«Решение геометрических задач на вычисление длин, площадей и отношений величин (задание 18 ОГЭ)».

«Решение геометрических задач на вычисление длин, площадей и отношений величин (задание 18 ОГЭ)».

 Это задача на работу с фигурами, изображёнными на клетчатой бумаге (размер клетки обычно 1×1). По рисунку нужно вычислить какую-то характеристику: площадь многоугольника (треугольника, ромба, параллелограмма, трапеции), длину отрезка, диагонали или катета, расстояние между двумя точками либо от точки до прямой. Иногда в задании просят найти среднюю линию — например, среднюю линию треугольника (она параллельна третьей стороне и равна её половине) или среднюю линию трапеции (она равна полусумме оснований). 

Цель работы: сформировать у учащихся 8–9 классов навыки решения задач задания 18 ОГЭ, связанных с нахождением длин отрезков, расстояний между точками, площадей фигур и отношений геометрических величин; закрепить умение извлекать данные из чертежа и применять соответствующие формулы.

Задачи:

·         закрепить умение находить длину отрезка AB и расстояние между точками по чертежу на клетчатой бумаге (в том числе с применением теоремы Пифагора, если отрезок расположен наклонно);

·         «Читать» размеры по клеткам: считать основание и высоту фигуры. Применять формулы площадей.

·         отработать алгоритм сравнения площадей кругов: определять радиусы по рисунку, использовать формулу , находить отношение площадей ;

·         проработать типичные ошибки: путаница радиуса и диаметра, неверный подсчёт клеток, ошибочный выбор высоты или основания, неправильная интерпретация условия о расположении центра окружности.

Содержание работы:
 Практическая работа состоит из 6 вариантов, которая включает в себе 5 задач:

·         Длина отрезка и расстояние между точками. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены точки и отрезки. Учащиеся определяют длины горизонтальных, вертикальных и наклонных отрезков (для наклонных — через прямоугольный треугольник и теорему Пифагора).

·         Сравнение площадей кругов. Даны два круга (на рисунке или через описание). Учащиеся по клеткам определяют радиусы, вычисляют площади и находят, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего.

·         задачи на отношения отрезков: например, «Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка CM?» — учащиеся определяют длины по чертежу или через геометрические свойства и находят отношение.

·         Задачи на нахождение площадей фигур. Найти площадь треугольника, ромба, параллелограмма, трапеции.

·         Задачи нахождение длину катета, диагоналей. Дана фигура (прямоугольный треугольник, ромб). Найти в прямоугольном треугольнике меньшего или большего катета, ромба диагоналей. Нужно правильно считать клетки.

Возрастная группа: учащиеся 8–9 классов.

Продолжительность: 20 минут.

Ожидаемые результаты:

·         учащиеся уверенно решают задачи на нахождение длин отрезков и расстояний на клетчатой бумаге;

·         умеют сравнивать площади кругов и вычислять площадь квадрата в нестандартной геометрической конфигурации;

·         могут определять отношения длин отрезков по чертежу и обосновывать свои действия;

·         допускают меньше ошибок, связанных с неверной интерпретацией чертежа, путаницей радиуса и диаметра, неправильным подсчётом по клеткам;

·         способны самостоятельно проверить решение, найти ошибку и исправить её.

Практическая значимость: работа ориентирована на формат задания 18 ОГЭ и содержит задачи, аналогичные открытому банку ФИПИ. Отработка этих типов задач помогает учащимся систематизировать знания, выработать устойчивые алгоритмы решения и повысить точность вычислений, что существенно увеличивает шансы на успешное выполнение задания на экзамене.

Справочный материал:

1.Свойство высоты в подобных треугольниках: Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

2.  Теорема Пифагора (прямоугольном треугольнике)

3.Площадь круга:

 Во сколько раз больше или меньше – это отношение величин

4.Теорема Фалеса:

Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекает равные отрезки и на другой прямой.

5. Площадь трапеции:

,

6. Площадь ромба:

7. Площадь параллелограмма:

8. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В любом треугольнике можно провести три средние линии. Если M и N — середины сторон AB и треугольника ABC, то средняя линия MN:

• параллельна стороне BC: MN∥BC;
• равна половине её длины: MN =.

Ответы: