Презентация к уроку "Квадратные уравнения"

Квадратные уравнения Исследования  свойств корней  квадратных  уравнений в  зависимости от  коэффициентов

Квадратное уравнение­ это  уравнение вида               ax2 + bx + c=0 ,      где   а  ≠  0 и a, b ,c – некоторые числа,  x – переменная

Один из способов решения  квадратных уравнений – через  дискриминант:           D = b2 – 4ac     или   D1= к2  ­ ac , где b­ четное   D>0,   уравнение имеет   2 корня    D<0,   уравнение не имеет корней    D=0,  уравнение имеет    1 корень

Рассмотрим случай  a +b + c=0 Решим уравнение: 7х 2 +3х – 10=0 D=b 2 – 4ac; D=289. X1,2= Ответ: X1=1, Х2 =

7x 2  +3x­10=0 2x 2   ­10x+8=0 3/7x 2   ­4/7x+1/7=0 2,3x 2   ­6,5x+4,2=0 х1 1 1 1 1 х2 ­ 10/7 4 1/3 42/23

если в квадратном уравнении  ах2 + b х + с=0  сумма коэффициентов   a +  b + с=0, то корни уравнения  равны     х1= 1   и    х2 =

Попробуем найти закономерность в решении   уравнений , в которых:   a +  b = с Для этого рассмотрим некоторые  примеры: 2x 2 + 3x + 5= 0 D=b 2 – 4ac,   D= ­31  D<0,  корней нет

10x 2  +12x+22=0 D= ­ 736, D<0   корней нет 33x 2  + 3x + 36 = 0 D=  ­ 4743, D<0   корней нет Решая эти квадратные  уравнения, мы заметили:  если a+b=c, то в  таком уравнении  корней нет

Рассмотрим уравнения, в которых                         a + c= b  11x 2  + 24x + 13=0 D= b 2  ­ 4ac, D=4 X1,2=   X1= ­1; Х2=  Ответ:   ­1;

3x 2  + 10x+7=0  D=b 2  ­ 4ac,D=16 X1,2= X1= 1; x2= Ответ:­1,

3x 2  +10x+7=0 2x 2   +10x+8=0 3/7x 2   +4/7x+1/7=0 2,3x 2   +6,5x+4,2=0 х1 ­1 ­1 ­1 ­1 х2 ­7/3 ­ 4 ­ 1/3 ­ 42/23

если a+b=c, то х1= -1 и х2= -

Далее рассмотрим,   что произойдет с корнями  уравнения, если поменять местами  а  и  с 3x 2  ­14x+16=0 D=b 2  ­4ac, D=4 X1,2= X1=      x2=2 Ответ:     ;   2.

А теперь поменяем местами  коэффициенты a и с: 16x 2 ­14x+3=0 D=b 2 ­ 4ac,  D=4 X1,2= X1= x2=  Ответ:    ;

5x 2   ­11x+2=0 D= b 2  ­ 4ac; D=81                     X1,2= X1=2; x2  = Ответ: 2;   .

Меняем a и с местами: 2x 2 ­ 11x+5=0 D= b 2 ­ 4ac     D=81                      X1,2= X1=5     x2= Ответ: 5;

x 2   ­ 8x ­ 84=0 D= b 2  ­ 4ac   D=400                     X1,2= X1=14   x2= ­6 Ответ:14; ­6.

Меняем местами a и с: ­ 84x 2   ­ 8x+1=0 D= b 2  ­ 4ac                       X1,2= X1=       x2= Ответ       ,        .

х1 х2 3x 2  ­14x+16=0 8/3 2 16x 2   ­14x+3=0 1/2 3/8 х1 2 5x 2   ­11x+2=0 2x 2   ­ 11x+5=0 5 х1 84x 2  ­ 8x+1=0 14 х2 1/5 1/2 х2 ­6 x 2 ­ 8x ­ 84=0 ­ 1/6 1/14

х1 х2 1/ х2 1/ х1

Если в квадратном  уравнении поменять местами  коэффициенты  а и с,    то значения корней в  полученном уравнении будут   взаимно обратными корням в  исходном уравнении

их, используя формулы дискриминанта 2х2+5х + 2 = 0 ( х1= -2, х2 =- ½) , 3х2-10х + 3 = 0 ( х1= 3, х2 =1/ 3),    4х2 + 17х + 4 = 0 ( х1= -4, х2 =- 1/4),    5х2-26х + 5 = 0 ( х1= 5, х2 =1/5) Нашли общую формулу записи этих уравнений        ax ± (a 2  +1)x + a=0

Выяснили, чему равны корни, если уравнения имеют вид ах2 ± (а2 + 1)х + а = 0 •для второй коэффициент отрицательный •для случая, когда второй  коэффициент положительный случая, когда

Если уравнения имеют вид ax 2 ± (a 2  +1)x + a=0,  то его корнями являются  соответственно числа • 1/а, а (для случая, когда  второй коэффициент  отрицательный); • ­ 1/а, ­а (для случая, когда  второй коэффициент   положительный)