Нахождение точек минимума степенной функции.

С.р. содержит 4 варианта по 16 заданий в каждом.

Нахождение точек минимума степенной функции.

Краткие теоретические сведения

Определение. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует называются критическими.

Среди этих точек могут быть точки максимума ( max ) и минимума ( min ), которые называются точками экстремума ( X_maxи X_min ). Значения функции в этих точках называют экстремумами функции и обозначают f_max (X_max) и f_min (X_min).

Необходимым условием существования экстремумов является равенство нулю производной или если производная не существует, то есть необходимое условие – это наличие критических точек. (Это теорема Ферма), но этого условия еще не достаточно. Чтобы функция имела экстремум в некоторой точке, надо, чтобы при переходе через эту точку производная меняла свой знак, то есть надо, чтобы возрастание менялось на убывание, или убывание на возрастание. Если такой смены нет, то в этой критической точке не будет экстремума.

Если знак производной меняется с (+ ) на (- ) – это точка max, если знак производной меняется с (- ) на (+ ) – это точка min.

Вывод. Для существования экстремумов необходимо выполнение двух условий:

1. Существование критических точек.

2. Смена знака производной при переходе через критическую точку.

Ответить на вопросы.

1. Что такое критические точки, как их находят?

2. Какие бывают точки экстремума?

3. Что такое экстремумы функции?

4. Какие существуют экстремумы функции?

5. Что является необходимым условием существования экстремума?

6. Что является достаточным условием существования экстремума?

7. В каком случае функция будет иметь максимум?

8. В каком случае функция будет иметь минимум?

Нахождение точек экстремумов функции осуществляют по следующему плану:

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную.

3. Найти критические точки ( приравнять производную к нулю).

4. На числовой прямой отметить найденные критические точки, выделить полученные числовые промежутки и проверить знак производной в каждом из них.

5. Записать, где получились точки максимума или минимума, (а может быть и перегиба, если знак производной не менялся при переходе через точку, или разрыва).

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. Найдите точку минимума функции .

2. Найдите точку минимума функции .

3. Найдите точку минимума функции .

4. Найдите точку минимума функции .

5. Найдите точку минимума функции .

6. Найдите точку минимума функции $y=\frac{x^3}{3} -x+23$ .

7. Найдите точку минимума функции $y=23 +100x-\frac{x^3}{3}$ .

8. Найдите точку минимума функции $y=x^{\frac{3}{2}} -6x+9$ .

9. Найдите точку минимума функции $y=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} -3x+15$ .

10. Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x} -3x+28$ .

11. Найдите точку минимума функции $y=\frac{2}{3}x\sqrt{x} -8x+6$ .

12. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2 +36}{x}$ .

13. Найдите точку минимума функции $y=\frac{25}{x} +x+12$ .

14. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2 +676}$ .

15. Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{x^2-6x+13}$ .

16. Найдите точку минимума функции .

Вариант 2.

1. Найдите точку минимума функции .

2. Найдите точку минимума .

3. Найдите точку минимума функции .

4. Найдите точку минимума функции .

5. Найдите точку минимума функции .

6. Найдите точку минимума функции $y=\frac{x^3}{3} -4x+19$ .

7. Найдите точку минимума функции $y=19 +9x-\frac{x^3}{3}$ .

8. Найдите точку минимума функции $y=x^{\frac{3}{2}} -21x+5$ .

9. Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x} -15x+5$ .

10. Найдите точку минимума функции $y=\frac{2}{3}x\sqrt{x} -10x$ .

11. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2 +64}{x}$ .

12. Найдите точку минимума функции $y=\frac{144}{x} +x+12$ .

13. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2 +441}$ .

14. Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{x^2-8x+32}$ .

15. Найдите точку максимума функции .

16. Найдите точку минимума функции .

Вариант 3.

1. Найдите точку минимума функции .

2. Найдите точку минимума функции .

3. Найдите точку минимума функции .

4. Найдите точку минимума функции .

5. Найдите точку минимума функции .

6. Найдите точку минимума функции $y=\frac{x^3}{3} -100x+5$ .

7. Найдите точку минимума функции $y=11 +36x-\frac{x^3}{3}$ .

8. Найдите точку минимума функции $y=x^{\frac{3}{2}} -27x+6$ .

9. Найдите точку минимума функции $y=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} -9x+18$ .

10. Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x} -30x+13$ .

11. Найдите точку минимума функции $y=\frac{1}{3}x\sqrt{x} -9x+59$ .

12. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2 +9}{x}$ .

13. Найдите точку минимума функции $y=\frac{529}{x} +x+13$ .

14. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2 +100}$ .

15. Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{x^2-8x+32}$ .

16. Найдите точку минимума функции .

Вариант 4.

1. Найдите точку минимума функции .

2. Найдите точку минимума функции .

3. Найдите точку минимума функции .

4. Найдите точку минимума функции .

5. Найдите точку минимума функции .

6. Найдите точку минимума функции $y=\frac{x^3}{3} -49x+14$ .

7. Найдите точку минимума функции $y=5 +25x-\frac{x^3}{3}$ .

8. Найдите точку минимума функции $y=x^{\frac{3}{2}} -3x+14$ .

9. Найдите точку минимума функции $y=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} -10x+12$ .

10. Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x} -6x+22$ .

11. Найдите точку минимума функции $y=\frac{4}{3}x\sqrt{x} -7x+6$ .

12. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2 +441}{x}$ .

13. Найдите точку минимума функции $y=\frac{50}{x} +2x+19$ .

14. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2 +289}$ .

15. Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{x^2-4x+32}$ .

16. Найдите точку минимума функции .

Нахождение точек минимума степенной функции

Нахождение точек экстремумов функции осуществляют по следующему плану: 1

Самостоятельная работа. Вариант 1

Вариант 2. 1. Найдите точку минимума функции

Вариант 3. 1. Найдите точку минимума функции

Вариант 4. 1. Найдите точку минимума функции

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

06.10.2022