Сущность метода математической индукции

Сущность метода математической индукции

Индукцией называется всякое рассуждение, содержащее переход от частных утверждений к общим, справедливость которых выводится из справедливости частных утверждений.

Метод математической индукции есть особый метод математического доказательства, позволяющий на основании частных наблюдений делать заключения о соответствующих общих закономерностях.

Приведем весьма убедительный пример. Подставляя в выражение 991n² +1 вместо n последовательные целые числа 1,2,3,…, мы никогда не получим числа, являющегося полным квадратом, сколько бы дней или даже лет мы не посвятили этим вычислениям. Однако если мы сделаем вывод, что все числа такого вида не являются квадратами, то мы ошибемся, так как на самом деле оказывается, что среди чисел вида   991n² +1 имеются и квадраты; только наименьшее значение n, при котором число 991n² +1 есть полный квадрат, очень велико. Вот это число: n=12 055 735 790 331 359 447 442 538 767.

Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей:

1.Проверки, что высказанное утверждение справедливо для наименьшего значения n, для которого оно имеет смысл;

2.Доказательство, что если это утверждение справедливо для какого-то натурального числа n, то оно справедливо и для следующего числа n+1.

В необходимости второй части доказательства мы уже убедились на примере. Очевидно, что и первая часть рассуждения не менее необходима:  ведь доказательство того, что если какое-то предложение справедливо для некоторого числа n, то оно справедливо и для числа n+1, само по себе еще ровно ничего  не дает, так как может оказаться, что это предложение не справедливо  вообще ни для одного целого значения n. Например, если предположить, что какое-либо целое число n равно следующему за ним, т.е. что n=n+1, то, прибавив к обеим частям этого равенства по единице, мы получим, что n+1=n+2, т.е. что и число n+1 равно следующему за ним. Отсюда вовсе не вытекает, что высказанное предположение справедливо для всех n, - оно не справедливо ни для какого целого числа.

Применение метода математической индукции не обязательно строго следует приведенной выше схеме. Так, например, иногда приходится делать предположение, что рассматриваемое предположение справедливо, скажем, для двух последовательных чисел n-1 и n, и доказывать, что в таком случае оно справедливо и для числа n+1. В этом случае в качестве первого шага рассуждения необходимо проверить, что предположение справедливо для двух первых значений n, например для n=1 и n=2. Иногда в качестве второго шага рассуждения доказывают справедливость предложения для какого-то значения n, предполагая его справедливость для всех натуральных чисел k, меньших n.