Презентация по подготовке к ОГЭ по математике.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ  ИТОГОВАЯ  АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА  9  КЛАСС МОДУЛЬ  ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники  Специфика параллелограммов  Специфика трапеций Учитель математики  МБОУ «Приуральская СОШ» Базарбаева Ольга Серикпаевна

d1 d2 α O Площадь выпуклого четырёхугольника равна  половине произведения его диагоналей на синус угла  между ними:   S  1 2 d d 1 2 sin 

d1 S2 α d2 O S1 S3 S4 Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части  так, что произведения площадей треугольников,  прилегающих к противоположным сторонам  четырёхугольника, равны:    S S S S 1 4 3 2 Обоснование: найти площадь каждого из образованных  четырёх      треугольников по формуле  диагоналями  ab  sin  Затем сложить эти площади  (свойство 1) или перемножить  (свойство 2). S 1 2

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются  вершинами параллелограмма, площадь которого равна  половине площади данного четырёхугольника.

Специфика параллелограмма B s A s o s s C D 1. Диагонали параллелограмма делят его на две пары  равных треугольников; площади всех этих треугольников  равны между собой.

Специфика параллелограмма B b A a d1 d2 o a C b D 2. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей  равна  сумме квадратов всех его cторон:      +  d2 d1 2    2  = 2(a2 +b2)

Специфика параллелограмма B C A D 3.   Биссектрисы углов, прилежащих к любой из  сторон параллелограмма, перпендикулярны.

Специфика параллелограмма B A C D 4.При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается равнобедренный треугольник.

B C Специфика параллелограмма A D 1. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является  ромбом. 2. Параллелограмм, диагонали которого взаимно  перпендикулярны, является ромбом.  3.  Параллелограмм, диагонали которого являются  биссектрисами его углов, является ромбом.

B C Специфика параллелограмма 4. Параллелограмм, имеющий  равные высоты, является ромбом. A B A B A D C D C D 5.  Параллелограмм, диагонали  которого равны, является  прямоугольником. 6. Параллелограмм, диагонали  которого взаимно перпендикулярны и  равны, является квадратом.

Специфика трапеций B s C s s1 o s2 A D 1. Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют  четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции. OAD~ OCB (по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2,     где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.

Специфика трапеций B s C s s1 o s2 A D 2.   SBAD  = SCAD, SABC = SDBC  (как площади треугольников,  имеющих  cоответственно одинаковые основания и  высоты). 3. SOAB  = SOCD  (т.к. SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD). 4. SBAD : SDBC  = AD : BC  (SBAD = 0,5∙AD∙h,  SDBC = 0,5∙BC∙h).

Специфика трапеций B s C s s1 o s2 A D 5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что  произведение площадей тех из них, которые прилежат к  основаниям, равно квадрату площади треугольника,  прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S1S2 = S2.  ,    Sα (SOAD =S1=0,5∙OB∙OC∙sin  OCB = S2 =0,5∙OA∙OD∙sin  α , α  SOAB =S=0,5∙OA∙OB∙sin(180° –  )=0,5∙OA∙OB∙sin   α α , тогда S   SOCD =S=0,5∙OC∙OD∙sin(180° –  )=0,5∙OA∙OB∙sin ,α 1S2 = S2).

B C A B A D D C o Специфика трапеций 6.   Биссектрисы углов, прилежащих к  боковым сторонам трапеции,  перпендикулярны (следует из того факта, что сумма  этих углов равна 180° как сумма  односторонних  углов при  параллельных прямых и секущей). 7.  Точка пересечения диагоналей,  точка пересечения продолжений  боковых сторон, середина верхнего и  середина нижнего основания – лежат  на одной прямой.

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые)  дополнительные построения в задачах на  C трапецию. D B A Построение 1  Через вершину меньшего основания трапеции провести  прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со  вторым основанием; трапеция разбивается на  параллелограмм и треугольник.

B C Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые)  дополнительные построения в задачах на  трапецию A D E Построение 2  Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD  провести прямую CE, параллельную диагонали BD, до  пересечения с AD в точке E; получится треугольник ACE, две  стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина  третьей равна сумме длин оснований трапеции  AE = AD + DE.  При этом площадь трапеции ABCD  равна площади  образованного треугольника ACE:  SABCD = SACE

B C Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые)  дополнительные построения в задачах на  трапецию A H1 H2 D  Построение 3  Из вершин меньшего основания трапеции  опустить две высоты BH1 и CH2. P B C Построение 4  Достроить трапецию ABCD до  треугольника APD,  вершина Р которого  образуется при пересечении  продолжений боковых сторон трапеции. A D

Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с  диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины  противоположных сторон равны.

K A B O D H P C  Решение. T 1. Точки K, Р, Т, Н середины сторон  четырёхугольника  ABCD.  Отрезки АС и ВD – диагонали  четырёхугольника  ABCD. 2.   По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ  параллельны  диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР  и НТ параллельны  диагонали АС и равны её половине.  Значит, КРТН – параллелограмм.  3. По условию КТ = РН; значит, параллелограмм  КРТН –  прямоугольник, угол  КРТ – прямой; следовательно, угол  между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит,      SABCD = 0,5∙ ВD∙ АС = 0,5 ∙ 3 ∙ 4 = 6. Ответ:   6.

Задача №2. (ФИПИ 2014г.) На стороне ВC параллелограмма ABCD  выбрана точка К.  Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь  параллелограмма ABCD равна 24, а площадь  четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь  треугольника АРD. B A K C P D

1. AВD = CDB (по трём равным  сторонам).  Решение. B K C P SAВD  = SCDB = 0,5∙SAВCD = =0,5∙24=12;        SКРB = SCDB – SPKCD = 12 – 10 = 2 A 2. APD~ KPB (по двум равным углам);  SAРD  : SKPB = k2;  AP=k∙PK, DP=k∙PB D 3. AВP и ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит,  отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е.  SAВP  : SKPB  = АP : PK = k (из п.2) 4. APD и ABP имеют общую высоту из вершины A, значит,  отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е.  SAP D : SAВP  = DP : PB = k (из п.2)

B A K C P 5. Из п.3 и п.1  SAВP  = k∙SKPB  = 2k D 6. Из п.4 и п.5  SAPD  = k∙SABP  = k∙2k  = 2k2  7. SABD = SAВP + SAPD = 2k + 2k2 .        Из п.1 следует 2k + 2k2 = 12.       Корни уравнения   k2 + k – 6 = 0     числа –3 и 2;       по смыслу задачи k = 2. 8. SAPD = 2k2 = 2∙22  = 8. Ответ:   8.

Задача №3. (МИОО 2013г.) Диагонали  AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке  О. Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно  16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции. B s C s s1 o s2 A D

B s C s s1 o s2 Решение. 1.По условию SOAD  не равна SOCB ,  значит, AD и BC – основания  трапеции ABCD. A 2.     OAD~ OCB (по двум равным углам),   SOAD  : SOCB = k2  D =16:9, где k = 4:3 = OA:OC. 3. AВО и СВО имеют общую высоту из вершины В, значит,  отношение их площадей равно отношению их оснований,  т.е.  SAВО  : SCВО  = ОА : ОC = 4:3 (из п.2).        Следовательно,                                       SAВО =  4 3 CBOS  4 3   9 12.

B s C s s1 o s2 A D 4.  SBAD  = SCAD , т. к.   эти треугольники имеют общее  основание AD и их высоты, проведённые к этому  основанию, равны как высоты трапеции. Значит, SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD , т. е. SOCD = SOAB = 12. 5.  SAВCD = SOAD + SOCB  + SOCD + SOAB =16 + 9 + 12 +12 = 49 cм2. Ответ: 49 cм2.

Задача №4. (МИОО 2010г.) Прямая,  параллельная  основаниям  MP  и NK  трапеции   MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей  трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках  A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если  MP=40 см, NK=24 см. N A K B o M P

N A K o Решение. B ∠ ∠ 1. ΔMOP~ΔKON по двум углам: а)  NOK= MOP   б)  PMO= NKO   как вертикальные как  внутренние   P ∠ ∠ M накрест лежащие углы при NK параллельной MP  и  секущей MK. NO KO NK PO MO MP 24 40 MO ; KO NO 3 5 3 5 ;  PO  3 5     2. Δ AMO~Δ NMK по двум углам:  а) б)  ∠ =  MNK   MAO  М∠   общий;  ∠ NK и секущей MN.    AO MO NK MK MO KO MO   как соответственные при AO параллельной  MO 3  5 MO MO  5 MO 8 MO  5 8 ; AO  5 8  NKсм 15

K B o N A M 3.  Аналогично  4.  AB = 30 см.  P BO  3 5  NKсм 15 Ответ: 30 см.

Задача №5. (МИОО 2013г.) В трапеции ABCD  AD BCP , ( AD BC ) на диагонали BD выбрана  точка Е так, что CE ABP . Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь       треугольника АBЕ. B C E A F D

B C E A F D Решение.       1.  Пусть точка F – точка  пересечения прямых CE и AD.  Тогда  ABCF – параллелограмм (по определению  параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма  делит его на два равных треугольника; SFCB = 0,5∙SABCF

B C E A F D 2. SDCB = SFCB  (как площади треугольников, имеющих общее  основание и одинаковую высоту – высоту трапеции).  Значит,  SDCB = SFCB = 0,5∙SABCF = 15.  3. AВE и параллелограмм  ABCF имеют одно и то же  основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит,   SАВЕ = 0,5∙SABCF = SDCB = 15.  Ответ: 15.

В равнобедренной  трапеции ABCD боковые стороны равны  Задача № 6 (МИОО 2013г.) меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE.  Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь  трапеции ABCD равна 36. N B M C H E A D

N B M C H E A D Решение. свойству  трапеции   равнобедренной   AC=BD,  По  следовательно,  треугольники   ABC  и  DCB   равны.  Так    как  AB=BC=CD,   треугольники      ABC  и  DCB   равнобедренные,  следовательно,   BH и CE  –  соответствующие  медианы  этих  треугольников. Значит,  AH=HC=BE=ED. Отрезок  HE  соединяет  середины  диагоналей  трапеции,  cледовательно,   прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому,  BCEH – трапеция.

N B M C H E A Площадь трапеции  ABCD:  D S   1 8 1 2 HM BC HE  (  ) 1 1   2 2 AN BC  AD BC    2  AN AD BC  (  ) 1  4 S 1  9 Ответ: 9.     

B K C Задача № 7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок,  соединяющий середины оснований 2.  Найдите площадь трапеции. A L M D F Решение.    1. Дополнительное построение: СМ параллельна  KL, CF параллельна BD.  2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы;  LM = KC = 0,5∙BC,  DF= BC,   AM = AL+LM = 0,5∙ AD + 0,5∙BC.  3.  CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы 2  1 2 2  AC 2   2 CF 2  AF 2 1  2 68  AF AF , 2  2 13.

B K C A L M D F Полупериметр треугольника ACF равен   4 По формуле Герона ACFS 5)( p 2 13) 13)(1  p p 3 ( (4  p       13.  13)( 13 1)(4   13)  6. 4. Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF. Тогда SABCD = 0,5∙(AD+BC)∙h = 0,5∙(AD+DF)∙h = 0,5∙AF∙h = SACF=6. Ответ: 6.

решения 1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с  диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины  противоположных сторон равны. Ответ: 20.  2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка,  соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному  метру. Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину  отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ. • Задачи для самостоятельного  Ответ: 1 метр. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD  выбрана точка К.  Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь  параллелограмма ABCD равна 80, а площадь  четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь  треугольника АРD. Ответ: 25.

• Задачи для самостоятельного  решения 4. Диагонали  AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке  О. Площади треугольников АOD и ВOC равны  соответственно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции. Ответ: 81 см2.  5. Прямая,  параллельная  основаниям BC  и AD  трапеции  ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей  трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках  Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , если AD= =12 см, ВC=24 см.       Ответ: 16 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельна BC, AD > BC) на  диагонали AC выбрана  точка Е так, что ВЕ параллельна CD.  Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь  треугольника DЕC. Ответ: 10.

• Использованные источники         А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в задачах».                                                                                            Учебное  пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. –  Москва, НТЦ  «Университетский» УНИВЕР­ПРЕСС, 2008.    И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс.  Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013.   Образовательный портал для подготовки к экзаменам       РЕШУ ЕГЭ    http://pedsovet.su/load/321    http://www.mathvaz.ru/    http://alexlarin.net/