Сечения многогранника плоскостью используются при решении многих стереометрических задач. Мною разобраны некоторые способы построения сечений, а также задачи связанные с их построением. Рассмотрены сечения плоскостями, проходящими через данную точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, когда секущая плоскость задана одним из условий.
На рисунке показано построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, P на ребрах тетраэдра. Точки M и N заданы так, что прямые MN и AC не параллельны. Отрезки MN и AP являются сторонами сечения. Точка P – общая для плоскостей MNP и ABC. Вторую общую точку находим в пересечении прямых MN и AC, S=MNAC. Прямая SP – линия пересечения плоскостей MNP и ABC. Пересечение этой прямой с ребром AB дает вершину Q сечения, Q=SPAB. Сечение – четырехугольник MNPQ.
Плоскость проходит через три данные точки
Решение:
Обозначим секущую плоскость . отрезки AD1 и
AM принадлежат и плоскости и граням куба,
поэтому являются сторонами сечения. Построим
сторону сечения в грани BB1C1C. Плоскости
BB1C1C и AA1D1D параллельны, поэтому линия
пересечения плоскостей и BB1C1C параллельна
прямой AD1. Поскольку прямые BC1 и AD1
параллельны, эта линия пересечения параллельна и прямой BC1. Проводим через точку M в
плоскости BB1C1C прямую, параллельную прямой BC1, ее пересечение с ребром B1C1 дает
вершину сечения. Сечение – трапеция AMND1, MN║AD1.
Найдем длины сторон этой трапеции. Имеем AD1 = , отрезок MN – средняя линия в
треугольнике BB1C1, поэтому MN = BC1 = . В прямоугольных треугольниках ABM и D1C1N
(AB = C1D1 = a, BM = NC1 = ) находим AM = D1N = . Значит, трапеция AMND1
равнобедренная. Найдем ее высоту. Опускаем перпендикуляры MP и NQ на основание AD1,
получаем PQ = MN = , D1Q = PA = (D1A-QP) = . В прямоугольном треугольнике D1QN
(D1N = , D1Q = ) находим NQ = . Определяем площадь сечения
S = (MN +D1A)*NQ = a2.
Ответ: a2
Дано:
Длина ребра куба равна a. Найти площадь сечения проведенного через диагональ AD1 грани AA1D1D и середину M ребра BB1.
Плоскость проходит через данную точку и прямую
Решение:
Построение основано на следующей теореме:
Если плоскость проходит через прямую,
параллельную другой плоскости и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой. Обозначим плоскость сечения . Плоскость ACD имеет с плоскостью
общую точку M и содержит прямую AC, параллельную плоскости . Следовательно, линия
пересечения этих плоскостей проходит через точку M параллельно прямой AC. В соответствии с
этим построена сторона MS1 сечения, MS1║AC . Проведя прямую S1N, найдем вторую сторону
сечения – S1S2. На рисунке точка N дана так, что точка S2 принадлежит ребру AB. Плоскость
ABC также содержит прямую AC, параллельную плоскости сечения. Поэтому сторона сечения
S2S3 проведена параллельно ребру AC. Отрезок S3M – четвертая сторона сечения. Сечение
MS1S2S3 – трапеция (MS1║AC║S2S3).
Дано:
На рисунке показано построение сечения тетраэдра плоскостью, параллельной ребру AC и проходящей через точку M ребра CD и точку N в грани ABD.
Плоскость проходит через две точки параллельно ребру (прямой).
Решение:
На ребре AB пирамиды SABCD откладываем
отрезок BM = AB. Через точку M в грани ASB
проводим MKAB (точка К лежит на ребре,
MK║SF, где SF – апофема пирамиды), а в основании ABCD проводим MPAB, где точка P лежит
на ребре DC (MP║FO). Плоскости SFO и KMP параллельны между собой и перпендикулярны к
AB, следовательно, перпендикуляры к основанию ABCD пирамиды. Так как BC║MP, то прямая
BC параллельна секущей плоскости KMP. Поэтому грань BSC, имея с секущей плоскостью
общую точку K, пересекается с нею по прямой KL║BC – по теореме, обратной теореме о
параллельности прямой и плоскости. Искомое сечение трапеция MKLP. Пусть N– точка
пересечения диагонали BD основания пирамиды и отрезка MP. Но KN║SO как линии
пересечения параллельных плоскостей SFO и KMP третьей плоскостью DSB. Поскольку SO
перпендикулярна к плоскости основания пирамиды, то и отрезок KN перпендикулярен к этой
плоскости. Следовательно, KNMP, отрезок KM – высота трапеции MKLP.
Дано:
На ребре AB правильной четырехугольной пирамиды SABCD дана точка M, BM = AB. Через точку M проведена секущая плоскость перпендикулярно к прямой AB. Построить сечение и вычислить его площадь, если сторона основания пирамиды равна a, а высота пирамиды H.
1. Плоскость проходит через данную точку перпендикулярно к данной прямой.
Решение:
Ссылаясь на упомянутую выше теорему,
последовательно строим линии пересечения
секущей плоскости с плоскостями основания ABC, DSB и ASC. Эти построения дают нам все
искомые вершины сечения. Из хода построения следует, что N – середина AB, точка Q –
середина SO, следовательно, точки K и P – середины боковых ребер SA и SC пирамиды
соответственно. Отсюда: KN║SB║PM. Кроме того QF║KN║PM. Но QFNM, в чем легко
убедиться применив теорему о трех перпендикулярах. Следовательно, сечение составлено из
прямоугольника KNMP и равнобедренного треугольника KLP, имеющих общее основание KP.
Дано:
Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через середину M стороны BC основания параллельно диагонали AC основания и боковому ребру SB. Вычислить площадь сечения, если длина стороны основания пирамиды a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом .
2. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым. Пример 1.
Решение:
Секущую плоскость обозначим . Линия
пересечения этой плоскости с плоскостью ABD
параллельна прямой AD (AD║ ). Проводим MN║AD. Линии пересечения плоскостей BCA и
BCD с плоскостью параллельны прямой BC (BC║ ). Строим MQ║BC и NP║BC. Четвертая
сторона сечения PQ параллельна ребру AD. Сечение – параллелограмм MNPQ (MN║AD║PQ,
NP║BC║MQ).
Выразим длины сторон параллелограмма MNPQ через длины ребер AD и BC. Из подобия
треугольников AMQ и ABC имеем MQ:BC = AN:AB = , откуда MQ = *BC. Теперь находим
BM = AB – AM = (1– )*AB и из подобия треугольников BMN и BAD получаем MN:AD =
BM:BA = 1– , т.е. MN = (1– )*AD.подставляя в равенство MN = MQ получаем выражения,
будем иметь (1– )*AD = *BC, откуда = =
Ответ: сечение будет ромбом при = .
Дано:
На ребре AB тетраэдра расположена точка M так, что AM:AB = , 0< <1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и параллельно ребрам AD и BC. При каком значении это сечение будет ромбом, если AD:BC = m?
2. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым. Пример 2.
Решение:
Пусть в ромбе ABCD BD
Дано:
В основании прямой призмы лежит ромб. В плоскости меньшего диагонального сечения призмы дана прямая MN, пересекающая оба боковых ребра призмы. Через эту прямую проведена секущая плоскость, параллельная диагонали основания призмы. Построить сечение и исследовать его форму.
3. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым.
Решение:
Пусть секущая плоскость параллельна грани ASB пирамиды SABC. После проведения через центр O основания пирамиды прямой MN║AB следы секущей плоскости в боковых гранях можно строить по-разному: либо провести OK║SD (SD – апофема пирамиды) и соединить точку K с точками M и N, либо провести NK║BS и MK║AS (прямые MK и NK пересекаются в точке K на ребре SC). Можно, проведя NK║BS и получив точку K, соединить ее с точкой M.
Дано:
Построить сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.
4. Плоскость проходит через данную точку и параллельна данной плоскости.
Решение:
Медиана боковой грани правильной пирамиды не
перпендикулярна к плоскости основания, поэтому
условия задачи определяют единственную секущую
плоскость.
Если в условии задачи речь идет о перпендикулярности плоскости к плоскости ,нужно
постараться из удобной для нас точки плоскости провести перпендикуляр к плоскости . В
данном случае удобнее всего из конца K медианы AK боковой грани ASB опустить
перпендикуляр на плоскость основания. Поскольку точка K лежит в плоскости DSB,
перпендикулярной к плоскости основания, основание P этого перпендикуляра будет лежать на
прямой BD пересечения перпендикулярных плоскостей DSB и ABC. Остается в плоскости
основания пирамиды провести прямую AP и найти точку M ее пересечения прямой BC. В
полученном треугольнике AKM построенный отрезок KP является высотой. Таким образом, в
этом случае в ходе построения не только выяснена форма, но и построена высота треугольника
AKM, необходимая для определения его площади.
Дано:
Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через медиану AK боковой грани ASB и перпендикулярно к плоскости основания.
5. Плоскость проходит через данную прямую и перпендикулярна к данной плоскости (не перпендикулярной к данной прямой).
Решение:
Пусть секущая плоскость проходит через середину
M бокового ребра SA данной пирамиды SABCDEF
параллельно стороне основания AB. Как и в
предыдущей задаче, прежде всего опустим из точки M перпендикуляр MP на плоскость
Основания пирамиды. Основание P этого перпендикуляра окажется на OA. Затем через точку P
(середину OA) проведем KL║AB. Точки K и L – середины сторон AF и BC основания
пирамиды. Через M проводим MN║AB (это следует из условия параллельности секущей
плоскости прямой AB). В сечении получена равнобедренная трапеция KMNL, отрезок MP – ее
высота.
Дано:
Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середину бокового ребра параллельно стороне основания и перпендикулярно к плоскости основания пирамиды.
6. Плоскость проходит через данную точку, перпендикулярна к данной плоскости и параллельна данной прямой.
Решение:
Решение таких задач начинаем с построения
двугранного угла. Это облегчает дальнейшие
построения и установление формы сечения.
Пусть в данной правильной шестиугольной призме O – центр, FC – большая диагональ
основания. Проводим OKDE ( K– середина DE), KK1║DD1. Плоскость O1OK перпендикулярна
к плоскости снования призмы и к диагонали FC основания (так как FCOK и FCOO1). Остается в
это плоскости провести луч OL под данным углом к OK, чтобы получить линейный угол LOK
двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы.
Точка L принадлежит секущей плоскости и плоскости грани DD1E1E. Эти плоскости
пересекаются по прямой MN, проходящей через L параллельно прямой DE. Трапеция CNMF –
искомое сечение. Из хода построения следует, что эта трапеция – равнобокая, отрезок LO
служит ее высотой.
Дано:
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через большую диагональ основания под углом к плоскости основания.
7. Плоскость проходит через данную прямую под данным углом к данной плоскости.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.