Подготовка к муниципальному этапу олимпиады по математике в восьмых классах

Подготовка

Учитель математики
МБОУ гимназии №5
Петрова Анна Викторовна

г. Екатеринбург, 2026

Решение:

Упростим первое слагаемое:

Упростим третье слагаемое:

2). Внутри параллелограмма ABCD взяли точку E так, что CE = CB. Пусть F и G — середины отрезков CD и AE соответственно. Докажите, что прямая FG перпендикулярна прямой BE.

Решение:

1). Пусть точка H – середина отрезка BE,

2). GH – средняя линия ∆ABE (BH = HE, EG = GA),

3). Имеем в четырехугольнике GHCF: GH ║ CF, GH = CF, тогда GHCF – параллелограмм, откуда HC ║ GF.

4). Мы доказали, что CH ║ FG и CH ⟂ BE, следовательно FG ⟂ BE, что и требовалось доказать.

тогда CH – медиана в равнобедренном треугольнике BCE (BC = CE). По свойству CH – высота, то есть CH ⟂ BE.

тогда GH ║ AB ║ CD ║ CF (CF ∈ CD),
GH = ½ AB = ½ CD = CF (CF = ½ CD).

тогда по теореме о средней линии:
GH ║ AB, GH = ½ AB.

AB ║ CD (ABCD - параллелограмм),

1 способ решения:

Предположим, что утверждение справедливо.

Заметим, что каждый день Петя съедает на 2 конфеты больше, чем бутербродов. Значит, процесс питания занял ровно (166 − 100): 2 = 33 дня.
Но за 33 дня Петя мог съесть не более 3 · 33 = 99 бутербродов.
Пришли к противоречию, так как Серёжа съел 100 бутербродов. Значит, при 100 съеденных бутербродах Серёжа не сможет съесть 166 конфет.

Пусть x дней Серёжа съедает 1 бутерброд и 3 конфеты, y дней 2 бутерброда и 4 конфеты и z дней 3 бутерброда и 5 конфет.
Тогда имеем, что количество съеденных бутербродов: x + 2y + 3z = 100,
а количество съеденных конфет равно 3x + 4y + 5z = 166.
Решим систему в целых неотрицательных числах :
x + 2y + 3z = 100 (-1)
3x + 4y + 5z = 166
- x - 2y - 3z = -100
3x + 4y + 5z = 166 , сложить уравнения системы. Имеем:
2x + 2y + 2z = 66
2( x + y + z ) = 66
x + y + z = 33
z = 33 - x – y, подставим найденное значение z в первое уравнение:
x + 2y + 3(33 − x − y) = 100,
x + 2y + 99 – 3x – 3y = 100,
то есть −2x − y = 1.
Противоречие, так как в левой части стоит отрицательное число, а в правой — положительное.

2 способ решения:

{

имеет, и съесть ровно 166 конфет Серёжа не мог.

Значит, система в целых неотрицательных числах решений не

Примечание: можно выразить не только z, но и x = 33-y-z или y = 33-x-z. В любом случае мы будем приходить к противоречию.

4). Одуванчик утром распускается, этот и следующий день цветёт жёлтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днём на поляне было 20 жёлтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня — 15 жёлтых и 11 белых. Сколько жёлтых одуванчиков было на поляне позавчера?
Приведите все варианты ответа и докажите, что других нет.
Решение:
Все жёлтые одуванчики позавчера — это белые одуванчики вчера и белые одуванчики сегодня.
Позавчера было несколько желтых одуванчиков.
Они могут либо распустившимися в первый день, либо во второй.
Если они позавчера были распустившимися во второй день, то белыми они все стали вчера - 14 штук (из условия).
Если они позавчера были распустившимися в первый день, то белыми они все стали сегодня - 11 штук (из условия).
Значит, позавчера было 14 + 11 = 25 жёлтых одуванчиков.

Примечание: Количество жёлтых одуванчиков вчера и сегодня для решения задачи не нужно.