Методы начального обучения математике

Методы начального обучения математике Вопрос о методах — это вопрос о том, как учить, чтобы добиться высоких образовательных и воспитательных результатов в обучении. В педагогике рассматриваются различные методы, которые используются в начальных классах при обучении любому школьному предмету, в том числе и математике. Если иметь в виду совместную деятельность учителя и ученика, то выделяют методы: объяснение материала учителем, беседа, самостоятельная работа учащихся. В зависимости от способа приобретения знаний детьми различают догматический, эвристический и исследовательский методы. Если рассматривать методы с точки зрения пути, по которому движется мысль учащихся, то говорят об индуктивном, дедуктивном методах и методе аналогии. Все эти методы используются при обучении математике с учетом особенностей учебного предмета, выступая во взаимосвязи и в единстве. Например, при ознакомлении учащихся с новым материалом может быть использован метод беседы эвристического характера, в процессе проведения которой учащиеся индуктивным путем подводятся к новым знаниям. Конкретное применение методов при обучении математике учитывает специфику содержания начального курса математики. Так, методы изучения геометрического материала отличаются от методов изучения арифметического материала. Отбор методов обучения определяется многими факторами: общими задачами обучения, которые ставятся перед школой в современных условиях, содержанием изучаемого материала, уровнем подготовленности детей к овладению соответствующимматериалом. Задачи обучения могут быть успешно решены, если в методике изучения математического материала предусмотреть определенные ступени: подготовку к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний, умений и навыков. Особенность изучения математического материала в начальных классах состоит в том, что подготовка к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление соответствующих знаний, умений и навыков осуществляется через выполнение учащимися системы упражнений, т. е. определенных математических заданий. Упражнения могут быть различными по своей математической структуре, в зависимости от содержания материала: нахождение значений выражений, сравнение выражений, решение уравнений, решение задач. Упражнения могут предлагаться по-разному: - могут быть записаны на доске, взяты из учебника или продиктованы учителем; - могут быть даны в обычной или в занимательной форме, в форме дидактической игры. Рассмотрим, какие методы целесообразно использовать на разных ступенях работы над программным материалом, чтобы добиться успеха в решении главных задач обучения математике в начальной школе. Подготовительная работа должна обеспечить необходимые условия для успешного усвоения материала всеми учащимися класса. Система упражнений на этой ступени должна способствовать созданию или расширению опыта детей, который ляжет в основу ознакомления с новым материалом, воспроизведению материала, на который придется опираться при раскрытии нового. Например, в основе ознакомления с арифметическими действиями лежат операции над множествами: объединение множеств, не имеющих общих элементов, удаление части множества. Поэтому до ознакомления с действиями, используя метод беседы, надо предложить учащимся упражнения по оперированию множествами. Положите 5 кружков и еще 2 кружка. Придвиньте 2 кружка. Сколько стало кружков? Уберите 3 кружка. Сколько теперь кружков? До введения приема перестановки слагаемых надо повторить переместительное свойство сложения. С этой целью учащимся предлагают упражнения, при выполнении которых они должны применить переместительное свойство сложения. В этом случае целесообразно использовать метод беседы. На доске запись: 5 + 2 2 + 5 Решите первый пример. Сколько получилось? Сравните второй пример с первым: чем они похожи? чем отличаются? Кто может сказать, не вычисляя, ответ второго примера? Почему получилось тоже 7? Во многих случаях подготовительные упражнения могут выполняться учащимися самостоятельно, т. е. можно использовать в этом случае метод самостоятельной работы. Например, до ознакомления с решением уравнений вида х·3 = 51можно предложить учащимся самостоятельно выполнить упражнение — найти результат каждого второго примера, пользуясь первым: 8 · 6 = 48 48 : 8 = 7 · 9 = 63 63 : 9 = 6 · 4 = 24 24 : 6 = Объясняя выполнение этого упражнения, учащиеся формулируют правило: если значение произведения разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Опираясь на это знание, учителю легко подвести детей к решению уравнений данного вида. Есть еще одна важная сторона в подготовке ученика к усвоению нового материала — это формирование у него умений выполнять умственные операции: умение выполнять анализ синтез, сравнивать объекты, выделять существенное общее (выполнять обобщение), отвлекаясь от несущественного. Работа по формированию названных умственных операций должна начинаться с первых дней обучения детей в школе и органически связываться с изучением материала. Особое внимание при этом нужно уделить обучению детей сравнивать объекты, так как для сравнения надо выполнять анализ и синтез, а сама операция сравнения лежит в основе обобщения. Формируя у детей умения сравнивать, надо больше включать упражнений на сравнение математических выражений, чисел, задач, геометрических фигур. При этом можно использовать такой прием: предложить детям рассказать все, что знаешь о сравниваемых выражениях, числах, фигурах, затем сказать, чем они похожи и чем отличаются. Например, при сравнении выражений 7 + 3 и 7 + 2 в соответствии с названными заданиями ученики рассуждают: первый пример на сложение, первое слагаемое 7, второе 3, значение суммы 10; второй пример тоже на сложение, первое слагаемое 7, второе 2, значение суммы 9; сходное в примерах: они на сложение, первые слагаемые одинаковые; различное: вторые слагаемые различные, в первом примере больше; суммы различные, в первом примере больше. Сначала такие рассуждения проводятся вслух, а затем про себя, в результате чего у детей вырабатывается умение сравнивать. Ознакомление с новым материалом осуществляется преимущественно через систему упражнений, выполняемых учащимися. При этом в зависимости от содержания материала и целей его изучения используются различные методы. При ознакомлении с теоретическим материалом типа сведений (правила порядка выполнения арифметических действий в выражениях, ознакомление с терминами), при ознакомлении с некоторыми приемами вычислений (прибавить и вычесть число 2), при инструктаже учеников по использованию инструментов (линейки, циркуля, угольника, транспортира) и в других подобных случаях используется метод изложения (объяснения) учителем нового материала. Учитель при этом излагает (объясняет) материал, а учащиеся воспринимают его, т. е. приобретают знания в готовом виде. Изложение материала должно быть четким, доступным, непродолжительным по времени. При этом по мере надобности используются наглядные пособия. Например, при ознакомлении с терминами — названиями компонентов арифметических действий, результата и соответствующего выражения полезно использовать такие плакаты: При ознакомлении учащихся с математическими понятиями (число, арифметические действия), с теоретическими знаниями типа закономерностей (свойства арифметических действий, связи между компонентами и результатами арифметических действий) чаще всего используется метод беседы. Система упражнений в этом случае должна вести детей от частных фактов к общему выводу, к «открытию» той или иной закономерности, т. е. здесь целесообразна эвристическая беседа, обеспечивающая индуктивный путь рассуждения. При ознакомлении с новым материалом индуктивным путем учитель, проводя беседу, предлагает учащимся ряд упражнений. Учащиеся выполняют их, затем, анализируя, выделяют существенные стороны формируемого знания, в результате чего делают соответствующий вывод, т. е. приходят к обобщению. Рассмотрим, как можно ознакомить учащихся II класса со связью между суммой и слагаемыми, подводя их к выводу индуктивным путем, используя эвристическую беседу. Возьмите 4 синих кружка, придвиньте к ним 3 красных. Сколько получилось кружков? (7.) Как узнали? (К 4 прибавить 3.) Записывают: 4 + 3 = 7 Как называется число 4? (Первое слагаемое.) Число 3? (Второе слагаемое.) Число 7? (значение суммы.) Учитель записывает на доске: 4 — первое слагаемое 3 — второе слагаемое 7 — значение суммы Покажите на кружках, как вы изобразили первое слагаемое (показывают 4 синих кружка), второе слагаемое (показывают 3 красных кружка), значение суммы (показывают все кружки). Отодвиньте синие кружки. Сколько кружков осталось? (3.) Как узнали? Записывают: 7 - 4 = 3. Сравните этот пример с первым. Как получили этот пример из первого? (Из 7 - значения суммы, вычли 4 - первое слагаемое, получили 3 - второе слагаемое). Придвиньте синие кружки к красным. Отодвиньте теперь красные кружки. Сколько кружков осталось? (4.) Как получили? (Из 7 вычли 3, получили 4.) Запишите этот пример под вторым и сравните его с первым примером. (Здесь из 7 - значения суммы, вычли 3 - второе слагаемое, получили 4 - первое слагаемое.) Далее выполняется еще ряд подобных упражнений с другими числами, в результате чего дети сами формулируют общие выводы: если из значения суммы вычесть первое слагаемое, то получится второе, а если вычесть второе слагаемое, то получится первое. К системе упражнений при индуктивном пути ознакомления с новыми теоретическими знаниями предъявляется ряд требований. Система упражнений должна обеспечить наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений важно во многих случаях использовать наглядность. При ознакомлении с математическими понятиями и закономерностями в начальных классах часто используют для этой цели операции над множествами и записи соответствующих арифметических действий. Так, в нашем примере учащиеся объединяли два множества кружков и выполняли запись: 4 + 3 = 7, затем удаляли часть множества и снова записывали соответствующее арифметическое действие: 7 - 4 = 3 или 7 - 3 = 4. Это и явилось наглядной основой для «открытия» ими связи: если из значения суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Важно, чтобы каждый ученик сам выполнял операции над множествами, а не только наблюдал за действиями учителя, и чтобы учащиеся научились самостоятельно пользоваться наглядностью, что поможет им впоследствии воспроизводить забытое. Упражнения надо подбирать так, чтобы, анализируя их, учащиеся смогли бы выделить все существенныестороны формируемого знания. С этой целью надо, прежде всего, подбирать упражнения так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть достаточное число упражнений, т. е. столько, сколько потребуется для того, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению. В рассмотренном нами примере несущественным являются числа, их надо брать в каждой сумме различными: 7 + 3, 1 + 6, 5 + 4, существенным является сама связь: если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое; наблюдение этой связи и должно быть главным при проведении беседы. Если же будет сохраняться несущественное, то учащиеся могут сделать неверное или узкое обобщение. Например, связь между значением суммы и слагаемыми в одном из классов была рассмотрена на примерах: 4 + 1, 7 + 1, 9 + 1, учащиеся сформулировали такой вывод: если из значения суммы вычесть единицу, то получится первое слагаемое. Здесь сохранялось неизменным несущественное — одинаковое второе слагаемое, вследствие чего учащиеся приняли несущественный признак за существенный. Поэтому во многих случаях целесообразно указывать и на несущественные стороны (например, указать, что можно брать любые числа). В начальном курсе математики есть сходныевопросы (например, переместительное свойство сложения и переместительное свойство умножения) и есть противоположные(например, сложение и вычитание). При знакомстве с материалом, который сходен с ранее изученным, надо подбирать упражнения так, чтобы можно было раскрыть новый материал в сопоставлении со сходным, т. е. выделяя существенное сходное. Раскрывая противоположные понятия, надо подбирать упражнения так, чтобы можно было использовать прием противопоставления, т. е. выделить существенное различное. Приемы сопоставления и противопоставления помогают правильному обобщению формируемого знания, предупреждают смешение. Таким образом, при ознакомлении учащихся с новым теоретическим материалом (вводя понятия, раскрывая свойства, связи) учитель через систему упражнений подводит детей к обобщению. Обобщение выражается в речи: ученики формулируют соответствующий вывод. Важно, чтобы ученики сами сформулировали вывод. Это покажет учителю, что они пришли к обобщению. Не следует бояться не очень гладких формулировок. Постепенно под руководством учителя на следующей ступени в процессе применения знаний формулировки приобретут и соответствующую форму. При ознакомлении с вопросами практического характера, которые вводятся на основе теоретических знаний (ознакомление с вычислительными приемами, с приемами решения уравнений), используется эвристическая беседа, однако здесь система упражнений должна обеспечить дедуктивный путь рассуждения: от общего положения к частному, подведение частного под общее. Например, при ознакомлении с решением уравнений вида х·3 = 51 учащиеся должны опираться на знание связи: если значение произведения разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это и есть общее знание, на которое опираются при решении данного конкретного уравнения. Беседу при этом можно провести так: На доске запись: х · 3 = 51 Что здесь записано? (Уравнение.) Что известно? (Значение произведения - 51 и второй множитель - 3.) Что неизвестно? (Первый множитель.) Как его можно найти? (Значение произведения разделить на второй множитель.) Почему так можно? (Мы знаем, если значение произведения разделить на один из множителей, то получится другой множитель, значит, чтобы найти неизвестный множитель, надо значение произведения разделить на известный множитель.) Как видим, знакомясь с решением уравнения, учащиеся исходили из известного им вывода о связи между произведением и множителями, т. е. к решению частного вопроса они пришли от общего. В применении дедуктивного рассуждения наибольшую трудность для детей представляет само подведение частного факта под общий вывод. Так, решая уравнение х·3=21, некоторые ученики находят неизвестное умножением, т. е. используют действие, указанное в уравнении. Правильному применению дедукции помогают упражнения в конкретизации (ученики приводят свои примеры на определенное правило, или сами используют наглядность), упражнения в классификации понятий (например, выписывают из данных чисел сначала однозначные, а потом двузначные). В начальных классах иногда при ознакомлении с новым материалом используется метод самостоятельных работ: учащиеся самостоятельно выполняют упражнения и приходят к выводу, т. е. в приобретении знаний они используют исследовательский метод. Например, составляя неоднократно таблицы умножения (3·3; 3·4; 3·5), ученики замечают, что каждое новое произведение увеличивается на число, равное первому множителю; в дальнейшем, при составлении таблиц, они используют это знание. Чаще метод самостоятельных работ применяется при ознакомлении с вопросами практического характера, когда учащиеся на основе полученных знаний самостоятельно находят новые вычислительные приемы, новые способы решения задач. Самостоятельная работа как метод обучения дает возможность ученику сознательно и прочно усвоить материал, проявить умственную активность. Закрепление знаний, умений и навыков происходит на следующей ступени в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение знаний. Эта система упражнений также должна удовлетворять ряду требований. Упражнения должны постепенно усложняться, обогащать формируемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать установлению связей между новыми и уже имеющимися знаниями. Рассмотрим систему упражнений на закрепление знания о связи между значением произведения и множителями. На этапе ознакомления с новыми знаниями учащиеся III класса приходят к обобщению: если значение произведения двух чисел разделить на первый множитель, то получится второй множитель, а если разделить на второй, то получится первый множитель. На этапе закрепления этого знания сначала ставится задача добиться осмысления этого правила. С этой целью предлагаются упражнения на непосредственное применение знания: с k с·k 1) 10 3 10 2 10 5 10 8 Вычислите произведения и, пользуясь ими, покажите, что при делении значения произведения на один из множителей получается другой множитель. 2) По каждому примеру на умножение составьте два примера на деление: 3·4, 8·4, 10·7. Затем ставится цель научить детей использовать знание взаимосвязи для решения простейших уравнений вида: х · 3 = 12. Здесь опосредованное применение знаний: учащиеся должны переосмыслить известный им вывод - чтобы найти неизвестный первый множитель, надо значение произведения разделить на второй множитель. Далее учащиеся применяют этот новый вывод при выполнении таких упражнений: 2.1) Найдите неизвестное число: х · 5 = 10 6 · а = 6 k · 2= 12 2.2) Произведение равно 8, первый множитель 2. Найдите второй множитель. Чтобы предупредить смешение формируемой связи с ранее усвоенной связью между компонентами и результатом действия сложения, надо предусмотреть специальные упражнения на противопоставление. Например, предлагаются уравнения, в которых неизвестно слагаемое или множитель: а · 3 = 12 и а + 3 = 12. После решения сравниваются уравнения, а также способы их решения. Далее знание формируемой связи используется для нахождения табличных результатов деления по известным результатам умножения. Вновь предлагаются упражнения: 2.3) Если известно, что 7 · 4 = 28, то какие примеры на деление можно решить? 2.4) Найдите частное, пользуясь примерами на умножение: 12 : 6 = 6 · 2 = 12 15 : 3 = 3 · 5 = 15 18 : 6 = 3 · 6 = 18 В дальнейшем, переходя от одной темы к другой, учащиеся вновь и вновь переосмысливают знание установленной связи. Каждое новое знание должно быть включено в систему ранее усвоенных знаний. Поэтому на ступени закрепления включаются упражнения в систематизации знаний. Например, после изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся под руководством учителя систематизируют знания о числе, указывая, как образуется число из предыдущего и следующего за ним в натуральном ряду, на сколько оно больше предыдущего и меньше следующего. Наряду с усвоением знаний по математике учащиеся должны овладеть вычислительными, измерительными, графическими умениями и навыками, а также умениями решать задачи. Для формирования умений и навыков также используются упражнения: учащиеся выполняют упражнения на вычисление, измерение, построение, решают задачи. Система упражнений в этом случае также должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего, она должна обеспечить осознанное овладение умениями и навыками, т. е. ученик должен осознавать, какие теоретические знания он использует, выполняя вычисления и решая задачи. Например, умножая 14 на 5, ученик должен понимать, что он сначала заменяет число 14 суммой разрядных слагаемых 10 и 4, а затем умножает сумму на число: 14· 5= (10 + 4) · 5 = 10 · 5 + 4 · 5 = 70 Чтобы сформировать прочные умения и навыки, необходимо включить достаточное число упражнений. Система упражнений должна предусмотреть сопоставление и противопоставление сходных вопросов, чтобы предупредить их смешение. Например, чтобы учащиеся не смешивали свойства умножения суммы на число и прибавление числа к сумме, предлагаются для решения пары примеров вида: (10 + 4) + 5 и (10 + 4)5. После решения сравниваются сами примеры, а затем способы их решения. Через систему упражнений учащиеся усваивают некоторые общие умения: умения вычислять, умения решать задачи. При формировании умений и навыков широко используется метод самостоятельных работ, при этом чрезвычайно полезно предлагать упражнения дифференцированно, учитывая возможности каждого из детей.