Системы счисления

1.3.1.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Система счисления(СС) - это система записи чисел с помощью определенного набора цифр. CС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999. Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе. Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.

Развернутая форма числа - это запись, которая представляет собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например: 8527=8*10³+5*10²+2*10¹+7*10⁰

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

, где

X - число;
a - основа системысчисления;
i - индекс;
m - количество разрядов числа дробной части;
n - количество разрядов числа целой части.

Например: 327.46 n=3, m=2, q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например: если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В₁₂ можно расписать так:

7А.5В₁₂ = В·12^-2 + 5 ·2^-1 +А ·12⁰ + 7 ·12¹.

В шестнадцатеричной СС основа - это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Примеры чисел: 17D.ECH, F12AH.

ДвоичнаяСС- это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа - запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

0=0₂
1=1₂
2=10₂
3=11₂ …
7=111₂
120=1111000₂.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа:

D – десятичная СС
В – двоичная СС
О – восьмеричная СС
Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

16-ричная и 8-ричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

Лекция 3

Системы счисления (СС).

СС – совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками, символами. СС должны обеспечивать возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне, единственность представления.

СС:
1. позиционные (значение цифры зависит от позиции в записи, место – разряд, кол-во цифр – разрядность; каждому разряду соответствует степень основания)
2. непозиционные


Двоичная система счисления. В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры – 0 и 1, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной части.

Восьмеричная система счисления. Использует восемь цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

Десятичная система счисления. Использует десять обычных цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Существует массовое заблуждение, будто именно десятичная система счисления является наиболее употребительным способом записи чисел. Между тем, более внимательный анализ правил чтения и записи чисел приводит к другому выводу: система счисления, которой мы обычно пользуемся, фактически является двойной, так как имеет основания – 10 и 1000. В частности, в русском языке известны названия только для первых семи разрядов десятичной системы счисления ( 1 – единица, 10 – десяток, 100 – сотня, 1000 – тысяча, 10000 – тьма, 100000 – легион, 1000000 – миллион ), но предпоследние два из них (легион и тьма) давно вышли из употребления, а соседние с ними (миллион и тысяча) – названия классов, а не только разрядов. Итак, фактически в русском языке остались лишь два самостоятельных названия для десятичных разрядов: десяток и сотня. В других языках – аналогичная ситуация.

Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 . Также использует символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.

Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:
•
Электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто;
•
Ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;
•
Магнитный сердечник намагничен в некотором направлении или в противоположном ему;
•
Транзисторный ключ находится в проводящем или замкнутом состоянии и т.д.

Одно из этих устойчивых состояний может представляться цифрой 0, другое - цифрой 1. С двоичной системой связаны и другие существенные преимущества. Она обеспечивает максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ. Широкое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных слов. Пользоваться такими словами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) как на этапах составления несложных программ для микроЭВМ, их отладки, ручного ввода-вывода данных, так и на этапах их разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системе счисления.

Совокупность приемов наименования и обозначение чисел называется системой счисления. В качестве условных знаков для записи чисел используются цифры.

Система счисления, в которой значение каждой цифры в произвольном месте последовательности цифр, обозначающей запись числа, не изменяется, называется непозиционной.

Система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной.

Чтобы определить число, недостаточно знать тип и алфавит системы счисления. Для этого необходимо еще использовать правила, которые позволяют по значениям цифр установить значение числа. Простейшим способом записи натурального числа является изображение его с помощью соответствующего количества палочек или черточек. Таким способом можно обозначить небольшие чисел. Следующим шагом было изобретение специальных символов (цифр). В непозиционной системе каждый знак в записи независимо от места означает одно и то же число. Хорошо известным примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой роль цифр играют буквы алфавита: І - один, V - пять, Х - десять, С - сто, L - пятьдесят, D -пятьсот, М - тысяча. Например, 324 = СССХХІ. В непозиционной системе счисления арифметические операции выполнять неудобно и сложно.

Позиционные системы счисления

Общепринятой в современном мире является десятичная позиционная система счисления, которая из Индии через арабские страны пришла в Европу. Основой системы является число десять. Основой системы счисления называется число, означающее, во сколько раз единица следующего разряда больше чем единица предыдущего.

Общеупотребительной формой записи числа является сокращенная форма записи разложения по степеням основы системы счисления, например

130678=1*10⁵+3*10⁴+0*10³+6*10²+7*10¹+8

Здесь 10 служит основой системы счисления, а показатель степени - это номер позиции цифры в записи числа (нумерация ведется слева на право, начиная с нуля). Арифметические операции в этой системе выполняют по правилам, предложенным еще в средневековье. Например, складывая два многозначных числа, применяем правило сложения столбиком. При этом все сводится к сложению однозначных чисел, для которых необходимо знать таблицу сложения.

Проблема выбора системы счисления для представления чисел в памяти компьютера имеет большое практическое значение. В случае ее выбора обычно учитываются такие требования, как надежность представления чисел при использовании физических элементов, экономичность (использование таких систем счисления, в которых количество элементов для представления чисел из некоторого диапазона было бы минимальном). Для изображения целых чисел от 1 до 999 в десятичной системе достаточно трех разрядов, то есть трех элементов. Поскольку каждый элемент может находиться в десяти состояниях, то общее количество состояний - 30, в двоичной системе счисления: 999₁₀=1111100₂, необходимое количество состояний - 20 (индекс внизу числа - основа системы счисления).

Более распространенной для представления чисел в памяти компьютера является двоичная система счисления. Для изображения чисел в этой системе необходимо две цифры: 0 и 1, то есть достаточно двух стойких состояний физических элементов. Эта система близка к оптимальной по экономичности, и кроме того, таблицы сложения и умножения в этой системе элементарные:

Поскольку 2³=8, а 2⁴=16 , то каждых три двоичных разряда числа образовывают один восьмиричный, а каждых четыре двоичных разряда - один шестнадцатиричный. Поэтому для сокращения записи адресов и содержимого оперативной памяти компьютера используют шестнадцатиричную и восьмиричную системы счисления. Ниже, в таблице 1 приведены первые 16 натуральных чисел записанных в десятичной, двоичной, восьмиричной и шеснадцатиричной системах счисления.

Таблица 1

Для отладки программ и в других ситуациях в программировании актуальной является проблема перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Если основа новой системы счисления равняется некоторой степени старой системы счисления, то алгоритм перевода очень простой: нужно сгруппировать справа налево разряды в количестве, равном показателю степени и заменить эту группу разрядов соответствующим символом новой системы счисления. Этим алгоритмом удобно пользоваться при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмиричную или шестнадцатиричную. Например, 10110₂=10 110=26₈, 1011100₂=101 1100=5C₈

Перевод чисел из восьмиричной или шестнадцатиричной систем счисления в двоичную происходит по обратному правилу: один символ старой системы счисления заменяется группой разрядов новой системы счисления, в количестве равном показателю степени новой системы счисления. Например, 472₈=100 111 010=100111010₂, B516=1011 0101=10110101₂

Как видим, если основа одной системы счисления равняется некоторой степени другой, то перевод очень простой. В противном случае пользуются правилами перевода числа из одной позиционной системы счисления в другую (чаще всего при переводе из двоичной, восьмиричной и шшестнадцатиричной систем счисления в десятичную, и наоборот).