Рабочий лист по математике для 1 курса

Тема: «Иррациональные уравнения»

Имя, фамилия: __________________________________

Группа: __________ Дата: _______________

п 1. Введение и простейшие уравнения

Разминка

Памятка

•       Корень нечётной степени можно извлечь из любого действительного числа.

•       Подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательным.

•       Значение корня чётной степени не бывает отрицательным. Например, уравнение

решений не имеет.

•       Перед решением проверь, какие значения переменной допустимы.

Блок 1. «Лифтинг»

Перед решением каждого уравнения запиши условие для подкоренного выражения, затем реши и проверь ответ.

1

Блок 2. «Ловушка с минусом»

Проверка: ___

Блок 3. «Найди пару»

Соедини каждое уравнение с его корнем.

Уравнения                                                    Корни

А.                                 Б.                                 В.                                 

Г.                                                          

Мои пары: А — __; Б — __; В — __; Г — __.

Графическая подсказка

Рассмотри уравнение: .

Нарисуй от руки или представь графики функций . Сколько точек пересечения ты видишь? Это поможет проверить, сколько решений может быть уравнение.

Место для рисунка:

Самостоятельная работа.

Реши уравнения. Запиши условие для подкоренного выражения и сделай проверку.

                                                                             2.                                 3.  

1. 

                                                                           Решение:                                        Решение: 

Решение: 

п 2. Уравнения с двойным корнем и проверка корней

Сложим инструменты

Памятка: алгоритм решения

Для уравнения вида :

1.      Запиши условие: .

2.      Проверь, что правая часть неотрицательна: .

3.      Возведи обе части уравнения в квадрат.

4.      Реши полученное уравнение.

5.      Проверь найденные значения подстановкой в исходное уравнение. Возведение в квадрат может добавить посторонние корни.

Блок 1. «Двойной удар»

Если корни по обе стороны равны и определены, можно приравнять подкоренные выражения.

2.  Возведи в квадрат: 

3.  Реши полученное квадратное уравнение: 

4.  Проверь корни в исходном уравнении: 

1.  ОДЗ и условие для правой части: 

2.  Возведи в квадрат: 

3.  Реши полученное квадратное уравнение: 

4.  Проверь корни в исходном уравнении: 

1.  ОДЗ и условие для правой части: 

2.  Возведи в квадрат: 

3.  Реши полученное квадратное уравнение: 

4.  Проверь корни в исходном уравнении: 

Блок 3. «Детектив: найди ошибку» Ученик решал уравнение :

.

Найди ошибку. На каком шаге нужно было проверить дополнительное условие? Исправь ответ.

Дополнительное задание

п 3. Уравнения с заменой переменной и ОДЗ

Мастерская

Памятка: замена переменной

Замена удобна, если одно и то же выражение встречается несколько раз, например в виде корня и его квадрата.

1.      Выбери повторяющееся выражение и обозначь его буквой .

2.      Если , обязательно запиши .

3.      Реши полученное квадратное уравнение относительно .

4.      Вернись к исходной переменной и проверь ответы.

Блок 1. «Замени и победи»

Уравнение 1.  

1.  Что заменяем? __________________________

2.  Какое условие на замену? ______________________

3.  Решение уравнения относительно новой переменной: 

4.  Обратная замена и ответ: 

1.  Что заменяем? ____

2.  Какое условие на замену?  

3.  Решение уравнения относительно новой переменной: 

4.  Обратная замена и ответ: 

1. Что заменяем? ____ 2. Какое условие на замену?  

3.  Решение уравнения относительно новой переменной: 

4.  Обратная замена и ответ: 

Блок 2. «ОДЗ — наш щит»

Реши уравнение .

1.  Выпиши условие для подкоренного выражения: 

2.  Возведи обе части в квадрат и реши полученное уравнение: 

3.  Проверь условие для правой части: 

4.  Запиши ответ: 

Блок 3. «Собери сам»

Придумай простейшее иррациональное уравнение, корнем которого является число 7. Проверь свой пример подстановкой.

Моё уравнение: ___

Проверка: ____

Итоговый чек-лист

Перед тем как сдать работу, проверь:

☐ Я выписал(а) ОДЗ или условие для правой части.

☐ Я правильно возвёл(а) обе части в квадрат, если это было нужно.

☐ Я решил(а) полученное уравнение.

☐ Я проверил(а) корни подстановкой в исходное уравнение.

Дополнительное задание

3. Творческое задание. Придумай иррациональное уравнение, корнем которого является . Проверь его.

Моё уравнение: ___

Проверка: ____

Самостоятельная работа: 

Реши уравнения. Записывай условие для подкоренного выражения и проверяй найденные корни.

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   

9.   

10.

Решения и ответы к самостоятельной работе

1.             . Возводим обе части в квадрат: . Проверка: .

.

. Возводим обе части в квадрат: , значит, . Проверка:

.

3.  . Тогда , откуда . Подкоренное выражение при этом равно нулю.

Ответ: .

4.  . Левая часть неотрицательна, а правая отрицательна.

Ответ: решений нет.

. Приравниваем подкоренные выражения: , откуда

. Проверка: подкоренные выражения равны , оба корня равны

6.                                                    . После

возведения в квадрат получаем квадратного уравнения:    .

Ответ:** .

7.                                           . Правая часть должна быть неотрицательной:   . После возведения в

                                              , значит, . Корни:                         . Условию подходит

. Сделаем замену , откуда

. Возвращаемся к переменной:

.

, то есть . Тогда

. После возведения в квадрат получаем , откуда

правая часть равна , а левая часть неотрицательна. Значит,

найденное значение не подходит. Ответ: решений нет.

Краткие ответы к остальным заданиям листа

Урок 1, блок 1: .

Урок 1, блок 2: в первых двух уравнениях решений нет; в третьем .

Урок 1, блок 3: А — ; Б — ; В — ; Г — .

Графическая подсказка: одна точка пересечения; уравнение имеет корень .

Урок 1, домашнее задание: .

Урок 2, блок 1:

Урок 2, блок 2: ответы соответственно: . В первом уравнении кандидат является посторонним.

Урок 2, домашнее задание: ; в задании «найди ошибку» не подходит .

Урок 3, блок 1: .

Урок 3, блок 2: решений нет: после возведения в квадрат получается кандидат , но правая часть при нём отрицательна.

Творческий пример с корнем :

Урок 3, домашнее задание: первое уравнение —          ; второе уравнение решений не имеет. Творческий пример с корнем :