 

 

 Грищенкова Ю.С. Методическое пособие по решению прикладных задач по математике.- Балахна, Изд. ГБПОУ БТТ, 2022.- 13 с.

 

Методическое пособие разработано в соответствии с государственными требованиями к содержанию и оформлению текстовых документов и изданий. 

В методическом пособии содержатся примеры решения прикладных задач и задачи для самостоятельного решения.  

        Предназначено для студентов колледжей по специальности 22.02.06 Сварочное производство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Балахна, 

2022

 

 

Рассмотрено 

На заседании ______________________________

Протокол №____ от «____»______________ 2022г.

Руководитель ___________________/_________________/

 

Утверждено  протокол заседания методического совета ГБПОУ БТТ

№____ от «____»______________ 2022г.

Председатель  ___________________ /________________/ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение.............................................................................................................................................. 4

1. Роль математики в сварочном производстве............................................................................... 4

2. Математика в профессии сварщика.............................................................................................. 6

      2.1. Задачи на чтение и построение чертежей........................................................................... 6

  2.2. Вычислительно – расчетные задачи........................................................................................ 7

      2.3. Профессионально значимые задачи.................................................................................. 10

Заключение........................................................................................................................................ 12

Список использованной литературы и Интернет – ресурсов...................................................... 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

          Опыт преподавания математики в системе профессионального образования показывает, что основная  задача обучения – это обеспечение прочного и сознательного овладения студентами системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности современного общества.

Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. 

Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

Роль математики в современном мире трудно недооценить. Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности, в том числе и в сварочном производстве.

Решение задач по математике, содержание которых очень тесно связано с характером повседневной работы студентов, заставляет их обращать внимание на отдельные моменты производственного процесса (на уроках производственного обучения).

 

1. Роль математики в сварочном производстве

 

Математика – одна  из важнейших учебных дисциплин. Она приобретает особое значение в связи с необычайным ростом науки, технического прогресса в нашей стране.

Высокий уровень развития математики необходим для прогресса многих наук. 

Трудно найти такую область знания, где математика не играла бы никакой роли. Хорошо известно, что развитие наук в последнее время характеризуется проникновением в них математических методов и математического стиля мышления. Это касается не только физики, техники и астрономии, но и таких, казалось бы, весьма далёких от математики наук, как современная химия, биология, геология, археология, медицина, метеорология, экономика и различных других наук. Математика необходима в практической деятельности инженеров и техников, нужна для многих видов квалифицированных рабочих профессий. Зачем  сварщику математика? 

Профессия сварщика – это рабочая специальность, востребованная на производстве. Данный вид деятельности подразумевает соединение пластмасс и металлов без каких-либо крепежных приспособлений и деталей. 

Профессия  требует высокого уровня ответственности, так как срок эксплуатации всевозможной техники, устойчивость и долговечность строительных конструкций напрямую связаны с качественно выполненной работой сварщика. Именно благодаря сварке металлические элементы будут надежно соединены как при изготовлении новых конструкций или изделий, так и при ремонте старых элементов.

Сварщик – это специалист, занимающийся соединением металлических и неметаллических деталей, узлов и других конструкций методом оплавления.

Временем возникновения профессии сварщик можно считать 1802 год, когда Василий Владимирович Петров открыл эффект электрической дуги, при возникновении которой между двумя угольными электродами, создаётся высокая температура. Эта температура настолько высока, что позволяет расплавлять металлы. С момента этого открытия и до его промышленного применения прошёл немалый период времени. Но спустя десятилетия, метод соединения металлов электродуговым способом произвёл революцию в различных отраслях промышленности, строительства и стал массовой технологией соединения материалов. 

Сварочные работы применяются во многих отраслях промышленности. Сварщики трудятся на стройплощадках, создавая конструкции и системы различных коммуникаций, в промышленности, где применяют свой опыт и навыки в машиностроении, кораблестроении, авиастроения и в других областях, таких как, энергетика, нефтеперерабатывающая промышленность, сельское хозяйство. Трудно назвать такой сегмент производства, где не применялся бы труд сварщика.

 Должностные обязанности техника – сварщика: проведение необходимых расчетов и оформление технической документации, выявление причин брака продукции, разработка мер по его предупреждению, при необходимости - ликвидации. Занимается составлением графиков ремонта сварочного оборудования (планово предупредительный и капитальный).

 Специалист этой области должен обладать необходимыми знаниями, иметь представление не только об устройстве сварочного оборудования, но и применять в работе правила его эксплуатации, наладки, и другие. 

От мастерства сварщиков зависит качество сварочных швов. Любые ошибки, небрежность, допускаемые в работе, могут привести к катастрофическим последствиям. От качества работы сварщика зависит многое — долговечность и устойчивость строительных конструкций, работа и срок службы различной техники. Стать квалифицированным востребованным специалистом в своем деле невозможно без определенных знаний из других наук. 

«Математика представляет искуснейшие изображения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремёсла и уменьшить труд людей». 

Эти слова сказал ещё в XVII веке великий французский математик Рене Декарт. Математика даёт надёжные способы решения задач, реально возникающих в практике людей самых различных профессий. 

Необходимость применения знаний элементарной математики ощущается в работе представителей практически всех  профессий, в том числе и моей. 

Различаются непосредственные и косвенные связи математики с профессиональной подготовкой, а затем и с трудовой деятельностью.

Это измерительные, вычислительные и графические навыки, умение читать и строить условные графические изображения, пользоваться разнообразными таблицами, справочниками и т.д.

В своей работе сварщику практически каждый день приходится сталкиваться с решением тех или иных проблем, вопросов, задач, ситуаций или еще каких-либо процессов. И во многих случаях для решения проблемы ему необходимы математические знания. Можно составить небольшой список примеров практического использования математических знаний  и умений специалисту сварочного производства:

•             разрабатывать  меры  предупреждения  образования  дефектов сварных соединений и   технологию их устранения;

•             выполнять  необходимые  теоретические и экспериментальные исследования  по профилю  специальности и составлять отчет по работе;

•             конструирование технологической модели типовых конструкций; 

•             построить чертеж будущего изделия; 

•             знания математической символики для выражения  количественных и качественных свойств объектов;

•             исследования свойств будущих конструкций и оценкой применимости полученных результатов;

•             уметь использовать основные понятия и методы геометрических построений и измерений;

•             уметь использовать для  решения производственных задач методы изученных им наук;

•             изучить и анализировать  информации, технические данные, показатели и результаты работы, обобщать и систематизировать их, проводить необходимые расчеты, используя современную электронно-вычислительную технику;

•             осуществлять экспертизу технической документации, надзор и контроль над состоянием и эксплуатацией оборудования;

 

2. Математика в профессии сварщика

Создание сварной конструкции, полностью отвечающей своему служебному назначению, надежной в эксплуатации, представляет собой комплексную задачу, которая включает проектирование, расчет, рациональное построение технологии изготовления. Все это требует определенных математических знаний – вычислительных навыков, знания правила пропорции, умения нахождения неизвестного и др.,  и, конечно же, немало знаний из области геометрии. Что необходимо знать и уметь будущему сварщику по математике:

•        Знания и навыки расчетного характера.

•        Умения выполнять действия с действительными числами, с числами разных знаков, со степенями.

•        Умения  оперировать с процентами.

•        Знания правила пропорции. 

•        Знания из области геометрии (определения  и построения основных геометрических фигур на плоскости, формул для вычисления площадей и объемов, свойства прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве). 

•        Владение навыками работы на калькуляторе и на компьютере.

 

Геометрическое проектирование сварочной конструкции помогает не только уменьшить время, затрачиваемое на создание изделия, но и позволяет свести до минимума изменения, вносимые в конструкцию, практически исключить ошибки и улучшить качество изделия. Рассмотрим различные производственные задачи, приводящие к необходимости применения математического аппарата.

2.1. Задачи на чтение и построение чертежей

Многие, привлекающие наш взгляд изделия созданы руками сварщика. Это кованые изделия.  Мы видим различные фонарики, витые трубы, затейливые ажурные завитки.  Порой такие изделия поражают своей красотой, и, кажется, что человеческие руки не могут сделать такого.

 

                                                                                    

 

Для того чтобы такие изделия пользовались спросом, они должны соответствовать требованиями моды, эстетики, функциональности и технологичности. 

Моделирование внешнего вида изделия средствами геометрии на начальном этапе работы является важной частью работы современного сварщика. 

Возможность создания точных моделей детали является фундаментом успешного результата. 

Первый этап работы – эскиз, а также грамотно выполненный чертеж изделия помогает оценить общее качество изделия с точки зрения его внешнего вида и математических свойств поверхностей и соединений. 

Разработка эскиза и чертежа невозможна без знания определенных  понятий геометрии:

расстояние между точками, длина отрезка, параллельность и перпендикулярность прямых, окружность, радиус и диаметр и др.

Немаловажным для хорошего сварщика является умение чтения чертежей. 

Следующие примеры наглядно демонстрируют нам необходимость при чтении чертежей  иметь в запасе определенный набор геометрических знаний, таких как понятия перпендикулярности, перпендикуляра и наклонной, параллельности, радиуса, диаметра, линейных размеров и др. 

2.           Допуск перпендикулярности оси отверстия относительно поверхности Ø 0,1 мм

(допуск зависимый) (рис. 1)

 

рис. 1

3.           Допуск      параллельности        общей             прилегающей            плоскости      поверхностей

относительно поверхности А 0,1 мм (рис.2)

рис. 2

4.           Допуск наклона поверхности относительно поверхности А 0,08 мм (рис. 3)

рис.3

 

 

                                                            2.2. Вычислительно – расчетные задачи.

 

Пусть требуется рассчитать количество металла, необходимое для изготовления данной ограды с заданным количеством пролетов. 

 

Для решения этой производственной задачи тоже требуется умение чтения чертежа, или даже его построения по желанию заказчика. 

Рассмотрим один пролет. Изделие изготавливается из металлического прутка или тонкой арматуры. Чтобы сосчитать количество металла (по длине), необходимо знать все линейные размеры этой конструкции.

Кроме того, потребуется расчет длины окружности фрагмента 1 по формуле L=2R, где R – радиус окружности, и расчет длины дуги окружности фрагмента 2 по формуле p ₌^Rn , где n – величина центрального угла (рис 4). 

180

Сложив все размеры и умножив на количество пролетов, мы получим искомую величину – количество материала по длине.

 

 

                                                Фрагмент                             1 фрагмент 2

 

 

                                                        рис.4

                                               центральный угол

 

При изучении темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей»  рассматриваются расположение плоскостей в тавровых  и угловых соединениях, расположение металла при изготовлении решетчатого настила (увеличение прочности за счет перпендикулярного расположения).

Изготовление качелей – не такая уж простая задача, потребуется полистать учебник геометрии, вспомнить возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве

При изучении темы «Многогранники» производим расчет площадей и объемов изделий, имеющих форму многогранников; расчеты количества материалов, идущего на изготовление изделия; изменение размеров фигур с учетом подобия. 

Изготовление печи для бани

Изготовление печи для бани – эта конструкция состоит из нескольких геометрических форм, каждая с определенными свойствами – прямоугольный параллелепипед, цилиндр. Расчет для профессионально значимых задач производит непосредственно техник – сварщик, а рабочий сварщик может определять данные параметры по другим комплексным признакам.

 

Примеры задач по данной теме

 

1.      Сколько квадратных метров конструкционной стали потребуется для изготовления емкости для воды, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами 1,2, 3 и 1,5 м

2.      Найдите  массу стальной двутавровой балки длиной 4 м, шириной 1 см, высотой 8 см.

(плотность стали ≈ 7,8 г/см³). 

Дано: прямоугольный параллелепипед а = 4 м = 400 см b = 1 см h = 8 см ρ = 7,8 г/см³ m - ? 

Решение: 

m = 400 1 8 7,8=24960 (г)= 24,96 (кг) Ответ: масса балки равна 24,96 кг.

3.      Вычислите массу профильного металла  длиной 25,75 м, высотой 1,2 м. Поперечное сечение – 8 мм (плотность стали ≈ 7,8 г/см³). 

 

4.      Сварщику      необходимо   изготовить     бункер,           имеющий       форму             правильной четырехугольной призмы, длина стороны основания которого равна 1,2 м, высота – 2,4 м. Сколько стали необходимо выполнения работы? (Прим.: на швы следует добавить 3% материала).

 

Дано: правильная 4-угольная призма а = 1,2 м h = 2,4 м S - ? 

Решение: 

Sбок = Pосн h

 

Sосн = a2

S_осн =1,2² =1,44(м²)

S_бок =1,242,4 =11,52(м²)

               S =11.52 +1.44 =12.96(м²)                                      

На швы

1)12,960,03 = 0,39(м²); 2)12,96 + 0,39 =13,35(м²)

Ответ: для изготовления бункера сварщику необходимо 13,35 (м²)стали. 

 

5.      Следует изготовить кубический бункер, чтобы он вмещал 2,5 м³шлака.  Вычислить высоту бункера. 

 

6.      Необходимо вычислить, сколько м²металла пойдет на изготовление гаража с полом? Высота – 2,5 м, длина – 6 м, ширина – 3 м.- 8м - 

 

7.      Сварщику необходимо узнать, сколько кубических метров шлака вместится в контейнер, имеющий форму усеченной пирамиды, длина сторон основания которой 1,2 м и 2,4 м, а высота – 2м.

 

Дано: правильная 4-угольная усеченная пирамида а1 = 1,2 м b1 = 2,4 м h = 2 м V - ? 

Решение: 

V =h(S + S ₁

 

V =  2(1.44 + 5.76 +          1.445.76) = 6.72м³ Ответ: в контейнер вмещается 6,72 м³ шлака. 

 

Для будущих сварщиков профессионально значимым является и  тема «Тела вращения». 

 

 

 

 

 

 

2.3. Профессионально значимые задачи

Профессионально значимые задачи – это задачи-модели будущей профессиональной деятельности, которые требуют ориентации на соотношение фундаментальных и прикладных знаний.

В качестве примеров профессионально значимых задач приведем следующие задачи, рассматриваемые на уроках математики и в профессиональной деятельности:

1.      Сварить металлическую конструкцию перпендикулярно заданной плоскости (укрепить трубу ограды клумбы перпендикулярно земельному участку; укрепить фонарный металлический столб перпендикулярно земле и др.);

2.      Определить вес  электродов, необходимых для создания металлической конструкции (для шва пожарного ведра конической формы; для арматуры заданной формы и др.), если на один погонный метр требуется 250-300 г электродов;

3.      Сколько кг электродов потребуется на изготовление  емкости для воды, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, объемом 1 куб. м, если на 1 м потребуется 250-300г электродного материала. ( в данном примере рассматривается дуговая сварка)

4.      При условии, что будем применять газовую сварку, задача приобретает такое условие: произвести расчет присадочного материала и газа, если на 1 мм толщины металла 100-150 мм³, если производить сварку металла толщиной 2,5мм с учетом правого (левого) способа. Расход присадочного материала и газа при левом способе 120-150 мм³, а при правом способе -100-130 мм³. При этом нужно еще учитывать, что левый способ сварки предполагает толщину металла менее 3 мм, а правый- - и более мм.

5.      Рассчитать силу сварочного тока по диаметру электрода. Для диаметра менее 3 мм сила сварочного тока вычисляется по формуле: Iс. = 30d k, где k- коэффициент пространственного положения. (для нижнего положения k=1, для горизонтального и вертикального положения k=0,9, а для потолочного положения -  k=0,8), для электродов, имеющих диаметр d>0 сила сварочного тока вычисляется по формуле:  Iс. = (20 + 6d)d k,

6.      Сварщику необходимо изготовить бак, имеющий форму параллелепипеда с основанием 1,4х2,2 м, чтобы он вмещал 2 т воды. Какова должны быть высота бака? (плотность воды 1000 кг/м3).

 

Будущим сварщикам необходимо научиться производить точный расчет длины сварных швов (стыковых, угловых) при изготовлении резервуаров, цистерн, емкостей, имеющих форму фигур вращения, уметь видеть фигуры вращения и их сечения в узлах стропильных ферм из круглых труб, плоскосвариваемых труб; научиться производить расчет расхода электродного материала с учетом размеров электродов; рассчитать материал и массу изделий, имеющих форму фигур вращения. 

 

Примеры задач по данной теме

 

1. Сварщику необходимо изготовить цистерну цилиндрической формы, высота которой – 3 м, радиус основания – 1,5 м. Вычислить, сколько электродов необходимо для сварки, если на 1 м расходуется 4 электрода, а масса одного электрода 60 г. Вычислить стоимость электродов, если 1 кг их стоит 70 рублей.  Дано: цилиндр h = 3 м r = 1,5 м 1 м – 4 электрода m1 = 60 г

1 кг – 70 руб. 

Стоимость электродов - ? 

С = 2r

             Решение:                                             

С = 23.141.5 = 9.42(м) Длина швов: 3+9,42=12,42(м)

Количество электродов: 12,42*4=49,68=50 электродов стоимость электродов:

 50*0,06*70=210руб

Ответ: стоимость электродов равна 210 руб.

2. Необходимо изготовить воронку, представляющую форму усеченного конуса.  Радиусы оснований: 2 м и 10 м, высота – 30 м. Сколько потребуется металла  на изготовление такой воронки, если на сварку добавить 3% материала?

 

Дано: усеченный конус 

 r = 2 м   R = 10 м          h = 30 м           Sбок - ?                      

              Решение:                                                                      

S_бок =(R + r)l l² = h² + (R − r)² = 30² + 8² = 964

              l =      964  31.05 (м)                                       

S_бок = 3.14(10 + 2)31.05 1169.96 (м²) На швы:1).1169,960,03 = 35,1(м²);

2).1169,96 + 35,1=1205,06 (м²)

 

Ответ: на изготовление воронки пойдет 1205,06 (м²) металла. 

 

3. Какие размеры должен иметь прямоугольный лист металла для изготовления  трубы длиной 140 см и диаметром 10 см? (на швы добавить 2 см). 

 

5.      Сопло газовой горелки имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований  – 10 см и 5 см, длина образующей – 7 см. Найти площадь поверхности горелки.

 

6.      Найти длину проволоки которая потребуется на изготовление (путем сварки) каркасной модели прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 30, 40 и 50 мм. На швы и на отходы необходимо добавить 3% материала.

 

7.      На каком расстоянии от плоскости сварки будет находиться конец электрода, если металл имеет толщину 2 мм, длина электрода 300 мм.

 

8.      Рабочий изготовил резервуар цилиндрической формы. Если его высота – 8 м, длина окружности основания – 30 м, радиус окружности основания равен 3,5 м, а высота равна диаметру основания, то каков будет объем резервуара? 

Дано: цилиндр  h = 8 м  с = 30 м  V - ? 

Решение: V =r²  h

C           30        C = 2r  r =            =          4.78 (м)

2 23.14

V = 23,144,78² 8 = 573,95 (м³)

 

    Ответ: объем резервуара равен 573,95 м³

 

Заключение.

 

Для  профессии  сварщика из области математики профессионально значимыми являются, в первую очередь, знания и навыки расчетного характера,  умение выполнять действия с числами разного знака, оперировать обыкновенными и десятичными дробями, в том числе приближенными,  умение оперировать процентами. В техническом обиходе активно используются такие математические понятия, как соотношение величин,  пропорции, прямая и обратная пропорциональные зависимости, степень числа.

Из геометрических знаний, прежде всего рабочему этой профессии необходимо освоить определения, виды  и свойства взаимного расположения плоскостей, расположения плоскостей в угловых соединениях и научиться оперировать ими   применительно к своей профессии; уметь производить  расчет площадей и объемов изделий,  имеющих форму многогранников;   расчеты количества материалов, идущего на изготовление изделия и наверняка еще многое другое, чему предстоит научиться каждому, выбравшему эту нелегкую, но востребованную и, несомненно, уважаемую профессию.

Естественно-математическая подготовка сварщиков имеет решающее значение для формирования у них многих качеств – таких, как умение работать самостоятельно, сравнивать и оценивать качество выполняемой работы в соответствии с требованиями, умело координировать свои движения и быстро реагировать на изменения ситуаций. 

Развивается чувствительность зрительного и слухового анализаторов, формируются навыки соблюдения технологической последовательности выполняемых работ. Все это способствует росту компетентности будущего сварщика, высокой мобильности, что позволит ему быть конкурентным в сложных рыночных условиях. 

Подводя итог, хочется сказать, что в наше время постоянно происходит увеличение сфер или отраслей деятельности, где в той или иной степени применяется математика. Это связано в первую очередь с быстрым развитием научно-технического прогресса – все быстрее появляются новые технологии и с каждым годом они становятся все более сложными; а также с тем, что математические основы – это базовые знания, фундаментальный заклад, который нужен в любой науке. И в связи с этим, хочется в очередной раз подчеркнуть, насколько важна роль математики в сварочном производстве. Расчеты должны быть сверхточными для обеспечения полной безопасности прохождения тех или иных процессов, и чтобы этого достичь, он использует математические знания. Если же специалист  не будет обладать достаточным уровнем квалификации, то он останется невостребованным, что в свою очередь для него весьма и весьма невыгодно. Таким образом, можно сделать вывод, что математика – это, в какой-то мере, основа любой науки, и без знания математики в современном мире существовать практически невозможно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                  12

Список использованной литературы и Интернет - ресурсов

 

1.      Алешина  Т.Н.  Дидактический  материал  проф.  направленности  как  средство повышения эффективности обучения математике в средних профтехучилищах. – М.: Просвещение, 1990. 

2.      Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. М.: Просвещение, 2011. 

3.      Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 класс. М.: Просвещение, 2007. 

4.      Блинов А.Н., Лялин К.Н. Сварочные работы (конструкции). 

5.      Депман И.Я.,  Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

6.      Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. М.: Просвещение, 2007. 

7.      Куркин С.А., Николаев Г.А. Сварочные конструкции. 

8.      Покровский Б.С. Сборник дидактических материалов по курсу спец. технологии  по  профессии "Слесарь  механосборочных  машин":  Методические  рекомендации. Часть 1. – М.: Высшая школа, 1996.   

9.      Рудник  Г.С.,  Соловьев  И.Я.  Сборник  задач  и  упражнений  по  математике  для подготовки металлистов в средних профтехучилищах. – М.: Высшая школа, 1985. 

10.  Энциклопедический словарь юного математика / cост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. 

Интернет-ресурсы 11. История         возникновения          счета   [Электронный       ресурс]           -           Режим            доступа: http://freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.html

12.  Роль    математика    в          медицине.      [Электронный           ресурс]           -           Режим             доступа: http://www.sciam.ru/2006/8/knizhnoe.shtml

13.  Математика   в          жизни общества        [Электронный           ресурс]           -           Режим             доступа: http://revolution.allbest.ru/mathematics/00082112_0.html

14.  О некоторых проблемах математического образования [Электронный ресурс] Режим доступа : http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=tikh_rcme 15. Нужны ли школьникам уроки математики? Мысли об учебной мотивации школьников.

[Электронный           ресурс]           -           Режим            доступа: http://www.researcher.ru/methodics/teor/a_150xjb.html

16. 1.http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E8_(%F7%E8%F1%EB%EE) 17. 2.http://portfolio.1 september.ru/worr.php.?id=586528

18. http://images.yandex.ru/

 

 

                                                                                  13