Проект по математике Удивительный мир многогранников

Содержание: Введение. Основная часть. 1. Основные понятия. 2. Исторические сведения.   2.1.    Первые упоминания.   2.2.    Платоновы  тела.   2.3.    Формула Эйлера. 3. Изготовление моделей правильных многогранников. Заключение. Список литературы. Приложение № 1 Развертки многогранников 1 2 4 5 5 5 6 7 8   "Правильных   многогранников вызывающе мало, ­ но этот весьма скромный   по   численности   отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". (1, с.172) Л. Кэрролл.  ВВЕДЕНИЕ. Гипотеза: Посмотрите вокруг  ­ как разнообразен наш мир, какие разные предметы нас окружают. И можно заметить, что все это ­ геометрические фигуры и тела. И наши дома, и египетские пирамиды, и кубики, которыми играют дети, и объекты архитектуры и дизайна, и предметы обихода состоят из правильных многогранников. Они встречаются в природе в виде кристаллов, и в виде вирусов. А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, тоже имеют форму правильного многогранника. Существует гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта. Так что же представляют собой эти столь совершенные тела? 1 И возможно ли обойтись без многогранников?  Цель работы:  Изучить     удивительный   мир   многогранников   и   научиться   строить многогранники своими руками. Задачи  работы: 1. Познакомиться с  многогранниками. 2. Изучить   влияние   правильных   многогранников   на   возникновение философских теорий и гипотез. 3. Показать связь геометрии и природы. 4.   Познакомиться   с   примерами   применения   многогранников   в архитектуре и искусстве. 5. Создать собственную коллекцию  многогранников Актуальность  проекта: В течение  многих  веков  математики   проявляли  живейший  интерес   к многогранникам.   Интерес   к   ним   обусловлен   не   только   их   красотой   и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Многогранники окружают нас в повседневной жизни. Участвуя   в   данном   проекте,   попадаешь   в   удивительный   мир многогранников. Узнаешь много нового об их видах и свойствах. Таким   образом,   будут геометрические тела, окружающие нас. А  предметом  исследования станут многогранники.   объектом   нашего   исследования  Методы исследования: 1. теоретический: библиографический анализ литературы и материалов сети Internet; 2. эмпирический: ­ проведение мастер­классов «Сделай многогранник своими руками»  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.  Многогранник   –   это   геометрическое   тело,   ограниченное   со   всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.          Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника.   По   числу   граней   различают   четырёхгранники, пятигранники и т. д.  Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней.  Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные  многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы. 2 рис.1 Оказывается, что  правильных многогранников ровно пять ­ ни больше ни меньше.(рис.1)     Ведь   для   того,   чтобы   получить   какой­нибудь   правильный многогранник,   в   каждой   вершине,   согласно   его   определению,   должно сходиться   одинаковое   количество   граней,   каждая   из   которых   является правильным многоугольником.  Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360о, иначе никакой   многогранной   поверхности   не   получится.   Перебирая   возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360 (к ­ число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника). доказывается, что правильных многогранников ровно пять. Название Внешний вид Описание Правильный  тетраэдр Правильный октаэдр. Правильный  икосаэдр.   Составлен   из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной   трёх   треугольников. Следовательно,   сумма   плоских углов   при   каждой   вершине равна 180º. Составлен   из   восьми равносторонних  треугольников. Каждая   вершина   октаэдра является   вершиной   четырёх треугольников.   Следовательно, сумма   плоских   углов   при каждой вершине 240º. Составлен   из   двадцати равносторонних  треугольников. 3 Куб (гексаэдр)    Правильный додекаэдр Каждая   вершина   икосаэдра является   вершиной   пяти треугольников.   Следовательно, сумма   плоских   углов   при каждой вершине равна 300º. Составлен   из   шести квадратов.   Каждая   вершина куба   является   вершиной   трёх квадратов.   Следовательно, сумма   плоских   углов   при каждой вершине равна 270º Составлен   из   двенадцати правильных   пятиугольников. Каждая   вершина   додекаэдра является   вершиной   трёх правильных   пятиугольников. Следовательно,   сумма   плоских углов   при   каждой   вершине равна 324º. Названия правильных многогранников пришли  из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра» «тетра» «гекса» «окта» «икоса» «додека» грань 4 6 8 20 12  ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.  Первые упоминания. Правильные   многогранники   известны   с   древнейших   времён.   Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. 4 В   костях,   которыми   люди   играли   на   заре   цивилизации,   уже   угадываются формы правильных многогранников. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей   эры   в   Египте   и   Вавилоне.   Достаточно   вспомнить   знаменитые египетские   пирамиды   и   самую  известную   из   них   –  пирамиду   Хеопса.   Это правильная   пирамида,   в   основании   которой   квадрат   со   стороной   233   м   и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками   (начиная   с   VII   до   н.э.)   Некоторые   источники   (такие   как   Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему   были   знакомы   только   тетраэдр,   куб   и   додекаэдр,   а   честь   открытия октаэдра   и   икосаэдра   принадлежит   Теэтету   Афинскому,   современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять. Платоновы  тела. Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю,  воздух, воду  и  огонь)  определённому  правильному  многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь —   тетраэдру.   Для   возникновения   данных   ассоциаций   были   следующие причины:  ­ жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);  ­   воздух   состоит   из   октаэдров:   его   мельчайшие   компоненты   настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать;  ­ вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры);  ­   в   противоположность   воде,   совершенно   непохожие   на   шар   кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.  По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание:  «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»(1, с112) Формула Эйлера  Была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:  1.­ Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002. В + Г = Р + 2. 5 Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783), поэтому формула названа его именем: формула Эйлера. Этот гениальный учёный, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником.  Самое   удивительное   в   этой   формуле,   что   она   верна   не   только   для правильных многогранников, но и для всех многогранников! Правильный многогранник Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр граней 4 6 8 12 20 Число вершин 4 8 6 20 12 Число Правильный многогранник граней и вершин Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр  (Г + В) 4 + 4 = 8 6 + 8 = 14 8 + 6 = 14 12 + 20 = 32 20 + 12 = 32 рёбер 6 12 12 30 30 рёбер (Р) 6 12 12 30 30  ИЗГОТОВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ. Однажды   обычный   английский   мальчик   Джеймс,   увлёкшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «Я сделал тетраэдр,   додекаэдр   и   ещё   два   эдра,   для   которых   не   знаю   правильного названия».    Эти   слова   знаменовали   рождение   в   пока   не   примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла.  Думается, что многих увлечёт изготовление моделей геометрических тел. 6 Раздел геометрии о фигурах в пространстве называется стереометрия. Существует   мнение:   изучение   стереометрии   затруднено   тем,   что   многим людям мешает недостаточно развитое пространственное воображение. На   самом   деле,   это   не   совсем   так,   и   способность   представлять пространственные тела, мысленно перемещать их и трансформировать развита практически   у   любого   человека,   поскольку   живет   он   в   трехмерном пространстве. Другое дело, что это пространственное воображение далеко не всем удается применить при изучении стереометрии, иными словами,   перенести   свой   житейский   «пространственный»   опыт   в   учебный   процесс. Отчасти это вызвано тем, что стереометрические изображения выполняются на плоской поверхности листа бумаги или доски.  Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть   её   на   плоскости,   то   получится   фигура,   которую   называют развёрткой многогранника. Изучая   развертки   и   склеивая   из   них   модели   многогранников,   у   Вас появятся навыки преобразования плоских форм в объемные. Затем   развивается   еще   более   тонкая   способность   –   раскладывать объемные формы на простые плоские. То есть, увидев предмет в реальном мире, Вы можете создать его развертку из бумаги, и, склеив, получить модель­ копию любого объемного предмета. Какой еще смысл в бумажном моделировании? И   действительно,   зачем?   В   век   компьютерных   технологий,   когда   все выводится   на   экран,   и   достаточно   прикоснуться   одним   пальцем,   чтобы управлять   сложнейшей   техникой.   Но   вот   «бумажные   технологии» человечеству исключить не удалось. Напротив, они очень прочно заняли место в современном мире, в качестве упаковочных материалов. Причем, мы так часто сталкиваемся с бумажными развёртками, что просто не замечаем этого.  ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Итак, многогранники присутствуют в нашей жизни буквально во всём, и мы   настолько   к   ним   привыкли,   что   порой   не   замечаем   этого.   Благодаря многогранникам, обнаруживаемым и в жизни, и в искусстве, и в архитектуре, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии и красоты. Исследовательская   работа   была    я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена   учёных,   художников,   которые   посвятили   этому   миру   свои   труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе, окружающей нас.   интересной   и   разнообразной, 7 В   рамках   работы     была   изучена   литература   по   теме,   выявлены особенности     многогранников,   изготовлены   чертежи,   развёртки,     модели многогранников.   Цель  работы достигнута.  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002. 2. Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М: Издательство  АСТ, 1999. 3. Ворошилов А.В. Математика и искусство. ­ М. просвещение, 1992. – 352 4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. ­ М.: Изд­во МГУ, 1994. ­  495   http://www.nips.riss­telecom.ru/poly/   Мир многогранников http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm  История математики http://mschool.kubsu.ru/  8