Презентация по математике на тему "Площадь криволинейной трапеции"

Презентация по алгебре Презентация по алгебре на тему на тему «Криволинейная «Криволинейная трапеция и её площадь» трапеция и её площадь» Выполнила: ученица 11а ученица 11а                   класса МОУ «СОШ № 26»            класса  МОУ «СОШ № 26»             Старостина Аня. Старостина Аня. Проверила: Копылова С.В. Копылова С.В.

Содержание. • Методы • Криволинейная трапеция • Площадь криволинейной трапеции • Задача №1 • Определённый интеграл • Вывод формулы • Формула Ньютона-Лейбница • Задача №2

В математике разработаны методы, позволяющие вычислять площади фигур, границы которых состоят из кривых линий (если, конечно, площади этих фигур существуют). Теперь, используя знания о первообразной функции можно научиться находить площади фигур, называемых криволинейными трапециями. На рисунке штриховкой выделена криволинейная трапеция.

Рассмотрим непрерывную функцию y=f(x), заданную на отрезке [ a; b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [ a; b ] и прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Для вычисления площадей криволинейных Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема: трапеций используется следующая теорема: Если f – непрерывная, неотрицательная Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [ a; b ] и F – её функция на отрезке [ a; b ] и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [ a; b ], то eсть SS == F(b)F(b) -- F(a)F(a).. на отрезке [ a; b ], то eсть

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=x2 и прямыми y=0, x=1, x=2. Решение: Одна из первообразных функции есть . Тогда С Ответ: В А D

Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a; b ] на n отрезков равной длины точками: x0 = a < x1 < x2 < x3 < …< x n-1 < x n = b и пусть ∆х = = x k – x k-1 , где k = 1, 2, …, n – 1, n . В каждом из отрезков [x k-1 ; x k ] как на основании построим прямоугольник высотой f (x k-1 ) . f (x k- 1 )

Площадь этого прямоугольника равна: Сумма площадей этих прямоугольников равна:

Ввиду непрерывности функции f (x) объединение построенных прямоугольников при большом n ( т.e. при малом ∆х ) “почти совпадает” с нашей криволинейной трапецией. Поэтому, Sn ≈ S при больших значениях n . Это значит, что Sn → S при n →∞ . Этот предел называется интегралом функции f (x) от a до b или определённым интегралом : Числа a и b называются пределами интегрирования, f ( x ) dx – подынтегральным выражением.

Итак, если f (x) ≥ 0 на отрезке [ a; b ] , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

Формула Ньютона – Лейбница. Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции f(x) на отрезке[ a; b ] , то Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница. Она справедлива для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [ a; b ] .

Пример. Вычислить интеграл: Решение: Ответ: 2.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_ страница Используемая литература http://sci-lib.com/mathematics http://eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/a ux-integrals.htm

Спасибо за Спасибо за внимание!!! внимание!!!