Презентация к уроку "Первообразная и интеграл"

Преподаватель математики:
Грищенкова Юлия Сергеевна

Первообразная и интеграл

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка F’(x) = f(x).

Пример:
Первообразной для функции f(x)=x на всей числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку (x2/2)’=x.

Основное свойство первообразных

Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x).

Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y.

Геометрическая интерпретация

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается :

,

где C – произвольная постоянная.

Правила интегрирования

Определенный интеграл

В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a

Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков.


по определению , его называют
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:

Связь между определенным интегралом и первообразной(Формула Ньютона - Лейбница)

Для непрерывной функции





где F(x) – первообразная функции f(x).

Основные свойства определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

Геометрический смыслопределенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смыслопределенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смыслопределенного интеграла

Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то

Физический смыслопределенного интеграла

При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:

с помощью определенного интеграла

Вычисление площадей и объемов

Площадь фигуры,

Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что
для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:

Объем тела,

полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]:

Спасибо за урок!

ДЗ: