Презентация по геометрии "Прямоугольная система координат в пространстве" (11 класс)

Прямоугольная  система координат  в пространстве Презентацию подготовила учитель математики  Ершова Любовь Германовна МАОУ СОШ №1 г. Кунгур Пермский край

Прямые с выбранными на них  направлениями называются осями  координат, а их общая точка – началом  координат. Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Три плоскости, проходящие через оси  координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох,  называются координатными  плоскостями: Оху, Оуz, Оxz. Плоскость Oyz Плоскость Oxz O Плоскость Oxy

В прямоугольной системе координат каждой  точке М пространства сопоставляется тройка  чисел – её координаты: М (х, у, z), где х –  абсцисса, у – ордината, z  ­ аппликата.

Точка лежит на оси в координатной плоскости Ох (х,0,0) Оу (0,у,0) Оz (0,0,z) Oxy (x,y,0) Oyz (0,y,z) Oхz (x,0,z)

Координаты вектора в пространстве

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1. i – единичный вектор оси абсцисс,  j – единичный вектор оси ординат, k – единичный вектор оси  аппликат. z k j Oi y x

Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: а  iх jy  kz Нулевой вектор можно представить в виде: 0  0 i 0 j  0 k Координаты равных векторов соответственно равны, т.е., если  ā { x1; y1; z1 } = b { x2; y2; z2 }, то  x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.

1. Сумма векторов:  a + b = { x1+ x2; y1+ y2; z1+ z2 }. 2. Разность векторов:  a – b = { x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2 }. 3. Произведение вектора на  число:  α ā = {  x;  y;  z }. α α α

Задача №401. Ответ:  А1 (2;­3;0); А2 (2;0;5);  А3 (0;­3;5)

Задача №402. Ответ: С (0;1;1);  В1 (1;0;1);  С1 (1;11);  Д 1(1;1;0)

Итог урока     На уроке познакомились с прямоугольной системой координат, научились  строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки,  изображенной в заданной системе координат. Декартова система  координат не единственная. К следующему уроку найти в Интернете  другие системы координат.

Разложение  вектора по  координатным  векторам

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны. а b с Если векторы а { x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 }, то:  х 1 х 2 у 1 у 2  k z 1 z 2

Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант №1. Даны векторы         а {2; ­4; 3} и b {­3;  №1. Даны векторы         а {1; ­3; ­1} и b {­1; 2;  1/2; 1}. Найдите координаты вектора с = a +  0}. Найдите координаты вектора с = a – b. b. №2. Даны векторы         а {2; 4; ­6}, b {­3; 1;  №2. Даны векторы         а {1; ­2; 0}, b {3; ­6;  0},       c {3; 0; ­1}. Найдите координаты  0},       c {0; ­3; 4}. Найдите координаты  вектора     p = ­1/2a + 2b – c. вектора     p = 2a – 1/3b – c. №3. Найдите значения m и n, при которых  №3. Найдите значения m и n, при которых  векторы а {­4; m; 2} и       b {2; ­6; n}  векторы а {6; n; 1} и       b {m; 16; 2}  коллинеарны. коллинеарны.

Связь между  координатами  векторов и  координатами точек

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат,  называется радиус­вектором данной точки. Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радус­вектора. М (x; y; z) OM (x; y; z) A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2)       AB (x2 – x1;  y2 – y1; z2 – z1)

Простейшие  задачи в  координатах

1. Координаты середины отрезка. z А D С В О х x у A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2),      C (x; y; z) –  середина АВ.  ОС = ½ (ОА + ОВ), тогда 1  y ( 1 2 1  2 x 2 x 1  ), y (  y 2 ), z  ( z 1 1 2 z 2 ) 2. Вычисление длины вектора по его координатам:  если а { x; y; z }, то | a  | 2 x  2 y  2 z 3. Расстояние между двумя точками:   | AB d x  ( ) | 2 x 1 2 ( y 2  2 y 1 )  ( z 2  2 z 1 )

Угол между  векторами

А а О α b В ^ bа •  Если а || b и а и b сонаправлены, то  •  Если a || b и a и b противоположно направлены, то  •  Если а  b, то   = 90°.  α α  = 0°. α  = 180°.

Скалярное  произведение  векторов

1) a ∙ b = | a | ∙ | b | ∙ cos(a ^ b) 2) a { x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 }  a ∙ b = x1x2 + y1y2 + z1z2 3) a  2 2  = | a |    cos  xx yy 21 21    2 2 z y 1 1  2 x 2 zz 21  y 2 x 1 2 2  z 2 2 cos   ba  | a b | | |

№ 467 z B1 B C1 C х D1 D Решение: Введём систему координат: В(0; 0; 0),  С(1; 0; 0), А(0; 1; 0), D(1; 1;0), B1(0; 0;  A1 2), C1(1; 0; 2), D1(1; 1; 2), A1(0; 1; 2).  Тогда,  BD{1; 1; 0},  CD1 = BA1{0; 1; 2}. у A cos  2 1  |201101|  2 2 1 1  0 2 2 0   2 2 1 10

№ 466 z D1 A1 M . A х D K C1 B1 у C . N B

№ 469 (а) z D1 M A1 C1 B1 D K у C N B A х