Назначение данной тетради - помочь ученику обобщить и систематизировать знания, связанные с определением и свойствами модуля, а так же с различными методами решения уравнений с модулем.
Необходимость рассмотрения данной темы обусловлена тем, что задания с модулем нередко вызывают затруднения у обучающихся. Кроме того, задания подобного типа регулярно встречаются в материалах ЕГЭ как в базовой части, так и в заданиях повышенного и высокого уровня сложности
АЛГЕБРА
Обучающие и проверочные задания по решению
уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
ТЕТРАДЬ
ученика ___ «__» класса
_____________________
_____________________
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
1СОДЕРЖАНИЕ
Модуль числа. Определение, основные свойства …………………………..3
Самостоятельная работа № 1………………………………………………….5
Решение уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля……………………………………………………………..6
Самостоятельная работа № 2………………………………….......................11
Итоговый тест………………………………………………………………...12
Ответы………………………………………………………………………....13
Заключение……………………………………………………………………14
Литература…………………………………………………………………….15
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
2Модуль числа
Определение, основные свойства
Определение: Модулем числа называется само это число, если оно
неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно
отрицательное.
|
a
|
;
o
aa
,
,0
0
a
,
aa
o
.
Основные свойства модуля
a
o
a
a
ab
ba
a
b
,
a
b
b
o
ba
a
b
ba
abba
,
0
ba
a
abb
,
0
a
a
baba
b
,
,
0
b
,0
2
a
2
b
0
1
Примеры:
1.Раскройте модуль
2
Решение: так как разность
1
2
Ответ:
2. Раскройте модуль
12
12
25
1
2
< 0, то по определению модуля, получаем
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
3Решение: так как разность
25
0
, то по определению модуля получаем
, при
03 x
2)3
, будем иметь:
a
(
x
2
)3
x
3
03 x
, получаем
(
x
2
)3
x
3
.
2)524(
a 2
… 0, то по определению модуля получим:
, будем иметь:________________________
a
(
25
25
x
a 2
25
Ответ:
3. Упростите выражение:
Решение: учитывая, что
Раскрывая знак модуля при условии
Ответ:
4. Упростите выражение:
Решение: учитывая, что
Так как разность
524
Ответ:___________________________
. Таким образом,
_______
524
)3
3
x
x
(
2
2
a 2
)324(
5. Найдите значение выражения
Решение: учитывая, что
a
324
Так как разность
получим:
324
)324(
__________
….0,
,
__________
)323(
)323(
_______
2
2
2
Ответ:
)324(
2
)323(
2
1
)524(
2
_________
)323(
2
2
)324(
, будем иметь
__________
_____
….0, то по определению модуля
323
_______
. Таким образом,
323
__________
_____
.
Самостоятельная работа № 1
1. Упростите выражение
( x
2)5
2. Упростите выражение
2)35(
3.Найдите значение выражения
4. Найдите значение выражения
2(
при
05 x
2
)7
7
2
6(
)42
2
7(
2
)42
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
4Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля
I тип уравнений
Если а < 0 – корней нет.
,
Если
a
xf
)(
xf
)(
a
0a
–
xf
)(
a
Пример:
Решите уравнение
x
2
4
3
Решение:
o
2
x
)(
xf
,4
,5,3
,34
2
, откуда
5,0
4
3
2
Ответ:
5,0;5,3
3
x
x
x
x
a
II тип уравнений
xf
)(
)(
xg
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
5
xg
,
o
)(
)(
)(
xf
xg
)(
xf
)(
xg
Пример:
Решите уравнение
x
4
5
x
2
Решение: решение уравнения сводится решению системы
x
4
x
x
,
o
2
5
x
4
5
42
,2
x
5,0x
x
,
1
3
2
2x
тип уравнений
не удовлетворяет условию
x
5,0
1
3
x
6,0
6,0x
Ответ:
III
Решение уравнений данного типа сводится
к решению совокупности уравнений
Пример:
Решите уравнение
Решение:
35
,4
x
x
5
4
x
Ответ:
25,0;5,4
,54
54
3
3
x
x
(
),
xg
)(
)(
xf
xf
)(
3
5
x
xg
)(
xf
)(
xg
x
x
x
x
3
4
x
x
,5,4
25,0
IV тип уравнений
)(
xf
)(
xg
Уравнение данного вида равносильно системе
Пример:
Решите уравнение:
2
x
4
2
x
x
2
)(
xf
xg
)(
,0
.0
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
6
4
,0
x
2
,0
,2
,1
x
x
2
2
x
x
2.
x
2
x
Решение:
Ответ: 2
V тип уравнений
)(
xf
1
f
2
)(
x
...
f
k
)(
x
)(
xg
Алгоритм решения:
найдем нули всех подмодульных выражений;
отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;
на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражени и
раскроем модули по определению;
составим и решим совокупность смешанных систем.
Пример:
Решите уравнение:
x
3
2
x
1
4
Решение: 1) Найдем нули подмодульных выражений:
x
x
01
1
3
3
x0
x
2) На каждом из полученных интервалов определим знак подмодульного
выражения:
х3
х+1
х<1
1≤х<3
+
х≥3
+
+
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
7
3) Составим и решим совокупность систем
Ответ: 1.
x
,1
3
2
,42
x
x
,3
1
x
x
2
x
3
2
,4
,3
x
x
23
2
,4
x
,1
x
x
,1
1
x
,1
x
x
,3
5
3
x
,
,3
x
.1
(
xf
1 способ. Уравнение вида
,0
x
xf
)(
x
,0
(
f
x
)
a
,
a
VI тип уравнений
xf
(
)
a
равносильно совокупности систем
)
a
2 способ. Воспользуемся четностью функции
функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а –
корень, х = а тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить
. Нули этой
xg
)(
xf
a
)
(
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
8лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные
найденным корням.
Пример:
Решите уравнение
2
x
x
0
6
Решение: составим и решим совокупность двух систем:
,0
x
6
,0
x
6
2
2
x
x
x
x
,0
,0
x
x
x
x
,0
,3
,0
,2
x
2
2
,2
x
x
3
x
Ответ: 2;2
Пример:
Решите уравнение
Решение: воспользовавшись четностью функции, будем иметь:
3 2
x
0
5
x
2
,0
x
3
2
x
2
,0
5
x
2
x
.
2
,
x
x
x
,0
1
3
Добавим в ответ число, противоположные найденному корню.
Ответ: 2;2.
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
9
0
4
2
x
x
1
,0
x
,0
2
x
x
,3
x
2
.3
,0
.........
.......,
1
x
........
1
x
...
x
x
...
x
...
...,
...
...,
...
...,
...
x
...,
...
...
,0
...
...
...
,0
Разберем ряд примеров:
Пример 1. Решите уравнение:
2
x
|4
x
01|
Решение: воспользуемся вторым способом:
Оба найденных значения меньше нуля.
Ответ: корней нет.
Пример 2. Решите уравнение
x
3
1
x
5
Решение: уравнение равносильно смешанной системе:
Ответ: 1
Пример 3
Решите уравнение:
2
x
6
x
x
3
Решение: уравнение равносильно системе
,3
x
x
,3
x
,3
x
,1
x
,3 x
1
Ответ: 3; 1; 3.
Пример 4
Решите уравнение
x
2
3
x
1
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
102
o
,
x
x
x
x
...
0x
3
Решение:
условия
...,
находим корни
0
x
x
...,
x
...
Проверяем выполнение
Решение: уравнение равносильно совокупности
x
x
...,
3
...,
3
x
x
,4
2
3
.
;4
Ответ:
2
3
Пример 5
Найдите сумму корней уравнения
Решение: уравнение равносильно совокупности двух уравнений
2
2
Таким образом, сумма
, находим корни
x
1
3
...
)2(
x
,2 2
...,
...
3
3
x
x
x
1
1
1
2
x
x
1
3
x
1
2
1
3
1
3
Ответ:
3
Пример 6
Найдите произведение корней уравнения
2
x
3
x
x
, находим произведение корней уравнения.
Ответ: ________
Пример 7
Решите уравнение:
x
2
x
2
1
x
3
2
x
Решение: уравнение равносильно совокупности
Ответ: 2.
x
x
2
2
x
x
.....
1
1
x
2
x
...
,3
...,
x
...,
,0
....
2
x
Самостоятельная работа №2
1. Найдите сумму корней уравнения
2. Найдите сумму корней уравнения
2
x
2
x
4
3
x
2
x
21
x
3. Найдите произведение корней уравнения
4. Найдите произведение корней уравнения
x
3
x
2
3
x
x
2
2
x
5
3
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
115. Решите уравнение
2
x
31
x
2
17
6. Решите уравнение
3 2
x
12
x
5
6
x
4
7. Решите уравнение
2
x
5
x
9
x
6
8. Решите уравнение
9. Решите уравнение
x
11
3
x
4
2
x
2
x
3
16
10. Найдите сумму корней уравнения
(
x
3
)1
36
28
Итоговый тест
Вариант 1
Вариант 2
1)
1 x
3
Решите уравнения
x
5
3
2
1)
2)
x
2
3
x
1
2)
x
2
1
x
5
3)
3
x
2
2
3)
x
2
4
4)
2
x
2
x
5)
3
x
x
3
x
x
2
2
2
x
x
x
03
5
x
2
2
x
2
4
x
6)
7)
4)
2
x
4
x
25
3
2
x
4
x
25
3
x
x
5)
6)
7)
3 2
x
4
x
2
xx
0
2
x
25
x
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
122
x
4
x
4
2
x
3
x
0
2
5
x
1
x
10
8)
9)
2
x
10
x
25
2
x
9
x
0
20
x
2
5
x
3
8)
9)
Ответы
Самостоятельная работа № 1
1.
x
5
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
132.
3
5
3.
72
4. 13
Самостоятельная работа № 2
1. – 3
2. 4
3. 3
4. 0
5. 4,2; 2,6
6. 2; 5
7. 1;3
8. 0; 4
9. 2,8; 3,6
10. 8
Итоговый тест
Вариант 1
4; 2
4
Корней нет
1
1
2; 4
Вариант 2
1; 7/3
4
Корней нет
4; 1+√3
1√3; 2
0
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
141/2; 1/2; 2
2
2,8
5/3; 5; 4
5
3
линейных,
Заключение
Назначение данной тетради помочь ученику обобщить и систематизировать
знания, связанные с определением и свойствами модуля, а так же с
различными методами решения уравнений с модулем.
Необходимость рассмотрения данной темы обусловлена тем, что задания с
модулем нередко вызывают затруднения у обучающихся. Кроме того, задания
подобного типа регулярно встречаются в материалах ЕГЭ как в базовой части,
так и в заданиях повышенного и высокого уровня сложности. Вместе с тем,
решение уравнений с модулем является эффективным способом повторения и
закрепления навыков решения других видов уравнений и способов их
решения:
рациональных,
тригонометрических,
А так же,
закрепляется умение решать различные виды неравенств, систем и
совокупностей.
Изложение материала построено по принципу «от простого к сложному». В
начале рассматриваются задания на преобразование выражений, содержащих
модуль, затем простейшие уравнения с модулем, к каждому типу уравнений
предложен алгоритм решения.
Учащемуся самому представляется
возможность поиска решений алогичной задачи в последующем тексте.
Для овладения этими способами и приобретения соответствующего навыка
предлагается ряд задач для самостоятельного решения, ответы на которые
представлены в конце тетради. В завершении дан тест для итогового контроля
уровня знаний по теме.
логарифмических.
показательных,
квадратных,
дробных
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
15Литература
1.
Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников
и поступающих в вузы. –М.:Дрофа. 1999г. – 382с.
2.
Рязановский А.Р. и др. Математика: Решение задач: Сдаем без проблем.
Москва: Эксмо, 2014.496с.
3. Шахмейстер А.Х. Уравнения. М.: Издательство МЦНМО: «Виктория
плюс», 2011. – 264с.
Учитель математики МАОУ СОШ № 16 Ермакова Т.Л.
16
Ермакова Т.Л.-рабочая тетрадь.doc
