Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной

Родионова Г.М. – учитель математики
МБУ «Школа № 82»
г.о. Тольятти
Самарской области

Рассмотрим три наиболее
часто применяемых способа введения
новой переменной при решении
тригонометрических уравнений

1. Замена t = sin x + cos x.
Если уравнение имеет вид
a(sin x + cos x) + bsin2x = 0, b≠ 0, (1)

Пусть t = sin x + cos x .
Возведя в квадрат левую и правую часть равенства, получим
t2= (sin x + cos x)2
t2= sin2 x +2 sin x  cos x + cos2 x
t2= 1+ sin 2x
sin 2x = t2 - 1

сведем уравнение (1) к квадратному уравнению вида

a t +b (t2 - 1) + c = 0

Решим уравнение

1

sin 2x – 2(sin x + cos x) - 1 = 0

Решение:
Пусть sin x + cos x = t, тогда t2 = 1+ sin 2х
и уравнение примет вид

t2 - 2t - 2 = 0 .

Корни этого уравнения:

1. Если то

Уравнение не имеет корней, т.к.

2. Пусть

, то

Ответ:

и тогда

, но

1

Уравнения вида:

1). a(sin x – cos x) + bsin 2x + c = 0

С помощью подстановки sin x - cos x = t можно привести к алгебраическому виду

2). a(sin3 x – cos3 x) + b(sin x – cos x) + csin2x +d= 0

a t2 + b t + c = 0

Решим уравнение

3

Решение:
Пусть sin x - cos x = t, тогда t2 = 1 - 2sinх cosx

Поэтому уравнение (1) равносильно совокупности следующих уравнений:

2(sin3 x – cos3 x) + cos x - sinx = 0 (1)

sin3 x – cos3 x = (sin x - cos x)(1+ sinx cosx),
sin3 x – cos3 x =

и данное уравнение примет вид

или

откуда

3

Ответы:

sin x – cos x = 0

2) sin x – cos x =

3) sin x – cos x =

Уравнения вида:

можно решить, применяя замену t = cos 2x.

a cos 2 x + b cos2 x + c = 0 и
a cos 2 x + b sin2 x + c = 0

С помощью подстановки уравнения сводятся к простейшим уравнениям вида cos2x = m , если воспользоваться формулами удвоения аргумента

можно решить, применяя замену t = cos 2x.

2. Замена t = cos 2x.

Решим уравнение

4

Решение:
Пусть , тогда

Ответ :

cos 2 x + 4 sin4 x = 8cos6x

4 sin4 x = (1 – t)2, 8 cos6 x = (1 + t)3,

и данное уравнение примет вид

t + (1- t)2 = (1+ t)3

или t3 + 2 t2 + 4t = t(t2+ 2t+ 4) = 0, откуда

t = 0, т.е. cos2x = 0,

Уравнение t2+ 2t+ 4 = 0 не имеет действительных корней.

Решим уравнение

5

Решение:
Пусть , тогда запишем уравнение в виде

Ответ :

или , после упрощения в виде t2 = 0.

sin6 x + cos6 x =

Итак, cos2x = 0,

sin6 x + cos6 x =

sin2 2x = 1 или cos 2x = 0

Если в тригонометрическом уравнении F(x) = 0 левая часть является рациональной функцией от sinx и cosx, т. е. её можно представить виде где P и Q – многочлены от sinx и cosx, то это уравнение сводится к алгебраическому уравнению относительно поскольку

Отметим, что формулы (1) теряют смысл если т.е.

Однако следует иметь в виду, что использование этой подстановки при решении тригонометрических уравнений часто приводит к трудной задаче нахождения корней многочлена степени n > 2.

Поэтому указанную подстановку, как правило, применяют лишь в том случае, когда не видно других путей решения уравнения.

При решении уравнений с помощью подстановки
Следует проверить, не является ли значение корнями исходного уравнения.

Решим уравнение

6

Решение: заметим , что значения
Не являются корнями исходного уравнения
Пусть тогда запишем уравнение в виде

Литература:
1.Учебник « Алгебра и начала анализа».10-11 классы:
[Ш. А. Алимов и др.] - 7-е изд.-М. : Просвещение,2019
 
2.Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. Учебное пособие, авт. М.И. Шабунин,- М Аквариум,1997: