Основна теорема теорії матричних ігор, властивості змішаних стратегій

Основна теорема теорії матричних ігор, властивості змішаних стратегій.

Теорема 1 (Дж. фон Нейман).

Для матричної гри з будь-якою матрицею А величини

рівні між собою,

Більше того, існує хоча б одна ситуація в змішаних стратегіях (Р, Q ), для якої виконується співвідношення

1)               Іншими словами, будь-яка матрична гра має рішення в змішаних стратегіях. Пошук цього рішення опирається на наступні встановлені факти.

Основні властивості оптимальних змішаних стратегій.

Теорема 2. Нехай

– оптимальні змішані стратегії й v — ціна гри.

Оптимальна змішана стратегія Р° гравця А змішується тільки з тих чистих стратегій А_i , i = 1, 2,... , т, тобто відмінними від нуля можуть бути ймовірності р_i тільки з тими номерами i = 1, 2,..., т, для яких виконані рівності

Це означає, що змішуються не всі чисті стратегії. Аналогічно,

в оптимальній змішаній стратегії Q° гравця У відмінні від нуля можуть бути тільки ті ймовірності q_k, для номерів k = 1, 2, ..., п, для яких виконані рівності

Крім того, мають місце співвідношення