В данной презентации приведены основные определения, а также формулы по которым производится решение показательных и логарифмических неравенств в зависимости от знака неравенства. И по одному и по второму виду неравенств рассмотрены различные способы решения. Одним из таких, например, является метод введения новой переменной.
Показательные и
логарифмические
неравенства
1. Показательные неравенства
1.1. Решение простейших показательных неравенств
Простейшими показательными неравенствами
называются неравенства вида
x
a
x
,
ab
,
ab
x
x
,
ab
b
,
где
a
,0
a
1
Рассмотрим решение неравенства
Рассмотрим решение неравенства
Решение:
a x
aa
)
1)
b
ac
)
,
b
b
,1
a
,0
b
,0
a
a
,0
где
(log
b
;
x
0
a
b
x
(
0
Rx
0
1
)
log;
a
b
)
Рассмотрим решение неравенства
a x
,
b
где
a
,0
a
1
Решение:
aa
)
b
1)
ac
)
,1
b
a
,0
,0
b
0
b
0
x
0
x
(
x
a
log;
(log
a
b
b
;
)
)
1.2. Решение показательных неравенств вида
xf
)(
)(
xf
a
a
a
a
xg
,)(
,)(
xg
где
где
a
a
,0
,0
a
a
1
1
Рассмотрим решение неравенства
Решение:
Решение:
xg
,)(
)(
xf
a
aa
)
b
1)
a
,1
a
,0
a
a
где
)(
xg
)(
xf
)(
xf
,0
1
)(
xg
Рассмотрим решение неравенства
xg
,)(
)(
xf
a
)
aa
1)
b
a
,1
a
,0
a
a
где
)(
)(
xg
xf
)(
,0
xf
1
)(
xg
1.3. Решение показательных неравенств
с помощью замены переменных
1.4. Решение сложных показательных неравенств
Сложными показательными неравенствами
называются неравенства вида
xf
)(
)(
xf
g
2
)(
x
)(
xg
1
Рассмотрим решение неравенства
xf
)(
)(
xg
1
xf
)(
g
2
)(
x
Решение:
1)(
xf
)(
xg
xg
)(
1
2
1)(
0
xf
xg
xg
)(
)(
2
1
()1)(
(
xf
)(
xf
0
)(
xg
1
(
xg
2
))
0
Рассмотрим решение неравенства
)(
xf
xg
)(
1
xf
)(
g
2
)(
x
Решение:
xf
1)(
)(
xg
)(
xg
1
2
1)(
0
xf
)(
)(
xg
xg
2
1
xf
()1)(
(
)(
xf
0
)(
xg
1
(
xg
2
))
0
Рассмотрим решение неравенства
)(
xf
xg
)(
1
xf
)(
g
2
)(
x
Решение:
xf
1)(
)(
xg
)(
xg
1
2
1)(
0
xf
)(
)(
xg
xg
2
1
()1)(
xf
(
xf
0)(
)(
xg
1
(
xg
2
))
0
Рассмотрим решение неравенства
xf
)(
xg
)(
1
)(
xf
g
2
)(
x
Решение:
xf
1)(
)(
xg
)(
xg
1
2
1)(
0
xf
xg
xg
)(
)(
2
1
(
()1)(
xf
)(
xf
0
xg
)(
1
xg
(
2
))
0
2. Логарифмические неравенства
2.1. Решение простейших логарифмических
неравенств
Простейшими логарифмическими неравенствами
называются неравенства вида
x
log
,
b
log
a
,
b
log
a
x
b
x
a
где
a
b
log
,
a
,0
x
a
1
Рассмотрим решение неравенства
Рассмотрим решение неравенства
log
b
,
где
a
,0
a
1
Решение:
xa
,1
a
aa
)
1)
b
x
,0
b
(
a
;
x
)
;0(
a
b
)
Рассмотрим решение неравенства
log
xa
b
,
где
a
,0
a
1
Решение:
aa
)
1)
b
,1
a
x
,0
b
;0(
a
(
x
)
a
b
)
;
2.2. Решение логарифмических неравенств вида
log
1
xf
)(
где
xg
(
),
,0
a
a
a
log
a
Рассмотрим решение неравенства
1
log
)(
xf
xg
(
где
log
,0
),
a
a
a
a
Решение:
aa
)
,1
b
1)
a
,0
)(
xg
)(
xf
0)(
xg
xf
)(
0)(
xf
)(
xg
Рассмотрим решение неравенства
1
log
)(
xf
где
,0
),
a
a
a
Решение:
aa
)
,1
xg
)(
log
(
xg
a
)(
xf
0)(
xf
xf
)(
0)(
xg
b
1)
a
,0
)(
xg
2.3. Решение логарифмических неравенств
с помощью замены переменных
2.4. Решение сложных логарифмических неравенств
Сложными логарифмическими неравенствами
называются неравенства вида
log
xg
)(
1
log
xf
)(
xg
)(
2
)(
xf
Рассмотрим решение неравенства
)(
xg
log
xg
)(
1
log
)(
xf
)(
xf
2
Решение:
1)(
xf
)(
xg
)(
xg
2
1
xg
0
)(
1
0
xf
1)(
xg
)(
)(
xg
1
2
xg
0
)(
2
Рассмотрим решение неравенства
log
)(
xf
xg
)(
1
log
)(
xf
xg
)(
2
Решение:
1)(
xf
)(
xg
)(
xg
2
1
xg
0
)(
1
0
xf
1)(
xg
)(
)(
xg
1
2
0
xg
)(
2
Рассмотрим решение неравенства
)(
xg
2
xg
)(
1
log
)(
xf
log
)(
xf
Решение:
1)(
xf
)(
)(
xg
xg
2
1
xg
0)(
2
0
xf
1)(
)(
xg
)(
xg
1
2
xg
0)(
1
Рассмотрим решение неравенства
log
)(
xf
)(
xg
1
log
)(
xf
)(
xg
2
Решение:
1)(
xf
)(
xg
)(
xg
2
1
)(
0
xg
2
0
xf
1)(
xg
)(
)(
xg
1
2
)(
0
xg
1
Показательные и логарифмические неравенства.ppt
