Знания и умения по математике способствуют развитию логического мышления, критичности мышления обучающихся на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования. В карточке собран материал от простого к сложному: от заполнить пропуски до самостоятельного решения систем уравнений разными методами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами..docx
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
1) Опорный конспект.
Матричный метод решения.
Запишем заданную систему в матричном виде:АХ=В, где А – основная матрица коэффициентов
системы; Х – матрицастолбец неизвестных; В – матрицастолбец свободных членов.
Если матрица
неизвестную матрицу
обратную матрицу, поэтому умножив последнее равенство на матрицу
невырождена(detА=0), то тогда с помощью операций над матрицами выразим
. Операция деления на множестве матриц заменена умножением на
слева:
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу
умножить ее справа на векторстолбец свободных коэффициентов.
Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым
определителем основной матрицы.
Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система
совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
надо найти обратную матрицу к матрице системы и
где
определитель матрицы системы, где
определитель матрицы системы,
вместо го столбца стоит столбец правых частей.
Метод Гаусса. Метод Гаусса Метод последовательного исключения неизвестных.
Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то
есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной
диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный
методом ГауссаЖордана, который отличается от первого только последовательностью
исключения переменных.
Пример 1.Решить систему линейных уравнений матричным методом
х
1
4
х
1
х
1
2
2
х
2
х
2
х
2
3
x
3
2
x
3
x
5
3
8
15
24
Решение: Найдем определитель матрицы А
1
4
1
3
2
1
2
52
A
1
4
1
;
3
2
1
2
52
21
90
00
3
14
8
0
891
72
Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу.
Обратная матрица А1 определяется по формуле
A
1
1
A
11
A
12
A
13
A
21
A
22
A
23
A
31
A
32
A
33
где Аij – алгебраические дополнения элементов
а ij данной матрицы А.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы:
А
11
)1(
11
1
2
52
45
;9
А
12
)1(
21
24
51
2
12
51
10(2
)1
;18
А
13
)1(
31
4
1
1
2
;918
А
21
)1(
12
2
3
52
10(
)6
;16
А
22
)1(
22
1
3
51
35
;8
А
23
)1(
32
1
1
2
2
)22(
;0 А
31
)1(
13
32
21
;134
А
32
)1(
23
1
3
24
;
2(
)12
14
А
33
)1(
33
.
1
2
14
81
9
Обратная матрица имеет вид
1A
1
72
9
18
9
16
8
0
1
14
9
1
8
1
4
1
8
2
9
1
9
0
1
72
7
36
1
8
Необходимо сделать проверку: А1А=Е.
1 AA
1
72
9
18
9
16
8
0
1
14
9
1
4
1
3
2
1
2
52
1
72
c
11
c
c
21
31
, где
c
13
c
c
23
33
c
12
c
c
22
32
с11=91+(–16)(–4)+1(–1)=72; c12=92+(–16)1+1(–2)=0; c13=93+(–16)2+15=0;
с21=181+8(–4)+(–14)(–1)=0;c22=182+81+(–14)(–2)=72; c23=183+82+(–14)5=0;
с31=91+0(–4)+9(–1)=0; c32=92+01+9(–2)=0; c33=93+02+95=72.
Т.е.
.
AA
1
1
72
72
0
0
0
72
0
0
0
72
001
010
100
E
Найдем теперь решение системы Х=А1В
X
1
72
9
18
9
16
8
0
1
14
9
8
15
24
1
72
(89
24
15
1
)16
1588
)14
18
24
(
15089
9
24
1
72
144
72
288
2
1
4
13
Проверка:
,8
43
1
22
4
2
42
15
,
1
2
45
.24
1
2
2
12
,8
2
15
8
8
,
1
22
20
.24
8
15
24
,8
15
,
.24
Решение найдено верно.
Ответ: х1= –2, х2= –1, х3= 4.
Пример 2. Решить систему матричным способом.
x
3
1
x
x
2
1
x
x
4
2
1
Решение: Решим систему линейных уравнений матричным методом.
Обозначим
2,
8,
1.
x
2
3
x
3
x
3
x
3
A
3
1
4
1
1
1
1
3
1
,
X
,
B
x
x
x
1
2
3
2
8
1
.
Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В.
A
3
1
4
1
1
1
111)3(314)1(1)3(141111)1(3
13
1
3
1
12
194
2
Т.к. матрица невырожденная (Δ= – 2), то X = A1B.
3
1
,231
3
1
)1(
)1(
А
12
11
А
11
1(1
)12
,13
А
13
)1(
31
1
4
1
1
,541
1
1
11
11
1
1
А
21
)1(
12
А
31
)1(
13
21
1
4
13
14
,001
А
22
)1(
22
43
,1
А
23
)1(
32
13
14
,1)43(1
1
3
13
,2
А
32
)1(
23
3
1
1
3
)19(1
,10
А
33
)1(
33
3
1
1
1
13
,4
Тогда A1 =
1
2
2
13
5
0
1
1
.
2
10
4
Получим X = A1B =
1
2
2
13
5
0
1
1
2
10
4
2
8
1
1
2
204
26
8
48
10
10
1
2
2
8
2
1
4
1
.
Ответ: х1 = –1, х2 = 4, х3 = 1.
Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.
3
х
1
3
х
1
2
х
Решение: Решим систему по формулам Крамера.
2
х
2
4
х
х
2
1
х
4
3
2
х
3
х
,21
,9
.10
3
2
D
3
3
2
2
4
1
4
2
1
1
11
2
0
0
1
6
6
1
)1()1(
, значит, система имеет
23
1
11
6
6
6(1
)66
0
60
единственное решение.
1
49
10
2
4
1
21
9
10
4
2
1
D
1
0
0
1
6
6
1
)1()1(
23
1
49
6
6
6(1
294
)
,300
х
1
D 1
D
300
60
;5
D
2
D
3
3
3
2
3
3
2
21
9
10
2
4
1
4
2
1
11
1
2
61
11
10
0
0
1
)1()1(
33
11
1
61
11
(1
121
)61
,60
х
2
D 2
D
60
60
;1
21
9
10
1
11
2
0
0
1
1
49
10
)1()1(
23
1
11
1
49
(1
49
)11
,60
х
3
D 3
D
60
60
;1
Ответ: x1 = 5, x2 = 1, x3 = 1.
Пример 3. Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна
3
2
x
x
2
1
x
x
2
3
2
1
4
x
x
2
1
2
x
4
x
x
3
1
2
5
x
3
x
4
3
x
x
4
3
x
3
5
4
3
9
x
4
22
(*)
Решение: Дана неоднородная линейная система из 4х уравнений с 4мя неизвестными (m=n=4).
1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной
матриц системы: Rg(A,B) и RgA.
(
BA
,
)
3
2
1
1
2
3
2
1
~
1
0
0
0
2
1
0
0
2
9
31
16
5
1
0
4
31
5
3
4
3
9
22
~
1
2
1
3
1
3
2
2
4
1
0
5
9
5
4
1
22
3
3
3
~
1
0
0
0
1
1
3
1
4
9
4
7
9
13
13
26
22
47
25
63
~
9
13
52
39
22
47
166
110
~
1
0
0
0
2
1
0
0
2
9
1
16
9
13
26
39
22
47
54
110
~
1
0
0
0
2
1
0
0
2
9
1
0
9
13
26
377
22
47
54
754
(
BA
)
,
(привели матрицу (A,B) к матрице (A¢,B¢), имеющую ступенчатую форму).
Итак, Rg(A, B) = Rg(A¢, B¢) = 4, RgA= RgA¢ = 4 RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*)
совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4) система имеет единственное решение.
Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей
эквивалентной системе.
,где все неизвестные базисные.
x
4
,22
,47
x
1
x
2
x
3
377
x
2
x
4
9
x
4
,54
x
4
3
13
x
9
3
26
x
4
,754
(**)
Решая систему (**), как систему из 4х уравнений с 4мя неизвестными, найдем x1, x2, x3, x4. Из
– 54 = =52
последнего уравнения имеем x4 = 2. Тогда из третьего уравнения найдем x3 = 26х4
−¿ 13x4 + 47 = −¿ 18 – 26 + 47=
−¿ 54= −¿ 2.Из второго уравнения найдем x2 = 9х3
−¿ 44 + 47 = 3.
Из первого уравнения находим х1 = x2 + 4x3
Проверка. Подставим найденные значения неизвестных во все уравнения системы (*).
−¿ 9x4 + 22 = 3 −¿ 8 – 18 + 22 = −¿ 1.
3,=2+2)–
3,–
3(
1)–
2–
9–
6+1–
1–
(5–
32–
=10
2–
3,–
=8–
22=18
8+3–
решение найдено верно.
3,
3
3–
3,–
3,–
3–
22
22
Ответ: х1 = −¿ 1, х2 = 3, х3 = −¿ 2, х4 = 2.
2)Задание:
А) Решить систему матричным способом. 1.
х
1
х
1
х
1
2
3
2
3
2
х
х
х
2
2
2
3
4
5
х
3
х
х
3
3
,6
,16
.12
2.
х
х
2
х
1
х
1
3
2
х
2
х
3
2
3
2
2
,7
,0
3
х
х
3
.2
3.
2
х
1
х
2
1
х
1
3
х
х
х
2
,4
2
х
,1
.11
3
х
3
3
2
4.
3
х
1
2
х
1
х
1
5
2
х
х
х
2
2
2
3
х
х
3
4
х
3
,7
,4
.11
5.
7.
7
5
х
1
х
1
х
х
1
х
х
2
2
2
2
2
х
х
х
3
3
,18
3
,3
.2
6.
3
х
11
х
1
х
5
х
2
1
х
х
1
2
2
,2
,0
х
3
5
х
х
2
3
.2
3
2
х
1
х
1
х
2
,2
3
х
х
3
2
,0
х
3
х
х
3
2
.2
8.
х
1
х
1
х
1
2
х
х
2
х
2
2
2
х
х
2
х
3
3
3
,3
,0
.1
9.
3
х
1
х
2
1
5
х
1
х
2
3
х
2
х
2
5
х
3
4
х
3
х
3
3
,6
,4
.4
10.
2
х
1
х
1
5
х
1
3
х
2
3
х
2
2
х
3
,4
х
х
,2
3
х
.5
3
2
11.
13.
1
1
2
х
х
3
х
4
1
3
х
х
4
х
5
2
2
2
3
,7
,4
.7
12.
2
х
1
х
7
1
7
х
1
2
4
х
х
3
2
9
х
2
3
9
х
х
6
3
9
х
3
,28
,1
.5
х
4
х
3
2
х
3
х
1
3
х
1
2
х
2
х
2
5
х
2
7
х
1
2
,4
,1
.8
х
3
3
х
х
3
3
14.
3
х
1
2
х
1
х
2
1
х
2
2
3
х
2
х
2
,5
х
3
х
,1
х
3
.11
3
3
15.
х
2
х
х
2
2
х
2
3
2
х
х
4
3
3
,1
,4
.2
16.
2
х
1
5
х
1
3
х
1
2
х
х
2
х
2
3
4
,31
х
х
2
,29
х
.10
3
3
х
1
2
х
х
4
1
1 17.
4
2
5
х
1
х
1
х
1
3
5
6
х
2
х
2
х
2
2
3
5
х
3
х
3
х
3
,9
,4
.3
18.
2
х
1
х
1
х
1
4
2
3
3
2
х
х
х
2
2
х
3
2
х
х
4
3
3
,4
,11
.11
19.
2
2
х
1
3
х
1
х
1
х
х
х
2
2
,5
2
х
4
х
3
,0
.15
3
20.
,7
x
8
х
5
х
1
2
3
3
x
,1
х
2
х
3
2
1
2
x
.9
3
х
2
х
3
2
1
В) Решить систему по формулам Крамера.
х
1
х
1
х
1
2
3
2
3
2
х
х
х
2
2
2
3
4
5
х
3
х
х
3
3
,6
,16
.12
2.
2
х
1
5
х
1
3
х
1
2
х
2
х
2
х
2
,34
4
x
3
x
2
,29
3
x
.10
3
4.
6.
8.
2
х
1
х
1
х
1
2
х
х
4
1
1
х
2
,2
3
х
х
3
2
,0
х
3
х
х
2
3
.2
х
2
х
х
2
2
х
2
3
2
х
х
4
3
3
,1
,4
.2
2
2
х
1
х
1
х
1
4
2
3
3
х
х
х
2
2
х
3
2
х
х
4
3
3
,4
,11
.11
10.
12.
14.
х
1
х
1
2
х
1
5
2
х
2
х
х
2
2
х
3
х
х
3
,7
,0
.2
3
х
2
1
2
х
1
х
1
4
х
2
х
х
3
2
2
4
х
3
3
х
х
5
3
3
,20
,3
.8
4
х
1
х
3
1
2
х
1
3
х
х
2
4
х
2
2
2
3
3
2
х
х
4
5
х
3
,1
,8
.11
1.
3.
5.
7.
3
х
1
2
х
х
2
1
2
х
3
1
х
3
3
,11
x
x
,1
x
3
.11
2
х
2
3
3
2
2
х
1
х
1
5
х
1
3
х
2
3
х
2
2
х
3
,4
х
х
,2
3
х
.5
3
2
2
2
х
1
3
х
1
х
1
х
х
х
2
2
,5
2
х
х
4
3
,0
.15
3
9.
11.
13.
2
х
2
х
1
х
х
2
1
х
3
х
1
2
3
,1
,6
.4
х
х
3
х
3
3
х
1
х
5
1
4
х
1
3
х
2
х
6
5
х
2
2
2
4
2
х
3
х
3
х
3
,2
,3
.1
2
2
х
1
х
1
3
х
1
х
х
2
х
,2
3
6
х
3
.8
2
х
2
,1
С) Решить систему методом Гаусса. 1.
3.
х
1
2
х
1
х
1
х
1
2
х
2
х
2
х
2
х
2
,8
х
3
х
,5
3
х
2
,1
3
х
.10
3
3
х
4
х
4
х
4
х
4
х
2
х
1
2
3
х
3
х
2
1
3
х
х
2
1
х
х
3
2
1
,2
2
х
х
3
4
3
3
2
,4
х
х
3
4
х
2
,4
х
4
3
х
.7
3
х
4
3
5.
3
4
x
x
1
1
2
x
х
1
1
3
5
x
x
x
x
3
5
2
х
2
2
2
x
3
x
x
x
4
x
4
3
x
x
5
3
3
3
5
,1
х
х
,0
2
5
х
4
х
7
5
5
4
4
,2
.3
2.
х
1
3
х
1
5
х
1
х
7
1
3
х
2
5
х
2
х
7
х
2
2
5
3
х
3
7
х
х
х
7
,12
х
4
х
,0
3
х
3
,4
х
5
.16
4
3
4
4
3
4.
2
х
1
5
х
1
х
1
х
2
1
х
4
2
х
2
3
х
2
х
3
7
,16
х
3
6
,15
х
4
2
,9
х
4
6
х
3
х
4
х
4
.32
6.
х
1
2
x
1
3
x
4
1
4
x
7
1
2
х
2
x
2
x
2
x
2
3
x
3
5
x
3
7
x
3
x
,1
x
4
3
x
,2
2
4
2
x
,4
4
5
x
.7
4 7.
2
х
1
3
х
1
х
1
2
11
x
2
x
2
x
2
8
x
3
3
x
3
x
12
3
2
x
4
x
7
4
34
x
4
,0
,0
.0
x
5
2
x
5
5
x
5
8.
7
2
х
1
х
1
х
1
2
x
2
3
x
2
x
5
2
x
3
x
3
2
x
3
2
x
4
x
4
x
4
x
2
5
x
5
5
x
5
,0
,0
.0
9.
12
х
1
24
х
1
х
1
x
2
x
2
2
x
2
7
x
3
14
x
3
x
3
x
x
11
5
4
22
2
x
x
4
5
x
.0
x
5
4
,0
,0
10.
х
1
2
х
1
х
1
2
x
2
x
2
3
x
2
x
3
3
x
3
x
3
4
x
4
x
4
6
x
4
,0
x
5
5
,0
x
5
x
.0
5
2
х
1
3
11.
х
1
4
х
1
3
3
х
2
х
2
х
2
х
х
2
3
х
6
3
3
х
3
х
9
3
5
х
4
х
7
4
х
4
2
х
4
,6
2
х
1
,8
,16
.4
12.
х
3
1
х
1
5
х
х
2
1
,16
,10
2
х
х
2
3
3
3
х
2
х
2
х
х
3
3
3
6
х
4
4
х
х
х
,7
4
.5
4
13.
2
1
3
х
x
4
5
x
2
х
x
3
1
x
4
1
x
х
2
2
1
2
6
x
3
2
9
x
х
3
12
3
3
x
3
3
15.
3
x
4
3
х
1
1
x
x
1
1
2
x
3
x
2
х
2
2
x
3
6
2
0
2
6
3
6
x
x
х
х
3
3
3
2
17.
19.
х
1
х
1
х
1
2
x
2
x
2
2
x
2
2
3
x
3
7
x
3
11
x
3
2
x
4
x
4
4
6
x
4
,0
,0
.0
x
5
x
5
x
5
3
х
1
х
3
1
2
2
x
4
x
2
3
2
x
2
x
2
3
x
16
x
2
3
2
x
x
4
5
x
6
x
5
4
x
4
,0
х
1
3
,0
.0
14.
16.
18.
20.
2
х
2
х
2
х
2
4
х
х
10
1
х
1
1
2
3
x
3
5
x
x
7
4
4
x
x
4
2
x
3
3
4
7
2
11
3
x
х
1
2
3
х
1
1
2
x
5
х
x
5
1
6
x
x
2
4
6
x
x
12
3
6
x
2
2
х
2
3
х
12
1
3
2
18
5
4
х
х
6
1
4
х
1
2
3
x
2
2
x
2
x
х
2
1
2
x
3
x
3
x
3
3
x
4
x
2
4
x
4
4
x
5
x
3
5
x
5
,0
,0
.0
x
х
2
1
х
2
x
1
2
2
х
x
1
2
x
3
3
x
3
2
2
x
3
x
,0
x
5
4
x
x
,0
5
4
.0
3
x
4 21.
х
1
4
,7
х
1
4
2
2
х
2
х
2
3
х
х
1
2
х
х
1
2
х
3
х
3
4
2
х
,5
4
х
,3
3
х
.1
3
22.
2
3
х
1
х
1
3
х
1
х
1
3
х
2
2
х
2
х
2
х
2
5
х
3
х
2
3
х
2
3
х
7
3
х
,1
4
5
х
,2
4
,10
3
х
4
х
2
.1
4
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
14.12.2018
Посмотрите также:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
