Методическая разработка урока математики «Отбор корней тригонометрических уравнений» предназначена для изучения темы обучающимися 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяется тема «Тригонометрические формулы".Исходя из целей урока были спланированы следующие моменты: повторение – как теоретическая основа ранее изученного материала; задания дифференцированные, что способствует созданию ситуации выбора, успеха, учебной самостоятельности, для учащихся с различными каналами восприятия использованы разнообразные задания и иллюстративный материал.
МОУ СОШ №1
п. Селижарово
учитель математики
1 категории
Томилина Н.В.
Эпиграф:
• Первое условие,
которое надлежит
выполнять в
математике,
- это быть точным,
•
второе
- быть ясным и,
насколько можно,
простым.
французский государственный и
военный деятель, инженер и
Лазар Карно
учёный
Способы отбора корней
I способ : перебор корней по параметру n
II способ: решение двойного неравенства
относительно параметра n
Тема урока:
Отбор корней
III способ:
тригонометрических
с помощью единичной
уравнений
окружности
Цель урока
• Рассмотреть еще один способ
отбора корней
тригонометрического уравнения -
с помощью единичной
окружности.
План урока
1. Повторение теоретического
материала
2. Исторические сведения
3. Проверка домашнего задания
4. Ознакомление с третьим способом
отбора корней
5. Закрепление
6. Подведение итогов
1
2
Р
а
м
з
3
котангенс
косинус
синус
а
тангенс
к
н
и
4
Косинус
cos – абсцисса точки Р
при
повороте на угол
а,
где Р(1;0) → М(х;у)
2
sin
Синус
sin – ордината точки Р
повороте на угол а,
при
где Р(1;0) → М(х;у)
М(х;у)
y
1
0
cos
1
Р(1;0)
x
Тангенс
tg
=
sin
cos
a
a
Котангенс
cos
сtg =
sin
a
a
"Собери формулу"
2вариант
sin2
1вариант
a
2sin
2
cos
1
a
tg
(
)
a
tga
2
a
2
atg
2
cos
sin
1
sin(
)
2
a
a
cos
2
sin
tg
sin
cos
cos
1
1
2
cos
cos
1
tga
1
ctga
sin(
2
a
2
sin
a
ctga
2
a
ctg
2
(
2
cos
2
sin
2
cos
1
1
2
sin
cos
sin
cos
a
a
)
)
ctg
ctg
1вариант Общие
2вариант Частные
Уравнение
Формула корней
Уравнение Формула корней
1. sinx = a, |
a|≤1
2. cosx = a,
|a|≤1
3. tg x = a
x = (1)narcsin a + kπ ,
k є Z
x = ±arccos a + 2 kπ ,
k є Z
x = arctg a + kπ ,
4. ctg x = a x = arcctg a + kπ ,
k є Z
k є Z
1. sinx = 0
x = kπ , k є Z
2. sinx = 1
π
/2 + 2 k
π , k є
x =
Z
3. sinx = –1 x = – /2+ 2 k
π , k є
π
4. cosx = 0
Z
x =
π
/2 + k
π , k є Z
5. cosx = 1
6. cosx = –1 x =
x = 2 kπ , k є Z
π
+ 2 k
π , k є Z
На разных единичных окружностях
постройте точки, в которых:
sin
0
cos
sin
1
2
1
3
cos
0
sin
cos
1
2
2
3
1вариант
2вариант
sin
0
0
cos
1
2
1
2
1
3
sin
1
3
1
1
1
cos
0
0
1
2
2
3
sin
cos
1
2
2
3
1
1
1
1вариант
2вариант
Историческая
минутка
Эйлер
Леонард
(1707– 1783)
крупнейший
математик
XVIII
столетия
Исторический
Материал
Сообщение
Проверка домашнего задания
а). Решите уравнение
б). Найдите все корни этого уравнения,
(решение на доске 2 ученика)
принадлежащие отрезку
cos
2
01
4
cos
x
;
5
2
2
x
4
1.
2.
sin2
3
x
sin2
x
2
cos
x
0
5
2
;
Способы отбора корней
I способ : перебор корней по параметру n
при условии n , методом подстановки
n = 0 ,n = 1, n = 2 и т. д. в формулу корней
произвести отбор корней, принадлежащих
данному промежутку .
Остановить подстановку, если при дальнейшем
увеличении (уменьшении) n корни уравнения не
удовлетворяют условию.
Способы отбора корней
II способ: решение неравенства относительно
параметра n
];[ ba
1. Составить двойное неравенство a ≤ х ≤ b, х
2. Решить неравенство относительно n .
3. Т. к. n , то выбрать соответствующие значения
n и найти корни при каждом найденном n.
Способы отбора корней
III способ: используя единичную окружность
1.Выделить на единичной окружности дугу,
соответствующую промежутку.
2. Изобразить корни на единичной окружности.
3. Выбрать числа, которые располагаются на
выделенной дуге.
а). Решите уравнение
4
01
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку
cos
2
cos
4
x
x
2
;
5
2
k+2
6
1
2
5 k+2
6
-
6
5
6
6
6
6
6
4
cos
2
x
4
2
x
cos
4
14
sin44
sin
2
2
sin4
x
x
II четв.
01
x
cos
01
2
x
01
sin4
sin4
x
01
x
01
sin
2
sin4
x
x
3
2
x
sin4
1;1
Ответ
:
х
03
sin x
6
)1(
n
1
2
,
Znn
.
или
:
Ответ
5
6
x
x
6
,2
k
;2
k
Zk
.
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку
;
5
2
sin x
1
2
2. Изобразим корни
5
2
2
1
2
613
1. Найдем этот
промежуток на
единичной окружности
+
6
3. Выберем числа,
входящие в
промежуток
2
3
2
6
2
6
б
).
Ответ
:
13
6
12
6
6
13
6
а). Решите уравнение
sin2
3
x
sin2
x
2
cos
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
;
x
0
5
2
x
2
3
x
sin2
(sin
sin2
x
sin2
x
2
(sin
x
sin2
x
sin2
2
)1
x
2
x
sin
cos
2
cos
x
x
cos
0
0
2
x
)
2
cos
x
0
2
2
2
2
cos
sin2
x
(
sin2
x2
x
(
ZnnхnОтветn
.,
cos
0
x
x2
2
0
x
)
x
3 k+2
4
-
x2
2
cos
cos
x
x
cos
cos
4
Другая запись ответа
sin2
x
0)1
1
)1(_;
:
sin x
2
2
4
2
sin x
4
3
4
2
2
,2
k
2
2
k
;2
Ответ
Zk
k
;
:
.
cos2
cos
cos x
0
а
).
k+2
4
cos x
0
2
2
sin x
3 -
2
2
2
4 5 -
-
4
-
5
2
;
1. Найдем этот
промежуток на
единичной окружности
2
4
2
2
5
2
4 7 -
+
4
-2
2
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку
2. Изобразим корни
3. Выберем числа,
входящие в
промежуток
5-
-
2
2
4
2
4
8
4
4
7
4
б
).
Ответ
:
5
2
;
3
2
;
7
4
;
5
4
а). Решите уравнение
(cos
x
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку
x
0)1
sin2)(1
(cos
x
sin2)(1
x
0)1
;2
2
а). Решите уравнение
(cos
x
sin2)(1
x
0)1
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку
x
0)1
sin2)(1
(cos
x
x
01
cos
cos x
1
sin2
sin
x
01
1
2
x
;2
2
2
k
-
6
k+2
1
2–
7 k+2
6
6
6
6
7
6
6
1
k
6
)1(
k
а
).
Ответ
:
x
2
xk
,
,
Zk
или
а
).
Ответ
:
x
2
xk
,
6
xk
,2
7
6
Zk
2
;2
2
б). Найдем все корни этих уравнений, принадлежащие
отрезку
1
2
cos x
1
sin
x
3-
2
1
2–
-
2
-
+
6
-5
6
-2
6
6
6
6
6
6
5
6
б
).
Ответ
;2:
5
6
а). Решите уравнение
2
sin6
x
cos
x
01
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку
sin6
x
cos
x
;01
;01
cos
cos
1(6
x
x
)
2
2
k+2
arccos 5
6
;01
66
2
x
6
cos
cos x
1
cos
2
x
cos
x
cos
x
;05
5
x
6
cos
Ответ
а
).
или
;2:
k
arccos
5
6
5
6-
arccos 5
k+2
6
3;2
arccos 5
6
2 k
5
6
k
;2
arccos
5
6
Zkk
;2
.
а
).
Ответ
:
x
2
xk
,
arccos
Zkk
5
6
5
arccos
6
5
,2
6
arccos
б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку
cos x
1
3;2
cos
x
5
6
arccos 5
6
-
arccos 5
6
3
5
6-
5
2
3
2
2
б
).
Ответ
;2:
3
arccos
5
6
«Нельзя изучать
математику, глядя
на то,
как это делает
сосед»
НИВЕН Айвен
Американский математик,
специалист по теории чисел
Только свой труд в изучении
математики может принести
результаты.
Проба сил
Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку
II вариант
I вариант
3
2
2
1).
1).
x
x
1
2
;
1
2
3;2
x
0
2
2
;
;4
5
2
2).
5
3).
2
x
arcsin
x
cos
1
5
x
5
7
2
2
2sin
17
6
cos
x
;
;
0
0;
5
2
4;
sin
7
6
sin3
2
x
arcsin
2).
;0
3).
2sin
x
11
3
;4
sin
1
3
sin
x
3;
cos
8
3
cos
2
;
Домашнее задание
1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному
промежутку:
a) cos 2x + sin x = cos2 x на [0;2 ]π
; ] π π
б) sin x + cos x = 0 на [
2) Решите уравнение:
0
а)
2
cos
x
sin2
cos
2
x
x
2
1
1
cos
x
б)
«Считай несчастным
тот день или тот час,
в который ты
не усвоил ничего
нового и ничего не
прибавил
к своему
образованию»
Ян Амос Коменский
Рефлексия
1. На уроке я работал
2. Своей работой на уроке я доволен / не доволен
активно / пассивно
для меня
коротким / длинным
Урок
3.
показался
4. За урок я
5. Материал урока мне
был
6.Домашнее задание мне
кажется
не устал / устал
понятен / не понятен
полезен / бесполезен
интересен / скучен
не трудным / трудным
Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью единичной окружности.pptx
