Знания и умения по математике способствуют развитию логического мышления, критичности мышления обучающихся на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования. В карточке собран материал от простого к сложному: от заполнить пропуски до самостоятельного решения систем уравнений разными методами.
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами.
1) Опорный конспект.
Матричный метод решения.
Запишем заданную систему в матричном виде:АХ=В, где А – основная матрица коэффициентов
системы; Х – матрицастолбец неизвестных; В – матрицастолбец свободных членов.
Если матрица
неизвестную матрицу
обратную матрицу, поэтому умножив последнее равенство на матрицу
невырождена(detА=0), то тогда с помощью операций над матрицами выразим
. Операция деления на множестве матриц заменена умножением на
слева:
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу
умножить ее справа на векторстолбец свободных коэффициентов.
Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым
определителем основной матрицы.
Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система
совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
надо найти обратную матрицу к матрице системы и
где
определитель матрицы системы, где
определитель матрицы системы,
вместо го столбца стоит столбец правых частей.
Метод Гаусса. Метод Гаусса Метод последовательного исключения неизвестных.
Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то
есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной
диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный
методом ГауссаЖордана, который отличается от первого только последовательностью
исключения переменных.
Пример 1.Решить систему линейных уравнений матричным методом
х
1
4
х
1
х
1
2
2
х
2
х
2
х
2
3
x
3
2
x
3
x
5
3
8
15
24
Решение: Найдем определитель матрицы А
1
4
1
3
2
1
2
52
A
1
4
1
;
3
2
1
2
52
21
90
00
3
14
8
0
891
72
Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу.
Обратная матрица А1 определяется по формуле
A
1
1
A
11
A
12
A
13
A
21
A
22
A
23
A
31
A
32
A
33
где Аij – алгебраические дополнения элементов
а ij данной матрицы А.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы:
А
11
)1(
11
1
2
52
45
;9
А
12
)1(
21
24
51
2
12
51
10(2
)1
;18
А
13
)1(
31
4
1
1
2
;918
А
21
)1(
12
2
3
52
10(
)6
;16
А
22
)1(
22
1
3
51
35
;8
А
23
)1(
32
1
1
2
2
)22(
;0А
31
)1(
13
32
21
;134
А
32
)1(
23
1
3
24
;
2(
)12
14
А
33
)1(
33
.
1
2
14
81
9
Обратная матрица имеет вид
1A
1
72
9
18
9
16
8
0
1
14
9
1
8
1
4
1
8
2
9
1
9
0
1
72
7
36
1
8
Необходимо сделать проверку: А1А=Е.
1 AA
1
72
9
18
9
16
8
0
1
14
9
1
4
1
3
2
1
2
52
1
72
c
11
c
c
21
31
, где
c
13
c
c
23
33
c
12
c
c
22
32
с11=91+(–16)(–4)+1(–1)=72; c12=92+(–16)1+1(–2)=0; c13=93+(–16)2+15=0;
с21=181+8(–4)+(–14)(–1)=0;c22=182+81+(–14)(–2)=72; c23=183+82+(–14)5=0;
с31=91+0(–4)+9(–1)=0; c32=92+01+9(–2)=0; c33=93+02+95=72.
Т.е.
.
AA
1
1
72
72
0
0
0
72
0
0
0
72
001
010
100
E
Найдем теперь решение системы Х=А1В
X
1
72
9
18
9
16
8
0
1
14
9
8
15
24
1
72
(89
24
15
1
)16
1588
)14
18
24
(
15089
9
24
1
72
144
72
288
2
1
4
13
Проверка:
,8
43
1
22
4
2
42
15
,
1
2
45
.24
1
2
2
12
,8
2
15
8
8
,
1
22
20
.24
8
15
24
,8
15
,
.24
Решение найдено верно.
Ответ: х1= –2, х2= –1, х3= 4.
Пример 2. Решить систему матричным способом.
x
3
1
x
x
2
1
x
x
4
2
1
Решение: Решим систему линейных уравнений матричным методом.
Обозначим
2,
8,
1.
x
2
3
x
3
x
3
x
3
A
3
1
4
1
1
1
1
3
1
,
X
,
B
x
x
x
1
2
3
2
8
1
.
Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В.
A
3
1
4
1
1
1
111)3(314)1(1)3(141111)1(3
13
1
3
1
12
194
2
Т.к. матрица невырожденная (Δ= – 2), то X = A1B.
3
1
,231
3
1
)1(
)1(
А
12
11
А
11
1(1
)12
,13
А
13
)1(
31
1
4
1
1
,541
1
1
11
11
1
1
А
21
)1(
12
А
31
)1(
13
21
1
4
13
14
,001
А
22
)1(
22
43
,1
А
23
)1(
32
13
14
,1)43(1
1
3
13
,2
А
32
)1(
23
3
1
1
3
)19(1
,10
А
33
)1(
33
3
1
1
1
13
,4
Тогда A1 =
1
2
2
13
5
0
1
1
.
2
10
4
Получим X = A1B =
1
2
2
13
5
0
1
1
2
10
4
2
8
1
1
2
204
26
8
48
10
10
1
2
2
8
2
1
4
1
.
Ответ: х1 = –1, х2 = 4, х3 = 1.
Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.
3
х
1
3
х
1
2
х
Решение: Решим систему по формулам Крамера.
2
х
2
4
х
х
2
1
х
4
3
2
х
3
х
,21
,9
.10
3
2
D
3
3
2
2
4
1
4
2
1
1
11
2
0
0
1
6
6
1
)1()1(
, значит, система имеет
23
1
11
6
6
6(1
)66
0
60
единственное решение.
1
49
10
2
4
1
21
9
10
4
2
1
D
1
0
0
1
6
6
1
)1()1(
23
1
49
6
6
6(1
294
)
,300
х
1
D 1
D
300
60
;5
D
2
D
3
3
3
2
3
3
2
21
9
10
2
4
1
4
2
1
11
1
2
61
11
10
0
0
1
)1()1(
33
11
1
61
11
(1
121
)61
,60
х
2
D 2
D
60
60
;1
21
9
10
1
11
2
0
0
1
1
49
10
)1()1(
23
1
11
1
49
(1
49
)11
,60
х
3
D 3
D
60
60
;1
Ответ: x1 = 5, x2 = 1, x3 = 1.
Пример 3. Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна
3
2
x
x
2
1
x
x
2
3
2
1
4
x
x
2
1
2
x
4
x
x
3
1
2
5
x
3
x
4
3
x
x
4
3
x
3
5
4
3
9
x
4
22
(*)
Решение: Дана неоднородная линейная система из 4х уравнений с 4мя неизвестными (m=n=4).
1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной
матриц системы: Rg(A,B) и RgA.
(
BA
,
)
3
2
1
1
2
3
2
1
~
1
0
0
0
2
1
0
0
2
9
31
16
5
1
0
4
31
5
3
4
3
9
22
~
1
2
1
3
1
3
2
2
4
1
0
5
9
5
4
1
22
3
3
3
~
1
0
0
0
1
1
3
1
4
9
4
7
9
13
13
26
22
47
25
63
~
9
13
52
39
22
47
166
110
~
1
0
0
0
2
1
0
0
2
9
1
16
9
13
26
39
22
47
54
110
~
1
0
0
0
2
1
0
0
2
9
1
0
9
13
26
377
22
47
54
754
(
BA
)
,
(привели матрицу (A,B) к матрице (A¢,B¢), имеющую ступенчатую форму).
Итак, Rg(A, B) = Rg(A¢, B¢) = 4, RgA= RgA¢ = 4 RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*)
совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4) система имеет единственное решение.
Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей
эквивалентной системе.
,где все неизвестные базисные.
x
4
,22
,47
x
1
x
2
x
3
377
x
2
x
4
9
x
4
,54
x
4
3
13
x
9
3
26
x
4
,754
(**)
Решая систему (**), как систему из 4х уравнений с 4мя неизвестными, найдем x1, x2, x3, x4. Из
– 54 = =52
последнего уравнения имеем x4 = 2. Тогда из третьего уравнения найдем x3 = 26х4
−¿ 13x4 + 47 = −¿ 18 – 26 + 47=
−¿ 54= −¿ 2.Из второго уравнения найдем x2 = 9х3
−¿ 44 + 47 = 3.
Из первого уравнения находим х1 = x2 + 4x3
Проверка. Подставим найденные значения неизвестных во все уравнения системы (*).
−¿ 9x4 + 22 = 3 −¿ 8 – 18 + 22 = −¿ 1.
3,=2+2)–
3,–
3(
1)–
2–
9–
6+1–
1–
(5–
32–
=10
2–
3,–
=8–
22=18
8+3–
решение найдено верно.
3,
3
3–
3,–
3,–
3–
22
22
Ответ: х1 = −¿ 1, х2 = 3, х3 = −¿ 2, х4 = 2.
2)Задание:
А) Решить систему матричным способом.1.
х
1
х
1
х
1
2
3
2
3
2
х
х
х
2
2
2
3
4
5
х
3
х
х
3
3
,6
,16
.12
2.
х
х
2
х
1
х
1
3
2
х
2
х
3
2
3
2
2
,7
,0
3
х
х
3
.2
3.
2
х
1
х
2
1
х
1
3
х
х
х
2
,4
2
х
,1
.11
3
х
3
3
2
4.
3
х
1
2
х
1
х
1
5
2
х
х
х
2
2
2
3
х
х
3
4
х
3
,7
,4
.11
5.
7.
7
5
х
1
х
1
х
х
1
х
х
2
2
2
2
2
х
х
х
3
3
,18
3
,3
.2
6.
3
х
11
х
1
х
5
х
2
1
х
х
1
2
2
,2
,0
х
3
5
х
х
2
3
.2
3
2
х
1
х
1
х
2
,2
3
х
х
3
2
,0
х
3
х
х
3
2
.2
8.
х
1
х
1
х
1
2
х
х
2
х
2
2
2
х
х
2
х
3
3
3
,3
,0
.1
9.
3
х
1
х
2
1
5
х
1
х
2
3
х
2
х
2
5
х
3
4
х
3
х
3
3
,6
,4
.4
10.
2
х
1
х
1
5
х
1
3
х
2
3
х
2
2
х
3
,4
х
х
,2
3
х
.5
3
2
11.
13.
1
1
2
х
х
3
х
4
1
3
х
х
4
х
5
2
2
2
3
,7
,4
.7
12.
2
х
1
х
7
1
7
х
1
2
4
х
х
3
2
9
х
2
3
9
х
х
6
3
9
х
3
,28
,1
.5
х
4
х
3
2
х
3
х
1
3
х
1
2
х
2
х
2
5
х
2
7
х
1
2
,4
,1
.8
х
3
3
х
х
3
3
14.
3
х
1
2
х
1
х
2
1
х
2
2
3
х
2
х
2
,5
х
3
х
,1
х
3
.11
3
3
15.
х
2
х
х
2
2
х
2
3
2
х
х
4
3
3
,1
,4
.2
16.
2
х
1
5
х
1
3
х
1
2
х
х
2
х
2
3
4
,31
х
х
2
,29
х
.10
3
3
х
1
2
х
х
4
1
117.
4
2
5
х
1
х
1
х
1
3
5
6
х
2
х
2
х
2
2
3
5
х
3
х
3
х
3
,9
,4
.3
18.
2
х
1
х
1
х
1
4
2
3
3
2
х
х
х
2
2
х
3
2
х
х
4
3
3
,4
,11
.11
19.
2
2
х
1
3
х
1
х
1
х
х
х
2
2
,5
2
х
4
х
3
,0
.15
3
20.
,7
x
8
х
5
х
1
2
3
3
x
,1
х
2
х
3
2
1
2
x
.9
3
х
2
х
3
2
1
В) Решить систему по формулам Крамера.
х
1
х
1
х
1
2
3
2
3
2
х
х
х
2
2
2
3
4
5
х
3
х
х
3
3
,6
,16
.12
2.
2
х
1
5
х
1
3
х
1
2
х
2
х
2
х
2
,34
4
x
3
x
2
,29
3
x
.10
3
4.
6.
8.
2
х
1
х
1
х
1
2
х
х
4
1
1
х
2
,2
3
х
х
3
2
,0
х
3
х
х
2
3
.2
х
2
х
х
2
2
х
2
3
2
х
х
4
3
3
,1
,4
.2
2
2
х
1
х
1
х
1
4
2
3
3
х
х
х
2
2
х
3
2
х
х
4
3
3
,4
,11
.11
10.
12.
14.
х
1
х
1
2
х
1
5
2
х
2
х
х
2
2
х
3
х
х
3
,7
,0
.2
3
х
2
1
2
х
1
х
1
4
х
2
х
х
3
2
2
4
х
3
3
х
х
5
3
3
,20
,3
.8
4
х
1
х
3
1
2
х
1
3
х
х
2
4
х
2
2
2
3
3
2
х
х
4
5
х
3
,1
,8
.11
1.
3.
5.
7.
3
х
1
2
х
х
2
1
2
х
3
1
х
3
3
,11
x
x
,1
x
3
.11
2
х
2
3
3
2
2
х
1
х
1
5
х
1
3
х
2
3
х
2
2
х
3
,4
х
х
,2
3
х
.5
3
2
2
2
х
1
3
х
1
х
1
х
х
х
2
2
,5
2
х
х
4
3
,0
.15
3
9.
11.
13.
2
х
2
х
1
х
х
2
1
х
3
х
1
2
3
,1
,6
.4
х
х
3
х
3
3
х
1
х
5
1
4
х
1
3
х
2
х
6
5
х
2
2
2
4
2
х
3
х
3
х
3
,2
,3
.1
2
2
х
1
х
1
3
х
1
х
х
2
х
,2
3
6
х
3
.8
2
х
2
,1
С) Решить систему методом Гаусса.1.
3.
х
1
2
х
1
х
1
х
1
2
х
2
х
2
х
2
х
2
,8
х
3
х
,5
3
х
2
,1
3
х
.10
3
3
х
4
х
4
х
4
х
4
х
2
х
1
2
3
х
3
х
2
1
3
х
х
2
1
х
х
3
2
1
,2
2
х
х
3
4
3
3
2
,4
х
х
3
4
х
2
,4
х
4
3
х
.7
3
х
4
3
5.
3
4
x
x
1
1
2
x
х
1
1
3
5
x
x
x
x
3
5
2
х
2
2
2
x
3
x
x
x
4
x
4
3
x
x
5
3
3
3
5
,1
х
х
,0
2
5
х
4
х
7
5
5
4
4
,2
.3
2.
х
1
3
х
1
5
х
1
х
7
1
3
х
2
5
х
2
х
7
х
2
2
5
3
х
3
7
х
х
х
7
,12
х
4
х
,0
3
х
3
,4
х
5
.16
4
3
4
4
3
4.
2
х
1
5
х
1
х
1
х
2
1
х
4
2
х
2
3
х
2
х
3
7
,16
х
3
6
,15
х
4
2
,9
х
4
6
х
3
х
4
х
4
.32
6.
х
1
2
x
1
3
x
4
1
4
x
7
1
2
х
2
x
2
x
2
x
2
3
x
3
5
x
3
7
x
3
x
,1
x
4
3
x
,2
2
4
2
x
,4
4
5
x
.7
47.
2
х
1
3
х
1
х
1
2
11
x
2
x
2
x
2
8
x
3
3
x
3
x
12
3
2
x
4
x
7
4
34
x
4
,0
,0
.0
x
5
2
x
5
5
x
5
8.
7
2
х
1
х
1
х
1
2
x
2
3
x
2
x
5
2
x
3
x
3
2
x
3
2
x
4
x
4
x
4
x
2
5
x
5
5
x
5
,0
,0
.0
9.
12
х
1
24
х
1
х
1
x
2
x
2
2
x
2
7
x
3
14
x
3
x
3
x
x
11
5
4
22
2
x
x
4
5
x
.0
x
5
4
,0
,0
10.
х
1
2
х
1
х
1
2
x
2
x
2
3
x
2
x
3
3
x
3
x
3
4
x
4
x
4
6
x
4
,0
x
5
5
,0
x
5
x
.0
5
2
х
1
3
11.
х
1
4
х
1
3
3
х
2
х
2
х
2
х
х
2
3
х
6
3
3
х
3
х
9
3
5
х
4
х
7
4
х
4
2
х
4
,6
2
х
1
,8
,16
.4
12.
х
3
1
х
1
5
х
х
2
1
,16
,10
2
х
х
2
3
3
3
х
2
х
2
х
х
3
3
3
6
х
4
4
х
х
х
,7
4
.5
4
13.
2
1
3
х
x
4
5
x
2
х
x
3
1
x
4
1
x
х
2
2
1
2
6
x
3
2
9
x
х
3
12
3
3
x
3
3
15.
3
x
4
3
х
1
1
x
x
1
1
2
x
3
x
2
х
2
2
x
3
6
2
0
2
6
3
6
x
x
х
х
3
3
3
2
17.
19.
х
1
х
1
х
1
2
x
2
x
2
2
x
2
2
3
x
3
7
x
3
11
x
3
2
x
4
x
4
4
6
x
4
,0
,0
.0
x
5
x
5
x
5
3
х
1
х
3
1
2
2
x
4
x
2
3
2
x
2
x
2
3
x
16
x
2
3
2
x
x
4
5
x
6
x
5
4
x
4
,0
х
1
3
,0
.0
14.
16.
18.
20.
2
х
2
х
2
х
2
4
х
х
10
1
х
1
1
2
3
x
3
5
x
x
7
4
4
x
x
4
2
x
3
3
4
7
2
11
3
x
х
1
2
3
х
1
1
2
x
5
х
x
5
1
6
x
x
2
4
6
x
x
12
3
6
x
2
2
х
2
3
х
12
1
3
2
18
5
4
х
х
6
1
4
х
1
2
3
x
2
2
x
2
x
х
2
1
2
x
3
x
3
x
3
3
x
4
x
2
4
x
4
4
x
5
x
3
5
x
5
,0
,0
.0
x
х
2
1
х
2
x
1
2
2
х
x
1
2
x
3
3
x
3
2
2
x
3
x
,0
x
5
4
x
x
,0
5
4
.0
3
x
421.
х
1
4
,7
х
1
4
2
2
х
2
х
2
3
х
х
1
2
х
х
1
2
х
3
х
3
4
2
х
,5
4
х
,3
3
х
.1
3
22.
2
3
х
1
х
1
3
х
1
х
1
3
х
2
2
х
2
х
2
х
2
5
х
3
х
2
3
х
2
3
х
7
3
х
,1
4
5
х
,2
4
,10
3
х
4
х
2
.1
4
ОСР. Решение систем линейных уравнений различными способами..docx
