Презентация "Решение показательных уравнений и неравенств"

Определение.
Уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени, называется показательными.




Примеры показательных уравнений:

2 𝑥 2 2 𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥 = 1 8 1 1 8 8 1 8 3 6 𝑥−3 =0,216 3 3 6 𝑥−3 =0,216 6 𝑥−3 6 6 𝑥−3 𝑥𝑥−3 6 𝑥−3 =0,216 3 6 𝑥−3 =0,216 2 𝑥 2 2 𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥 − 2 𝑥−3 2 2 𝑥−3 𝑥𝑥−3 2 𝑥−3 =28

ПРИМЕР 1.
Решим уравнение: 7 𝑥−2 7 7 𝑥−2 𝑥𝑥−2 7 𝑥−2 = 3 49 3 3 49 49 3 49 .

Заметим, что 3 49 3 3 49 49 3 49 = 3 7 2 3 3 7 2 7 2 7 7 2 2 7 2 3 7 2 = 7 2 3 7 7 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 7 2 3 .
Поэтому данное уравнение можно записать в виде 7 𝑥−2 7 7 𝑥−2 𝑥𝑥−2 7 𝑥−2 = 7 2 3 7 7 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 7 2 3 . Следовательно, корнями данного уравнения будут такие числа, для которых x-2 = 2 3 2 2 3 3 2 3 т.е. 𝑥𝑥=2 2 3 2 2 3 3 2 3 .
О т в е т: 𝒙𝒙=𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟑 .

Метод приведения к общему основанию

ПРИМЕР 2.
Решим уравнение

Заметим, что
Поэтому данное уравнение можно записать в виде:

Метод разложения на множители

ПРИМЕР 3.
Решим уравнение .
Заметим, что .

Сделаем замену переменной ,где по свойству показательной функции.

Уравнение принимает вид .
Его корнями являются числа и
Подставим эти числа в замену вместо 𝑡𝑡.
Решая уравнения 2 𝑥 2 2 𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥 =1 и 2 𝑥 2 2 𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥 =4,
получаем 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 =0 и 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =2.
Ответ: 2;0

Метод введения новой переменной

Решите показательные уравнение методом приведения к общему основанию
а) б) в)


д) е) ж)


з) и)

ВЫПОЛНИТЕ УПРАЖНЕНИЯ

2. Решите уравнения методом разложением на множители:

а) б) в)

г) д) е)

3. Решите уравнение методом введения новой переменной:

4. Решите систему уравнений:
а) б) в)




5. Решите уравнение:
а) 3 128 3 3 128 128 3 128 = 8 2𝑥 8 8 2𝑥 2𝑥𝑥 8 2𝑥 б) в) 0,2 𝑥+0,5 5 0,2 𝑥+0,5 0,2 0,2 𝑥+0,5 𝑥𝑥+0,5 0,2 𝑥+0,5 0,2 𝑥+0,5 5 5 5 5 5 0,2 𝑥+0,5 5 =5∙ 0,04 𝑥 0,04 0,04 𝑥 𝑥𝑥 0,04 𝑥

г) д) е) 3 𝑥−1 3 3 𝑥−1 𝑥𝑥−1 3 𝑥−1 = 6 𝑥 6 6 𝑥 𝑥𝑥 6 𝑥 ∙ 2 −𝑥 2 2 −𝑥 −𝑥𝑥 2 −𝑥 ∙ 3 𝑥+1 3 3 𝑥+1 𝑥𝑥+1 3 𝑥+1

6. Решите уравнение:

а) б) в)


г) д) е)


ж) з)


и) 4∙ 3 3𝑥+2 3 3 3𝑥+2 3𝑥𝑥+2 3 3𝑥+2 +5∙ 3 𝑥+1 3 3 𝑥+1 𝑥𝑥+1 3 𝑥+1 −6∙ 3 𝑥 3 3 𝑥 𝑥𝑥 3 𝑥 =5

к)

Решение показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательных функций: функция y= 𝑎 𝑥 𝑎𝑎 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 𝑎 𝑥 является возрастающей при a>1 и убывающей при 0 Если a>1 , то 𝑎 𝑥1 𝑎𝑎 𝑎 𝑥1 𝑥𝑥1 𝑎 𝑥1 > 𝑎 𝑥2 𝑎𝑎 𝑎 𝑥2 𝑥𝑥2 𝑎 𝑥2 ↔ 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 > 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2
Если 0 𝑎 𝑥1 𝑎𝑎 𝑎 𝑥1 𝑥𝑥1 𝑎 𝑥1 > 𝑎 𝑥2 𝑎𝑎 𝑎 𝑥2 𝑥𝑥2 𝑎 𝑥2 ↔ 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 < 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2
Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1. Решим неравенство
Пользуясь тем, что , перепишем неравенство в виде
.

Т.к. 0.5<1, то функция y= 0,5 𝑥 0,5 0,5 𝑥 𝑥𝑥 0,5 𝑥 является убывающей.
Поэтому данное неравенство равносильно неравенству, 7-3x>-2

Откуда получаем −3𝑥𝑥>−9, 𝑥𝑥<3.
О т в е т: 𝒙𝒙𝝐𝝐(- ; 3)

Показательные неравенства

ПРИМЕР 2.
Решим неравенство
Заметим, что

и перепишем данное неравенство
в виде

Отсюда получаем 4 3 𝑥 4 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 4 3 𝑥 𝑥𝑥 4 3 𝑥 > 9 16 9 9 16 16 9 16 , 4 3 𝑥 4 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 4 3 𝑥 𝑥𝑥 4 3 𝑥 > 4 3 −2 4 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 4 3 −2 −2 4 3 −2 .
Т.к. 4 3 4 4 3 3 4 3 >1, то функция y= 4 3 𝑥 4 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 4 3 𝑥 𝑥𝑥 4 3 𝑥 является возрастающей, поэтому полученное неравенство равносильно неравенству x>-2

О т в е т: (-2 ;+∞ )

ПРИМЕР 3.
Решим неравенство .
Заметим, что =

Сделаем замену переменной , где t>0,
тогда неравенство перепишется в виде

Решим его: ; ; ,
Следовательно, решением данного неравенства являются числа x, удовлетворяющие условию 1 3 1 1 3 3 1 3 < 1 3 𝑥 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 𝑥 𝑥𝑥 1 3 𝑥 ,
Функция y= 1 3 𝑥 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 𝑥 𝑥𝑥 1 3 𝑥 является убывающей, поэтому
О т в е т: (- 2;1).

УПРАЖНЕНИЯ
1) Решите неравенство:





2. Решите неравенство:
; ;

;

3. Решите неравенство:

1. Решите уравнение:
а) б) в)

г) д) е)


ж) з)

2. Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ.  

3. Решите двойное неравенство:
а) б) в)

г) д) е)

4. Найдите область определения функции:

y= 1 3− ( 1 3 ) 𝑥 1 1 3− ( 1 3 ) 𝑥 3− ( 1 3 ) 𝑥 3− ( 1 3 ) 𝑥 3− ( 1 3 ) 𝑥 ( 1 3 1 1 3 3 1 3 ) ( 1 3 ) 𝑥 𝑥𝑥 ( 1 3 ) 𝑥 3− ( 1 3 ) 𝑥 1 3− ( 1 3 ) 𝑥

5. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
а) б) в) г)



6. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

7. Решите неравенство:
а) б)

8. Решите неравенство:
а) б) в)


г) д) е)

9. Решите уравнение:
а) б)

в) г)

10. Решите неравенство:

а) б) 2 2𝑥−1 2 2 2𝑥−1 2𝑥𝑥−1 2 2𝑥−1 + 25 𝑥−0,5 25 25 𝑥−0,5 𝑥𝑥−0,5 25 𝑥−0,5 ≥7∙ 10 𝑥 10 10 𝑥 𝑥𝑥 10 𝑥

г) д)

ВВВ

Выполнила преподаватель ГБПОУ ВО «ВТСТ» Сафонова Е.А.