Презентация к уроку по теме "Правильные многогранники и их применение"

Многогранники и их практическое применение

Учитель математики:
Романюк Марина Сергеевна

УЧЕНИКИ
10-А КЛАССА

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне (пирамида Хеопса).

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии.

Отличительным знаком Пифагорейской школы была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник.

Пифагорейцы относили существование пяти правильных многогранников к строению материи и Вселенной.

Вселенная - додекаэдр
Земля - куб
Огонь - тетраэдр
Вода - икосаэдр
Воздух - октаэдр

Куб и октаэдр двойственны друг другу. Ребра октаэдра можно получить, соединяя центры соседних граней куба, если же соединить центры соседних граней правильного октаэдра, то получим ребра куба.

Додекаэдр и икосаэдр тоже двойственны друг другу - соединив отрезками центры соседних граней икосаэдра, мы получим додекаэдр, и наоборот.

Правильный тетраэдр двойственен сам себе.

При этом не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n ≥ 6.

Это многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже были названы телами Архимеда.

Полуправильные многогранники или Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:
Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник).
Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо.
Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр.
Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Снежинки - это тоже звездчатые многогранники.
Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.
Также мы можем наблюдать многогранники в виде цветов. Ярким примером могут служить кактусы.

Великая пирамида в Гизе является одним из 7 чудес древности и ярким примером многогранника. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней.
В III веке до н.э. был построен Александрийский маяк. Маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты.

Александрийский маяк

В 285 году до н.э.на острове Фарос архитектор Сострат Книдский приступил к строительству маяка. Маяк строился пять лет и получился в виде башне, вечно гортрехэтажной башни высотой 120 метров. В основании он был квадратом со стороной тридцать метров, первый 60-метровый этаж башни был сложен из каменных плит и поддерживал 40-метровую восьмигранную башню, облицованную белым мрамором. На третьем этаже, в круглой, обнесенной колоннами ел громадный костер, отражавшийся сложной системой зеркал.

Галикарнасский мавзолей
Лучшие архитекторы того времени построили мавзолей в виде почти квадратного здания, первый этаж которого был собственно усыпальницей. Снаружи эта громадная погребальная камера, площадью 5000 кв. метров и высотой около 20 метров, была обложена отесанными и отполированными плитами белого мрамора. Во втором этаже, окруженном колоннадой, хранились жертвоприношения, крышей же мавзолея служила пирамида.

Висячие сады Семирамиды

Дворец Навуходоносора был построен для его жены Семирамиды на обширной кирпичной площадке, высоко поднимавшейся над окружающей местностью. Пять дворов следовали один за другим с востока на запад, во дворы выходили двери многочисленных комнат. Фасад украшали стройные желтые колонны с голубыми завитками. Окон не было, и свет проникал через три широкие двери.
Висячие сады украшали северо- западную часть дворца. На сводчатых арках из кирпича были расположены террасы, напоминающие уступы гор. Поверх кирпичей залит асфальт, на нем – свинцовые плиты, а на них насыпан слой плодородной земли и посажены деревья, кусты и цветы. Издали кажется, что эти сады как бы висят в воздухе.

Храм
Артемиды Эфесской
Храм достигал 109 метров в длину, 50 - в ширину. 127 двадцатиметровых колонн окружали его в два ряда, причем часть колонн были резными и барельефы на них выполнял знаменитый скульптор Скопас. Основание крыши – мраморная плита.

Египетские пирамиды
Они словно вырастают из песков пустыни - колоссальные, величествен-ные, подавляющие человека необычайными размерами и строгостью очертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей.

Башня Сююмбике
Башня Сююмбике- дозорная башня. Находится в Казани и состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды а верхние - многогранники.

Башни Азриэли
Комплекс из трёх небоскрёбов и большого торгового центра (160 магазинов) у их основания в центре Тель-Авива.
В свое время уроженец Израиля Давид Азриэли, живущий в Канаде и сделавший там огромное состояние, задумал построить комплекс из трех башен – квадратной, круглой и треугольной.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники.
Леонардо да  Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции».
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер, в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр.
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для голландского художника Морица Корнилиса Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы.
На гравюре «Звезды» можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить восприятие всей фигуры. Таким образом необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Здание-чайник
(Цзянсу, Китай)

Культурный центр
Гейдара Алиева

Национальная библиотека
Минск, Беларусь

(Бильбао, Испания)
Разработанный американским архитектором Фрэнком Гери,