Презентация по теме "Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений" (10-11 класс)

Нестандартные  методы решения  тригонометрических  уравнений

«Уравнение – это золотой  ключ, открывающий все  математические сезамы» (С. Коваль)

Проверочная работа. Вариант 2. Вариант 1. 1. Каково  будет  решение   уравнения  cos x = a  при  ? а ? > 1 2. При каком значении а уравнение cos x = a  имеет  решение? 1. Каково  будет  решение   уравнения  sin x = a  при  ? а ? > 1 2. При  каком  значении  а   уравнение  sin x = a   имеет решение? 3. Какой  формулой   выражается  это  решение? 4. На  какой  оси откладывается значение  а  при  решении уравнения  sin x = a ? 3. Какой  формулой   выражается  это  решение? 4. На  какой  оси откладывается значение  а  при  решении уравнения  cos x = a ?

Проверочная работа. Вариант 2. Вариант 1. 5. В  каком  промежутке     находится  arccos a ?  5. В  каком  промежутке     находится  arcsin a ? 6. В  каком  промежутке      находится  значение  а? 6.  В  каком  промежутке      находится  значение  а? 7. Каким  будет  решение      уравнения   cos x = 1?  7.  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = 1?  8.  Каким  будет  решение      уравнения   cos x = ­1? 8.  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = ­1?

Проверочная работа. Вариант 2. Вариант 1. 9.  Каким  будет  решение      уравнения   cos x = 0? 9.  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = 0? 10. Чему  равняется           arccos ( ­ a)? 10.  Чему  равняется           arcsin ( ­ a)? 11. В  каком  промежутке       находится  arctg a? 11. В  каком  промежутке       находится  arcctg a? 12.  Какой  формулой          выражается  решение        уравнения  tg x = а? 12.  Какой  формулой          выражается  решение        уравнения  сtg x = а?

 Znn   ,2  х   № Вариант 1. 1. Нет  решения 2. 1а 3. arccos a 4. На  оси  Ох 5. 6. 7. 8. Zn   9. , n 10.            −arccos α 2/ 11.  , n 12.    ;0  1  ;1 х  ,2 п x x  ,2 n    2/ π   ;2/   arctg   a Zn   x Zn  Zn  Вариант 2. Нет  решения x a    /2 arcsin 1а   n  1 На  оси  Оу    ;2/   1  ;1     х 22/ k     х ,22/ k х  ,k Zk   arcsin   ;0   arcctg x  k   a a    , Zkk  Zk , Zk  , Zk 

Установите соответствие: 1 2 3 4 5 6 7 sin x = 0  cos x = ­1  sin x = 1  cos x = 1  tg x = 1  sin x = ­ 1  cos x = 0   2   k 2 k    ,  Z 2 k    , k Z  2   k    , k  Z    , Zk     , k k Z   2   k 2 2 k  k    ,  Z  4   k k    ,  Z

Какие виды тригонометрических  уравнений  вам известны и какие методы используют при их решении? π 1. sin2x+2cos 2x=1.   2. 2cos 2x−7cos( /π 2+x)+2=0  3. Sin 2x= sin( /2 + х)  4. cos2x=1­ cos ( /2 ­ х)  π 5. cos x =х2 ­2х+2 6. 7. 2 Cos² x +21 Sin x – 3=0 = ­sin2  ( xπ 2 /25)

Тригонометрические уравнения Алгебраические  уравнения,  решаемые  методом замены  переменной ­2,7 Однородные уравнения,  решаемые по  специальному  алгоритму­1 Уравнения,  решаемые разложением на множители­ 3,4

Для решения задач повышенной сложности в алгебре  используются нестандартные методы решения. Один  из таких методов – метод МАЖОРАНТ.  Метод МАЖОРАНТ часто называют методом  математической оценки или методом «mini­max». Очень удобно применять метод МАЖОРАНТ при  решении нестандартных уравнений, в левой и правой  частях которых, находятся функции, имеющие  различную природу.

Термин «мажоранта» происходит  от французского слова «majorante», от  «majorer» — объявлять большим. Мажорантой функции f(х) на  множестве Р называется такое число  М, что либо f(х) ≤ М для всех   х є Р,  либо f(х) ≥ М для всех х є Р.  Многие известные нам функции  имеют мажоранты.

Функции, имеющие мажоранты Тригонометрические функции Пример 1: f(x)= sin x. -1 ≤ sin x ≤ 1. М = –1, М =1 Пример 2: f(x)= cos x -1 ≤ cos x ≤ 1. М = –1, М= 1

Функции, имеющие мажоранты Квадратичные функции Пример 3:   f(x)= ах2 + bx + с (m, n) – координаты вершины параболы n= f(m).  Мажоранта квадратичной функции  ­ ордината вершины М = n. М = (4ас–b2) / 4а.

2. Метод мажорант Пусть мы имеем уравнение                                и существует  такое число М, что для любого Х  из области определения функций    f(x) и g(x)                                  Имеем:                                                                                               Тогда уравнение                                    эквивалентно системе

Найдите область значения данных функций,  для каждой назовите мажоранту: • E(y)=[ -8; 8 ] • E(y)=[8; +∞) • E(y)=[ -1;1] • E(y)=(-∞;4] • E(y)=[4;5] • У=8sin х • У=х2 -10х+33 • У=-cos(7πх) • У= • У=4+Cos2 ( )

Решить уравнение             - cos(7πх)=х2 -6х+10                                                                 Решение   Проанализируем правую часть уравнения.  Рассмотрим  квадратичную                                функцию у=х2 -6х+10,  графиком которой будет являться парабола, ветви  которой направлены вверх. Найдём координаты вершины. Координаты вершины  параболы     (3;1). Значения этой квадратичной  функции больше или равны 1,  причём   значение 1 функция принимает только один раз: при х=3. -1≤-cos(7πх)≤1. Значения левой части данного уравнения не превосходят 1. Равенство между значениями  данных функций может достигаться только  тогда,       когда обе части уравнения принимают значение  1.  Следовательно, данное уравнение равносильно системе:  cos  2 6    7 x 1  x 10 1  x      cos  2 6    7 x 1  x 09  x    Решив второе уравнение системы, получим   х=3.          Проверяем, является ли число 3 корнем первого уравнения системы: -cos21π=1 1=1,            равенство верное.  Значит, значение 3 является решением исходного уравнения.                      Ответ: 3.

Решить уравнение: Y 8 -8 5 X Вершина параболы, стоящей  в правой части уравнения  имеет координаты х=5, у=8  Область значений  выражения,  стоящего в левой части  уравнения [­8;8].  8 5sin8  15sin У графиков данных функций нет общих точек Ответ:   нет  решений

Пример: Оценим левую и правую части уравнения: Равенство будет выполняться, если обе части = 4.

Решим первое уравнение системы: Проверим, является ли найденное число корнем  второго уравнения системы:  Ответ:

Решите самостоятельно: Решить уравнения: а) Cos x = 1+ x² б) (√2 Sin x +1)(2 Sin x – 3) = 0 Найти все корни уравнения, удовлетворяющих условию tgx< 0 Решить уравнения: а) Sin x = 1+x² б)(√2 Cos x -1)(2 Cos x+ 1)= 0 Найти все корни уравнения, Удовлетворяющие условию Sin x < 0

Задания к следующему занятию π π 1. Решить уравнение: sin2x+2cos 2x=1. (Источник: ege.yandex.ru›) 2. Решить уравнение2cos 2x−7cos( /2+x)+2=0. Найдите корни этого  уравнения,  принадлежащие промежутку [0;11 /6). (Источник:  ege.yandex.ru›) 3. Решить уравнение, sin 2x= sin( /2 + х) , найти корни уравнения принадлежащие промежутку: [-7π/2; -5π/2]: (Источник: ege .yandex.ru›) 4.Решить уравнение, любое из предложенных, на выбор,  используя метод мажорант :                                            ;                                               ; , π

Самым сложным на занятии было …. Самым интересным при работе  для меня  было … Самым неожиданным для меня было …

Давайте вернемся к эпиграфу нашего    занятия: «Уравнение­это золотой ключ,  открывающий все математические сезамы».  Мне хотелось бы вам пожелать , чтобы  каждый из вас нашел в жизни свой золотой  ключик, с помощью которого перед вами  открывались любые двери.