Системы счисления

Системы счисления Системы счисления Учитель математики- информатики МОУ «Бронцевской сош» Тихонова Елена Анатольевна.

«ЛОМАЕМ» голову «ЛОМАЕМ» голову Прочитайте стихотворение А.Н.Старикова: Ей было 1100 лет, Она в 101­й класс ходила, В портфеле по 100 книг носила ­ Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато 100­ногий. Она ловила каждый звук Своими 10­ю ушами, И 10 загорелых рук Портфель и поводок держали. И 10 темно­синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. Поняли ли вы рассказ поэта? 19.03.18 3

Пифагорийцы говорили: “Всё есть число”, почему? А вы согласны с этим лозунгом? Современного человека повсюду окружают числа: номера телефонов, машин, паспорта, стоимость товаров, покупки. Числа были всегда и 4 и 5 тыс. лет назад, только правила изображения их были другими. Но смысл был один: числа изображались с помощью определенных знаков – цифр. Так что же такое цифра? Цифра-символ, участвующий в записи числа и составляющий некоторый алфавит. чем отличается цифра от числа? И что же такое число?

Числа состоят из цифр. Итак, число-величина, которая складывается из цифр по определенным правилам. Эти правила получили название Система счисления.

Система счисления Система счисления это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. 19.03.18 6

Виды систем Виды систем счисления счисления Непозиционные сс Непозиционные сс Позиционные сс Позиционные сс 19.03.18 7

Римская непозиционная Римская непозиционная система счисления система счисления В качестве цифр в римской системе используются: I(1), II (2), III(3), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. 19.03.18 8

Позиционные системы Позиционные системы счисления счисления позиционных системах В позиционных системах счисления количественное счисления значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры в числе разрядом.. называется разрядом Каждая позиционная сс имеет определенный алфавит цифр и алфавит цифр основание. основание. 19.03.18 9

В позиционных сс основание системы равно  количеству цифр (знаков в алфавите) и  определяет, во сколько раз различаются значения  цифр соседних разрядов. Система счисления Система счисления Основание Основание      Алфавит цифр      Алфавит цифр                      1010 Десятичная  Десятичная                          0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двоичная  Двоичная  Восьмеричная Восьмеричная Шестнадцатеричная Шестнадцатеричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,                                                                         А(10), В(11),                                                                          F(15) F(15) 0,1                       22 0,1                        0,1,2,3,4,5,6,7         88 0,1,2,3,4,5,6,7                 1616         А(10), В(11), C(12), C(12), D(13), E(14), D(13), E(14), 19.03.18 10

Позиционные системы с Позиционные системы с произвольным основанием произвольным основанием Аq=an*qn+an­1*qn­1+…+a0*q0+a­1*q­1+ …+a­m*q­m где q-основание системы счисления Развернутая форма числа в двоичной сс: А2=an*2n+an-1*2n-1+…+a0*20+a-1*2-1+ …+a-m*2-m 19.03.18 11

12412410 10 хх22 124I2 124I62I2 0 62I31I2 0 30I15I2 1 14I7I2 1 6I3I2 Ответ: 1I2I1 11111002 1 Проверка: 11111002=1*26+1*25+1*24+1*23+1*22+0 *21+ 0*20=64+32+16+8+4=12410

27271010 х х22 27I2 26I13I2 1 12I6I2 1 6I3I2 0 2I1 Ответ: 1 110112 Проверка: 110112=1*24+1*23+0*22+1*21+1*20= 16+8+2+1=2710 19.03.18 13

35351010 х х22 35I2 34I17I2 1 16I8I2 1 8I4I2 0 4I2I2 0 2I1 Ответ: 0 1000112 Проверка: 1000112=1*25+0*24+0*23+0*22+1*21+1*20= 32+2+1=3510 19.03.18 14

х22 134 1341010 2 1901901010 х2 1501501010 х х х22 3603601010 х Ответ: х х22 15010=100101102 19010=101111102 36010=1011010002 13410=100001102 19.03.18 15

11100022 х х1010 111000 11011022 х х1010 110110 Ответ: 1110002=5610 1101102=5410 19.03.18 16

1081081010 х х88 108I8 104I13I8 4 8I1 Ответ: 5 1548 Проверка: 1548=4*80+5*81+1*82=4+40+64=10810 19.03.18 17

10 xx8 8 757510 xx1616 75I8 Проверка: 1138=3*80+1*81+ 72I9I8 1*82=3+8+64= 3 8I1 =7510 1 75I16 Проверка:41116=11*160+4*161 64I 4 =11+64=7510 11 41116=4В16 19.03.18 18

Один мальчик так написал о себе: «У меня 24 пальца, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как это могло быть? Ответ: Так как 5+5=12, то речь идет о  восьмеричной системе счисления. Так что  мальчик наш абсолютно нормальный ребенок,  изучивший восьмеричную систему счисления.

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть? Сколько лет младшему брату? Старшему брату? В каком калассе учится старший брат? ОТВЕТ. Может, если считать, что все данные ОТВЕТ. Может, если считать, что все данные приведены в двоичной системе. приведены в двоичной системе.

В классе 1111002% девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе? ОТВЕТ. «Переведем» условие задачи в двоичную ОТВЕТ. «Переведем» условие задачи в двоичную систему счисления. В классе 60% девочек и систему счисления. В классе 60% девочек и 12 мальчиков. Следовательно, в классе 30 учеников. 12 мальчиков. Следовательно, в классе 30 учеников.

В математической олимпиаде участвовало 13 девочек и 54 мальчика, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны эти сведения? ОТВЕТ ОТВЕТ  13   +54   100  3+4=10 в семеричной  системе счисления.

Занимательные задачи Занимательные задачи №1№1 Мартышка-мама связала 111 своим непослушным детишкам по перчатке на каждую руку и ногу. Но они порвали все свои перчатки, кроме младшего, который порвал только 111. Сколько перчаток попадет маме в починку? Ответ в 8-й сс 19.03.18 23

Занимательные задачи Занимательные задачи №2№2 Мартышка висит на хвосте и жует бананы. В каждой руке по 101 банану, а в каждой ноге – на 1 банан больше, чем в руке. Сколько бананов у мартышки? Ответ в 2-й сс 19.03.18 24

В какой системе счисления записаны В какой системе счисления записаны данные числа? данные числа? Переведите в десятичную сс. Переведите в десятичную сс. 3C 2А 1000001 2Е ОТВЕТ: 60 42 65 46 19.03.18 25

Задание № 3 Один мудрец писал «мне 33 года, моей матери  124 года, а отцу 131 год. Вместе нам 343 года». Какую систему счисления использовал мудрец,  и сколько ему лет?»   (Решение:33х + 124х + 131х = 343х 3х + 3 + х2 + 2х + 4 + х2 + 3х + 1 = 3х2 + 4х + 3 х2 – 4х – 5 = 0 х1 = 5, х2 = – 1 (не является решением)          Ответ: 335 = 18, 1245 = 39, 1315 = 41, 3435 = 98)

Задание № 4 Один человек имел 100 монет. Он поровну  разделил их между двумя своими детьми.  Каждому досталось по 11  монет и одна осталась лишней.  Какая система счисления использовалась, и  сколько было монет? (Решение: 100х = 11х + 11х + 1 х2 – 2х – 3 = 0 х1 = 3, х2 = – 1 (не является решением) Ответ: 1003 = 9, 113 = 4)

Задание № 5 Решение неравенств. Поставьте вместо знака ? знак <, > или =. ◦6С16   ?   1010012     (Ответ:     10810   > 4110 ) ◦5516   ?   1258            (Ответ:   8510 =  8510 ) ◦1111112 ? 11118 (Ответ:   1111112 < 11118)

Задание № 6                                                  Расположите числа, записанные в различных системах счисления, в порядке возрастания. 3510, 368, 100011,012, 3C16 (Ответ:368 , 3510 , 100011,012 , 3C16)

В комнате веселилось 1425 мух. Петр Петрович открыл форточку и, размахивая полотенцем, выгнал из комнаты 225 мух. Но прежде чем он успел закрыть форточку, 213 мух вернулись обратно. Сколько мух теперь веселится в комнате? ОТВЕТ. Переведем все в десятичную систему ОТВЕТ. Переведем все в десятичную систему счисления и выполним вычисления в счисления и выполним вычисления в соответствии с условием задачи соответствии с условием задачи 47 – 12 + 7 = 42. 47 – 12 + 7 = 42.

Что будет на Что будет на рисунке ? рисунке ? 1(1,11) 2   (101,11) 3(101,  1001) 5(101,11) 6 (1010,  110) 7(1001,  1) 4(1000,  1100 8(11,1) 9(1,11) 10 (101,  1001) 11(101,  1010) 12(1000,  1010) 13(1000, 1001) 14 (101,  1001) 19.03.18 31