Презентация по геометрии " Признаки параллелограмма".

8 класс геометрия Четырехугольники  Урок № 2 Параллелограмм Подготовила: Филипова Е.К.

Цели: Ввести понятие параллелограмма. Рассмотреть свойства параллелограмма. Рассмотреть признаки параллелограмма. Решение базовых задач. 30.11.2012 www.konspekturoka.ru 2 Ввести понятие параллелограмма.Рассмотреть свойства параллелограмма.Рассмотреть признаки параллелограмма.Решение базовых задач.

Параллелограмм –  четырехугольник, С  у которого противоположные  стороны попарно параллельны. В А ABCD – параллелограмм.   D AB II CD, DC II AD. 30.11.2012 www.konspekturoka.ru 3

Свойства параллелограмма В 1 С D А В параллелограмме противоположные   стороны равны  и  противоположные   углы равны. ∠1 =  2,  3 =  4 ∠ ∠ ∠ ВС = AD, АВ = СD   30.11.2012 www.konspekturoka.ru 4 1

Свойства параллелограмма С В 2 О А D Диагонали  параллелограмма делятся  точкой пересечения пополам. ВО = ОD, АО = ОС О – точка пересечения диагоналей 30.11.2012 www.konspekturoka.ru 5 2

Свойства параллелограмма В С 3 А В параллелограмме сумма углов,  D прилежащих к одной стороне, равна 180°. ° ,∠D +  C  = 180 ∠А +  D = 180 ° ,∠В +  C  = 180 ∠А +  B = 180 ∠ ∠ ∠ ∠ ° , ° , 30.11.2012 www.konspekturoka.ru 6 3

Признаки параллелограмма 1 Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны,   то этот четырехугольник параллелограмм. В С А Дано: Доказать : 30.11.2012 АВСD – четырехугольник,  АВ = CD, АВ  D  CD∥ АВСD – параллелограмм Доказательство www.konspekturoka.ru 7 1Дано:Доказать:

1 В Доказательство 3 2 С Пусть АВ = СD и АВ  проведем диагональ АС. ∥  СD,  А D 1 4 Рассмотрим  треугольники  ∆ АBC и  ∆ACD:  ∆ АBC =  ∆ACD – по двум сторонам и углу между ними   2 как накрест  (АС – общая, АВ = СD – по условию,  1 =  ∥ лежащие при АВ   СD и секущей АС. ∠ ∠  Поэтому  3 =   4. Но   3 и   4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых  ВС и AD  секущей – АС. Следовательно ВС  AD. Таким образом, если в четырехугольнике противоположные  стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD ­  параллелограмм. 8 ∠ ∠ ∠ ∠ 30.11.2012 www.konspekturoka.ru ∥ 1

Признаки параллелограмма 2 Если в четырехугольнике противоположные стороны  попарно  равны, то этот четырехугольник ­ параллелограмм. В С А Дано: Доказать : 30.11.2012 D АВСD – четырехугольник,  АВ = CD, ВС = АD АВСD – параллелограмм Доказательство www.konspekturoka.ru 9 2Дано:Доказать:

2 В 1 4 Доказательство С 3 2 АВСD­  четырехугольник,  АВ = CD, ВС = АD. Проведем диагональ АС.   Рассмотрим  треугольники  ∆ АBC и  ∆ACD: А  ∆ АBC =  ∆ACD – по трем сторонам  (АС – общая,  АВ = СD, ВС = АD – по условию). Поэтому  1 =  Отсюда следует, что АВ  ∠ ∠ ∥  СD. D  2 как накрест лежащие при секущей АС. ∥  СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник  Так как АВ  АВСD – параллелограмм  (если в четырехугольнике две стороны  равны и параллельны, то этот четырехугольник  параллелограмм). www.konspekturoka.ru 30.11.2012 10 2

Признаки параллелограмма 3 Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой   пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник   параллелограмм. С В О D Дано: А АВСD – четырехугольник,  ВО = ОD, АО = ОС Доказать : 30.11.2012 АВСD – параллелограмм Доказательство www.konspekturoka.ru 11 3Дано:Доказать:

3 С 2 Доказательство В 3 АВСD – четырехугольник,  ВО = ОD, АО = ОС. Проведем диагонали АС и BD.  О Рассмотрим  треугольники  ∆ АОB и  ∆CОD: ∠ 1 4 D А ∆ АОB =  ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников (ВО = ОD, АО = ОС – по условию,  ∥ ∠ ∠ Из   1 =  2 следует, что АВ  Поэтому АВ = CD и  1 =  2.   ∥ Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ  CD,  то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм   (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны,  то этот четырехугольник параллелограмм).      CОD – как вертикаль.)  CD. ∠  АОB  =   ∠ ∠ 30.11.2012 www.konspekturoka.ru 12 3

1 Задача  Дано: АВСD – четырехугольник,  ∠BАC =  ACD,   CAD = BCA ∠ ∠ ∠ Доказать : В АВСD – параллелограмм. Доказательство Рассмотрим треугольники ∆ АBC  С  и  ∆ACD: ∠ ∠ ∠ 1.  BАC =  ACD,   CAD = BCA – по  условию, АС – общая;  следовательно ∆ АBC =  ∆ACD – по  стороне и двум прилежащим углам;  поэтому ВС = AD. ∠ А ∠ D ∠ 2.Так как  BАC =  ACD – накрест лежащие углы при  ∥  параллельных прямых ВС, AD и секущей ­ АС, то ВС  3.Так как ВС = AD и ВС  параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и  требовалось доказать.  AD, то по 1­му признаку  www.konspekturoka.ru 30.11.2012 ∥  AD.  13 Дано:Доказать:1

Ответить на вопросы: Какая фигура называется параллелограммом? Докажите, что в параллелограмме противоположные   стороны и углы равны. Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой   пересечения делятся пополам. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма. Спасибо за внимание! 30.11.2012 www.konspekturoka.ru 14