Презентация по математике на тему "Арифметическая прогрессия."

Презентация на тему Презентация на тему Арифметическая и Арифметическая и геометрическая геометрическая Новиков Ярослав Новиков Ярослав Выполнил ученик 10 А класса Выполнил ученик 10 А класса прогрессии прогрессии Школы № 26 Школы № 26

прогрессией прогрессией Арифметическая Арифметическая прогрессия прогрессия • Арифметической называется Арифметической называется числовая последовательность, каждый член числовая последовательность, каждый член равен которой, равен которой, последующему с одним и тем же числом d. Это последующему с одним и тем же числом d. Это число называется разностью арифметической число называется разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия задается рекуррентным равенством: прогрессия задается рекуррентным равенством: aan+1n+1 = a = an n + d, n э N + d, n э N • где a где an n и aи an+1n+1 соответственно n-й и n + 1-й член соответственно n-й и n + 1-й член прогрессии. прогрессии. • Для обозначения прогрессии используют запись: Для обозначения прогрессии используют запись: ÷ ÷ aa11, a, a22, a, a33…… второго, второго, начиная начиная со со

Арифметическая Арифметическая прогрессия является прогрессия является монотонной монотонной последовательностью: последовательностью: • возрастающей при d>0, возрастающей при d>0, • убывающей при d<0, убывающей при d<0, • невозрастающей при d=0. невозрастающей при d=0. • Для n-го члена арифметической Для n-го члена арифметической прогрессии справедлива формула прогрессии справедлива формула ааnn=а+d(n-1) =а+d(n-1)

Докажем её методом Докажем её методом математической математической n=1 n=1 верна верна индукции. индукции. • При эта формула При a11=a. =a. эта формула a Предположим, что формула аnn=а+d(n-1) верна =а+d(n-1) верна Предположим, что формула а при n=k≥≥1, т.е. a 1, т.е. akk=a+d(k-1). По определению =a+d(k-1). По определению при n=k ak+1k+1=a=akk+d. +d. прогрессии арифметической a прогрессии арифметической Подставляя сюда выражения k-го члена, Подставляя сюда выражения k-го члена, получим ak+1k+1=a+d(k-1)+d=a+dk, =a+d(k-1)+d=a+dk, получим a а это есть формула аnn=а+d(n-1) при n=k+1. Из =а+d(n-1) при n=k+1. Из принципа математической индукции следует, принципа математической индукции следует, что формула аnn=а+d(n-1) верна для любого =а+d(n-1) верна для любого что формула а натурального n. натурального n. а это есть формула а

что что если если Из формулы аnn=а+d(n- =а+d(n- Из формулы а 1)1) • Следует, разность Следует, разность арифметической прогрессии отлична от арифметической прогрессии отлична от нуля, то арифметическая прогрессия нуля, то арифметическая прогрессия является неограниченной прогрессией. является неограниченной прогрессией. Чаще рассматривается рассматривается Чаще арифметическая прогрессия, содержащая арифметическая прогрессия, содержащая конечное которая которая конечное называется арифметической арифметической называется прогрессией. прогрессией. всего всего число число конечной конечной членов, членов,

Основные свойства Основные свойства арифметической арифметической прогрессии прогрессии • 1. Общий n-й член арифметической прогрессии 1. Общий n-й член арифметической прогрессии определяется формулой aann = a = a1 1 + d*(n - 1) + d*(n - 1) определяется формулой • 2. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со 2. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних второго, равен среднему арифметическому соседних членов: членов: an = (an-1 n-1 + a+ an+1n+1) / 2, n ≥ 2 an = (a ) / 2, n ≥ 2 • 3. Для конечной арифметической прогрессии суммы 3. Для конечной арифметической прогрессии суммы членов, равноотстоящих от концов прогрессии, равны. членов, равноотстоящих от концов прогрессии, равны. • 4. Сумм n первых членов арифметической прогрессии 4. Сумм n первых членов арифметической прогрессии определяется формулой определяется формулой Sn = (a Sn = (a11 + a + ann) / 2 * n = (2a • Арифметическая прогрессия является возрастающей, Арифметическая прогрессия является возрастающей, если d > 0d > 0, и убывающей, если если ) / 2 * n = (2a11 + d(n - 1)) / 2 * n + d(n - 1)) / 2 * n , и убывающей, если d

Историческая справка Историческая справка арифметической арифметической • Свойство прогрессии Свойство прогрессии имеет свои истоки в теории непрерывных имеет свои истоки в теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались пропорций, изучением которых занимались древние греки. Равенство они древние греки. Равенство они называли непрерывной арифметической называли непрерывной арифметической пропорцией. Из этого равенства следует пропорцией. Из этого равенства следует привычное для современного школьника привычное для современного школьника равенство , которое чаще равенство , которое чаще называется характеристическим свойством называется характеристическим свойством арифметической прогрессии. арифметической прогрессии.

Геометрическая Геометрическая прогрессия прогрессия • Геометрической называется Геометрической называется числовая последовательность, каждый член числовая последовательность, каждый член равен которой, равен которой, предыдущему, умноженному на одно и то же предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0 q ≠ 0 . Это число называется . Это число называется число знаменателем прогрессии. прогрессии. знаменателем Таким образом, геометрическая прогрессия Таким образом, геометрическая прогрессия задается рекуррентным равенством: задается рекуррентным равенством: прогрессией прогрессией bb1 1 = b, b= b, bnn+1 = b+1 = bnn * q, n э N, q ≠ 0, b ≠ 0 * q, n э N, q ≠ 0, b ≠ 0 • Для обозначения геометрической прогрессии Для обозначения геометрической прогрессии используют запись: используют запись: ÷÷ ÷÷ bb11, b, b22, b, b33…… начиная начиная со со второго, второго,

Основные свойства Основные свойства геометрической геометрической прогрессии. прогрессии. • 1. Общий n - й член геометрической прогрессии 1. Общий n - й член геометрической прогрессии определяется определяется n-1n-1 формулой: bbn n = b= b1 1 * q* q формулой: 2. Каждый член геометрической прогрессии, начиная 2. Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен по модулю среднему со второго, равен по модулю среднему геометрическому соседних членов: геометрическому соседних членов: | = √ (bn-1 n-1 * b* bn+1n+1), n ≥ 2 ), n ≥ 2 |b|bnn| = √ (b • Геометрическая прогрессия является возрастающей, Геометрическая прогрессия является возрастающей, если bb11 > 0 > 0 и если • Геометрическая прогрессия является убывающей, если Геометрическая прогрессия является убывающей, если bb11 > 0 > 0 и и 0 < q < 1 0 < q < 1 и q > 1 q > 1 . .

Бесконечно убывающие Бесконечно убывающие геометрические геометрические прогрессии прогрессии • Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия называется бесконечно называется бесконечно убывающей, если модуль ее убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы знаменателя меньше единицы