Презентация к уроку Алгебра и начала анализа 10 класс по теме "Показательные неравенства"

Числовые множества

Выполнила: Кургаева Татьяна
Проверила: Копылова С. В.

Число – это абстрактная сущность, используемая для описания количества

Последовательность числовых множеств:

Натуральные числа

Натуральными называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …
Множество натуральных чисел обозначается

Натуральные числа

При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.
Пусть p и q – натуральные числа. Тогда:
s = p + q – натуральное число, s – сумма, p и q – слагаемые;
t = pq – натуральное число, t – произведение, p и q – множители.

Натуральные числа

Сложение и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами:
a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
ab = ba (переместительный закон умножения).
(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

К сложению и умножению можно добавить обратные операции – вычитание и деление.
Если p, q и k – натуральные числа, то при натуральном k = p – q говорят, что
p – уменьшаемое; q – вычитаемое; k – разность.
Если же натуральное k = p : q, то говорят, что
p – делимое; q – делитель; k – частное.

 

Целые числа

Множество всех чисел, противоположных натуральным, называется множеством целых отрицательных чисел. Сами натуральные числа при этом называют целыми положительными числами. Множество целых отрицательных чисел, множество целых положительных чисел и число нуль вместе называются множеством целых чисел.

Целые числа

Это множество обозначается Сами натуральные числа иногда записывают со знаком плюс (+), а им противоположные всегда пишут со знаком минус (–). Знак минус перед целым отрицательным числом называется знаком количества в отличие от знака вычитания, который называется знаком действия.
Заданное направление координатной прямой называется положительным, противоположное направление называется отрицательным.
Модулем (абсолютной величиной) числа называется:
само число, если оно положительное,
0, если число равно 0,
противоположное положительное число, если число – отрицательное.

Рациональные числа

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел.
Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью где m — целое число, n — натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n — знаменателем дроби .
Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в виде



Множество является счётным.

Рациональные числа

Совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таком образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей

Рациональные числа

Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий "больше" и "меньше".

Иррациональные числа

Множество иррациональных чисел обычно обозначается
Числа, которые не являются рациональными, то есть не являются ни целыми, ни представимыми в виде дроби вида  , где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными.
Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом.

Иррациональные числа

Исторически числа, отличные по своей природе от рациональных, впервые появились уже при желании вычислить диагональ квадрата по его стороне.

Покажем, что длина такой диагонали не может быть выражена рациональным числом. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Пусть длина его диагонали равна d. Тогда, по теореме Пифагора, имеем: d2=1+1=2 то есть d2=2. Предположим, что d – рациональное число. Тогда существуют такие числа
что d = и дробь несократима. Получаем:
Из этого равенства следует, что, так как правая его часть делится на 2, то и его левая часть делится на 2. Значит и число m делится на 2. Другими словами существует такое целое число что m = 2k. Но тогда Однако из последнего равенства аналогично следует, что число n делится на 2. Последнее обстоятельство приводит к противоречию, так как числа m и n не могут быть одновременно чётными (по предположению, дробь несократима). Значит, не существует такого рационального числа, которое бы выражало длину диагонали квадрата.

Действительные числа

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел, которое обозначается как
Действительные числа, в свою очередь, могут быть расширены до комплексных чисел .

Действительные числа

Арифметические операции над действительными числами обладают следующими свойствами (основные законы алгебры).
a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
a + 0 = a (свойство нуля).
a + (–a) = 0 (свойство противоположного числа).
ab = ba (переместительный закон умножения).
ab(c) = a(bc) (сочетательный закон).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
a · 1 = a (основное свойство единицы).
(существование обратного числа).

Действитеьные числа

Сравнение действительных чисел производится совершенно аналогично сравнению рациональных чисел.

Если a > b, то b < a.
Если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности).
Если a > b, то a + c > b + c.
Если a > b и c > 0, то ac > bc.
Если a > b и c < 0, то ac < bc.
Если a > b и c > d, то a + c > b + d.
Если a, b, c, d > 0, причём a > b и c > d, то ac > bd.
Если a > b и c < d, то a – c > b – d.
Если то
Если то для любого натурального числа n справедливо неравенство

Действительные числа

Модулем действительного числа  a по определению называется само это число, если Если же a < 0, то модулем такого числа называют число –a

Источники:

www.college.ru
www.school.mipt.ru
www.mccme.ru
ru.wikipedia.org
www.krugosvet.ru
math-history.org