"Пределе функции" (СПО 1 курс)

Предел функции Вычисление пределов

Жил-был в 19 веке француз Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения основным сходимости ряда и т. д. его понятиям— пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу,  21 августа 1789 — 23 мая 1857

Историческая справка Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем, причем одна теорема страшнее другой. Поэтому, мы не рассматриваем сегодня строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

Цель урока 1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.

Рассмотрим конкретный пример lim  x 1 2 2 x  5  x 3 x  1 Что значит выражение «х стремится к единице»? Выражение «х стремится к единице» следует понимать так – «х» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Решение Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: 2 12  5  2 2 x  513  11  6 2  3 lim  x 1  x 3 x  1 

Первое правило Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число, к которому стремится «икс» в функцию.

Например  lim  3 x lim  2 x lim  0 x lim  3 x  2 x  2 x  x 2 5 x x 3 x x 7 2    3 1 3  4 x  x x  5 1 x  3 lim  x 4 lim  x 1 5 x x x 7 2 lim  x 1 lim  x 0   2 x x   2 x  3 x   4 x  3 x   7 x  1 3 1 9

Пример с бесконечностью  16  x  lim  x Согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  бесконечность и получаем ответ

Пример с бесконечностью  1  x  lim  x Согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  бесконечность и получаем ответ

Понять и запомнить 1 lim  0  x x 1 lim  x 0 x    lim   x 5 3 x      lim   x 3 5 x   0 

Понять lim 2 x  x (  2 x  )7  lim(  x 2 3 x  2 x  )7

Понять 1 lim 2  0  x x lim  x 3 x 2 2 x   9 3  0 lim  x 1  x 5  0 4 lim  x x 4   x 3  0 lim  9 x 7 2 x 9 2   x  lim  2 x 7  2 x 

Пределы с неопределенностью      x lim 2 x  6 2 x 2   x 5 3 x   7 9          Для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени.

Пределы с неопределенностью      2 x lim 2 x  6 2 x   x 5 3 x   7 9          lim  x 6 2   5 x 3  x 7 2 x 9 2 x 3

Пределы с неопределенностью      3 x 4 lim 2 2 x  x 2  x 6  3 x  5  9          lim  x   4 2 x   6 x 3 2 x 5 3 x 9 3 x 

Пределы с неопределенностью      lim  x 3 2 4 2 x x   2 5 6 3 x x   5 9          lim  x 4 2 x 2 3 x  6 3 x  3  5 5 x 9 5 x 0

Пределы с неопределенностью    0 0 x lim 2 x  2 x 2  6 x   x 3 2    0 0    Если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь

Пределы с неопределенностью    0 0 x lim 2 x  2 x 2  6 x   x 3 2    0 0    lim  x 2 (  x x   )(2  2 x x   )3  1  lim  x 2 x x   3 1  5

Пределы с неопределенностью    0 0 lim  x 1 2 2 x  5  x 3 x  1    0 0    (2 x  )(1 x  x  1 lim  x 1 5 2 )   lim  x 1 2 x  5  7

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение lim  3 x  x 3  x 21    0 0    lim  3 x     x 3  x 21 x    21  x 21    x   3 x  21  x  3  lim  x 3   4  21 x  lim  x 3

Вычислить lim  x 5 lim  x 3 lim  x 4 lim  x 3 2  x  x  3  2 x  2 x  x  3  2 x 16 4 x 9 16 4 x 9 2 x 3 x lim 2 x  x lim 2 x  2 x 2     2 x lim 2 x  5 x 2 x lim 2 x  1 x     3 x x 2 x 3 x 2     x x x x     10 15 10 15 10 15 10 15 3 2 3 2

Вычислить lim  х 2 8 х 2 х 2   5 х х 7  6  10 lim  х х 2 2   3 3 9 х  3 х 10 2 х lim  х  67  2 х 2 х 3 3 3 х х lim 2 х  3 2  9  2 х х  х 7 lim  х х 2 2   5 9 х  3 х 2 х 7 lim  х 3 2 х х 5  5  5 х