Назначение данной тетради - помочь ученику обобщить и систематизировать знания, связанные с определением и свойствами модуля, а так же с различными методами решения уравнений с модулем.
Необходимость рассмотрения данной темы обусловлена тем, что задания с модулем нередко вызывают затруднения у обучающихся. Кроме того, задания подобного типа регулярно встречаются в материалах ЕГЭ как в базовой части, так и в заданиях повышенного и высокого уровня сложности
Ермакова Т.Л.-рабочая тетрадь.doc
АЛГЕБРА
Обучающие и проверочные задания по решению
уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
ТЕТРАДЬ
ученика ___ «__» класса
_____________________
_____________________
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
1 СОДЕРЖАНИЕ
Модуль числа. Определение, основные свойства …………………………..3
Самостоятельная работа № 1………………………………………………….5
Решение уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля……………………………………………………………..6
Самостоятельная работа № 2………………………………….......................11
Итоговый тест………………………………………………………………...12
Ответы………………………………………………………………………....13
Заключение……………………………………………………………………14
Литература…………………………………………………………………….15
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
2 Модуль числа
Определение, основные свойства
Определение: Модулем числа называется само это число, если оно
неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно
отрицательное.
|
a
|
;
o
aa
,
,0
0
a
,
aa
o
.
Основные свойства модуля
a
o
a
a
ab
ba
a
b
,
a
b
b
o
ba
a
b
ba
abba
,
0
ba
a
abb
,
0
a
a
baba
b
,
,
0
b
,0
2
a
2
b
0
1
Примеры:
1.Раскройте модуль
2
Решение: так как разность
1
2
Ответ:
2. Раскройте модуль
12
12
25
1
2
< 0, то по определению модуля, получаем
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
3 Решение: так как разность
25
0
, то по определению модуля получаем
, при
03 x
2)3
, будем иметь:
a
(
x
2
)3
x
3
03 x
, получаем
(
x
2
)3
x
3
.
2)524(
a 2
… 0, то по определению модуля получим:
, будем иметь:________________________
a
(
25
25
x
a 2
25
Ответ:
3. Упростите выражение:
Решение: учитывая, что
Раскрывая знак модуля при условии
Ответ:
4. Упростите выражение:
Решение: учитывая, что
Так как разность
524
Ответ:___________________________
. Таким образом,
_______
524
)3
3
x
x
(
2
2
a 2
)324(
5. Найдите значение выражения
Решение: учитывая, что
a
324
Так как разность
получим:
324
)324(
__________
….0,
,
__________
)323(
)323(
_______
2
2
2
Ответ:
)324(
2
)323(
2
1
)524(
2
_________
)323(
2
2
)324(
, будем иметь
__________
_____
….0, то по определению модуля
323
_______
. Таким образом,
323
__________
_____
.
Самостоятельная работа № 1
1. Упростите выражение
( x
2)5
2. Упростите выражение
2)35(
3.Найдите значение выражения
4. Найдите значение выражения
2(
при
05 x
2
)7
7
2
6(
)42
2
7(
2
)42
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
4 Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля
I тип уравнений
Если а < 0 – корней нет.
,
Если
a
xf
)(
xf
)(
a
0a
–
xf
)(
a
Пример:
Решите уравнение
x
2
4
3
Решение:
o
2
x
)(
xf
,4
,5,3
,34
2
, откуда
5,0
4
3
2
Ответ:
5,0;5,3
3
x
x
x
x
a
II тип уравнений
xf
)(
)(
xg
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
5
xg
,
o
)(
)(
)(
xf
xg
)(
xf
)(
xg
Пример:
Решите уравнение
x
4
5
x
2
Решение: решение уравнения сводится решению системы
x
4
x
x
,
o
2
5
x
4
5
42
,2
x
5,0x
x
,
1
3
2
2x
тип уравнений
не удовлетворяет условию
x
5,0
1
3
x
6,0
6,0x
Ответ:
III
Решение уравнений данного типа сводится
к решению совокупности уравнений
Пример:
Решите уравнение
Решение:
35
,4
x
x
5
4
x
Ответ:
25,0;5,4
,54
54
3
3
x
x
(
),
xg
)(
)(
xf
xf
)(
3
5
x
xg
)(
xf
)(
xg
x
x
x
x
3
4
x
x
,5,4
25,0
IV тип уравнений
)(
xf
)(
xg
Уравнение данного вида равносильно системе
Пример:
Решите уравнение:
2
x
4
2
x
x
2
)(
xf
xg
)(
,0
.0
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
6
4
,0
x
2
,0
,2
,1
x
x
2
2
x
x
2.
x
2
x
Решение:
Ответ: 2
V тип уравнений
)(
xf
1
f
2
)(
x
...
f
k
)(
x
)(
xg
Алгоритм решения:
найдем нули всех подмодульных выражений;
отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;
на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражени и
раскроем модули по определению;
составим и решим совокупность смешанных систем.
Пример:
Решите уравнение:
x
3
2
x
1
4
Решение: 1) Найдем нули подмодульных выражений:
x
x
01
1
3
3
x0
x
2) На каждом из полученных интервалов определим знак подмодульного
выражения:
х3
х+1
х<1
1≤х<3
+
х≥3
+
+
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
7
3) Составим и решим совокупность систем
Ответ: 1.
x
,1
3
2
,42
x
x
,3
1
x
x
2
x
3
2
,4
,3
x
x
23
2
,4
x
,1
x
x
,1
1
x
,1
x
x
,3
5
3
x
,
,3
x
.1
(
xf
1 способ. Уравнение вида
,0
x
xf
)(
x
,0
(
f
x
)
a
,
a
VI тип уравнений
xf
(
)
a
равносильно совокупности систем
)
a
2 способ. Воспользуемся четностью функции
функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а –
корень, х = а тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить
. Нули этой
xg
)(
xf
a
)
(
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
8 лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные
найденным корням.
Пример:
Решите уравнение
2
x
x
0
6
Решение: составим и решим совокупность двух систем:
,0
x
6
,0
x
6
2
2
x
x
x
x
,0
,0
x
x
x
x
,0
,3
,0
,2
x
2
2
,2
x
x
3
x
Ответ: 2;2
Пример:
Решите уравнение
Решение: воспользовавшись четностью функции, будем иметь:
3 2
x
0
5
x
2
,0
x
3
2
x
2
,0
5
x
2
x
.
2
,
x
x
x
,0
1
3
Добавим в ответ число, противоположные найденному корню.
Ответ: 2;2.
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
9
0
4
2
x
x
1
,0
x
,0
2
x
x
,3
x
2
.3
,0
.........
.......,
1
x
........
1
x
...
x
x
...
x
...
...,
...
...,
...
...,
...
x
...,
...
...
,0
...
...
...
,0
Разберем ряд примеров:
Пример 1. Решите уравнение:
2
x
|4
x
01|
Решение: воспользуемся вторым способом:
Оба найденных значения меньше нуля.
Ответ: корней нет.
Пример 2. Решите уравнение
x
3
1
x
5
Решение: уравнение равносильно смешанной системе:
Ответ: 1
Пример 3
Решите уравнение:
2
x
6
x
x
3
Решение: уравнение равносильно системе
,3
x
x
,3
x
,3
x
,1
x
,3 x
1
Ответ: 3; 1; 3.
Пример 4
Решите уравнение
x
2
3
x
1
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
10 2
o
,
x
x
x
x
...
0x
3
Решение:
условия
...,
находим корни
0
x
x
...,
x
...
Проверяем выполнение
Решение: уравнение равносильно совокупности
x
x
...,
3
...,
3
x
x
,4
2
3
.
;4
Ответ:
2
3
Пример 5
Найдите сумму корней уравнения
Решение: уравнение равносильно совокупности двух уравнений
2
2
Таким образом, сумма
, находим корни
x
1
3
...
)2(
x
,2 2
...,
...
3
3
x
x
x
1
1
1
2
x
x
1
3
x
1
2
1
3
1
3
Ответ:
3
Пример 6
Найдите произведение корней уравнения
2
x
3
x
x
, находим произведение корней уравнения.
Ответ: ________
Пример 7
Решите уравнение:
x
2
x
2
1
x
3
2
x
Решение: уравнение равносильно совокупности
Ответ: 2.
x
x
2
2
x
x
.....
1
1
x
2
x
...
,3
...,
x
...,
,0
....
2
x
Самостоятельная работа №2
1. Найдите сумму корней уравнения
2. Найдите сумму корней уравнения
2
x
2
x
4
3
x
2
x
21
x
3. Найдите произведение корней уравнения
4. Найдите произведение корней уравнения
x
3
x
2
3
x
x
2
2
x
5
3
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
11 5. Решите уравнение
2
x
31
x
2
17
6. Решите уравнение
3 2
x
12
x
5
6
x
4
7. Решите уравнение
2
x
5
x
9
x
6
8. Решите уравнение
9. Решите уравнение
x
11
3
x
4
2
x
2
x
3
16
10. Найдите сумму корней уравнения
(
x
3
)1
36
28
Итоговый тест
Вариант 1
Вариант 2
1)
1 x
3
Решите уравнения
x
5
3
2
1)
2)
x
2
3
x
1
2)
x
2
1
x
5
3)
3
x
2
2
3)
x
2
4
4)
2
x
2
x
5)
3
x
x
3
x
x
2
2
2
x
x
x
03
5
x
2
2
x
2
4
x
6)
7)
4)
2
x
4
x
25
3
2
x
4
x
25
3
x
x
5)
6)
7)
3 2
x
4
x
2
xx
0
2
x
25
x
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
12 2
x
4
x
4
2
x
3
x
0
2
5
x
1
x
10
8)
9)
2
x
10
x
25
2
x
9
x
0
20
x
2
5
x
3
8)
9)
Ответы
Самостоятельная работа № 1
1.
x
5
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
13 2.
3
5
3.
72
4. 13
Самостоятельная работа № 2
1. – 3
2. 4
3. 3
4. 0
5. 4,2; 2,6
6. 2; 5
7. 1;3
8. 0; 4
9. 2,8; 3,6
10. 8
Итоговый тест
Вариант 1
4; 2
4
Корней нет
1
1
2; 4
Вариант 2
1; 7/3
4
Корней нет
4; 1+√3
1√3; 2
0
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
14 1/2; 1/2; 2
2
2,8
5/3; 5; 4
5
3
линейных,
Заключение
Назначение данной тетради помочь ученику обобщить и систематизировать
знания, связанные с определением и свойствами модуля, а так же с
различными методами решения уравнений с модулем.
Необходимость рассмотрения данной темы обусловлена тем, что задания с
модулем нередко вызывают затруднения у обучающихся. Кроме того, задания
подобного типа регулярно встречаются в материалах ЕГЭ как в базовой части,
так и в заданиях повышенного и высокого уровня сложности. Вместе с тем,
решение уравнений с модулем является эффективным способом повторения и
закрепления навыков решения других видов уравнений и способов их
решения:
рациональных,
тригонометрических,
А так же,
закрепляется умение решать различные виды неравенств, систем и
совокупностей.
Изложение материала построено по принципу «от простого к сложному». В
начале рассматриваются задания на преобразование выражений, содержащих
модуль, затем простейшие уравнения с модулем, к каждому типу уравнений
предложен алгоритм решения.
Учащемуся самому представляется
возможность поиска решений алогичной задачи в последующем тексте.
Для овладения этими способами и приобретения соответствующего навыка
предлагается ряд задач для самостоятельного решения, ответы на которые
представлены в конце тетради. В завершении дан тест для итогового контроля
уровня знаний по теме.
логарифмических.
показательных,
квадратных,
дробных
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
15 Литература
1.
Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников
и поступающих в вузы. –М.:Дрофа. 1999г. – 382с.
2.
Рязановский А.Р. и др. Математика: Решение задач: Сдаем без проблем.
Москва: Эксмо, 2014.496с.
3. Шахмейстер А.Х. Уравнения. М.: Издательство МЦНМО: «Виктория
плюс», 2011. – 264с.
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
16
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Рабочая тетрадь по алгебре
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
13.05.2017
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
