Практическое занятие по теме: Элементы комбинаторики

Практическое занятие по теме: Элементы комбинаторики

Цель занятия: Познакомить студентов с основными понятиями и методами комбинаторики, научить решать задачи на сочетания, перестановки и размещения.

1. Теоретическая часть:

1.1 Основные понятия:

·         Комбинаторика — это раздел математики, изучающий вопросы подсчёта числа способов, которыми могут быть выбраны или расположены элементы некоторого множества.

·         Факториал (n!) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. По определению, 0! = 1.

·         Перестановки (P) — расположение n элементов в определённом порядке. Количество перестановок:

·         Размещения (A) — упорядоченные подмножества из n элементов по k элементов. Количество размещений:

·         Сочетания (C) — неупорядоченные подмножества из n элементов по k элементов. Количество сочетаний:

1.2 Примеры:

1.      Сколькими способами можно упорядочить 5 книг на полке?

2.      Сколькими способами можно выбрать 3 студента из группы из 10 человек?

2. Примеры решения задач:

Задача 1: Сколькими способами можно выбрать 2 человека из 6?
Решение:

Задача 2: Сколькими способами можно составить 4-значный код из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не могут повторяться?
Решение:

3. Задания для самостоятельной работы:

1.      Найдите количество способов расставить 7 различных флагов на флагшток.

2.      Сколькими способами можно выбрать команду из 4 человек из группы из 9 студентов?

3.      Сколькими способами можно составить 5-значный код из 8 цифр, если цифры не могут повторяться?

4.      В корзине 10 яблок, из них 3 зелёных. Сколькими способами можно выбрать 2 яблока так, чтобы среди них было хотя бы одно зелёное?

4. Подробное объяснение заданий:

Задание 1:

Задание 2:

Задание 3:

Задание 4:

1.      Найдём общее количество способов выбрать 2 яблока из 10:

2.      Найдём количество способов выбрать 2 яблока так, чтобы среди них не было зелёных (только из 7 оставшихся):

3.      Вычитаем из общего количества способов случаи, когда оба яблока не зелёные:
Таким образом, способов выбрать хотя бы одно зелёное яблоко — 24.