Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
Какие утверждения известны о прямоугольном треугольнике?
Какие утверждения известны о
прямоугольном треугольнике?
А
В
С
Какие утверждения известны о прямоугольном треугольнике?
Какие утверждения известны о
прямоугольном треугольнике?
А
В
С
катет
катет
гипотенуза
Какие утверждения известны о прямоугольном треугольнике?
Какие утверждения известны о
прямоугольном треугольнике?
А
В
С
катет
катет
гипотенуза
Какие утверждения известны о прямоугольном треугольнике?
Какие утверждения известны о
прямоугольном треугольнике?
А
В
С
катет
катет
гипотенуза
Какие утверждения известны о прямоугольном треугольнике?
Какие утверждения известны о
прямоугольном треугольнике?
А
В
С
катет
катет
гипотенуза
В С А Свойство 1 Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
В
С
А
Свойство 1
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе
2 свойство
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе.
В
С
А
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе
2 свойство
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе.
В
С
А
если ∠В=30°, то
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе
2 свойство
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе.
В
С
А
если ∠В=30°, то
АС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе
2 свойство
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузе.
В
С
А
если ∠В=30°, то
АС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ
или АС = АВ : 2
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузе, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
3 свойство
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузе, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
В
С
А
если АС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ, то
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузе, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
3 свойство
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузе, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
В
С
А
если АС = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ, то
∠В=30°
18 ? А С В
18
?
А
С
В
N М К ? 5
N
М
К
?
5
S О Р 8,4 4,2 ? ?
S
О
Р
8,4
4,2
?
?
А С В Е ? 7
А
С
В
Е
?
7
Окружность и круг
Окружность и круг
Круг – часть плоскости, которая ограничена окружностью
Круг –
часть плоскости, которая ограничена окружностью.
Окружность ̶
геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки
Заданную точку называют центром окружности.
О
О
О
О Р
О
Р
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой на окружности – радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с
какой-либо точкой на окружности – радиус.
О
Р
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой на окружности – радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с
какой-либо точкой на окружности – радиус.
О
Р
М
Т
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой на окружности – радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с
какой-либо точкой на окружности – радиус.
Отрезок соединяющий
две точки окружности
– хорда.
О
Р
М
Т
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой на окружности – радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с
какой-либо точкой на окружности – радиус.
Отрезок соединяющий
две точки окружности
– хорда.
О
А
Р
В
М
Т
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой на окружности – радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с
какой-либо точкой на окружности – радиус.
Отрезок соединяющий
две точки окружности
– хорда.
Хорда, проходящая через центр окружности – диаметр.
О
А
Р
В
М
Т
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой на окружности – радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с
какой-либо точкой на окружности – радиус.
Отрезок соединяющий
две точки окружности
– хорда.
Хорда, проходящая через центр окружности – диаметр.
О
С
К
А
Р
В
М
Т
Сравни диаметр и радиус. В А P
Сравни диаметр и радиус.
В
А
P
O
Сравни диаметр и радиус. В А P
Сравни диаметр и радиус.
В
А
P
O
или
Сравни диаметр и радиус. В А P
Сравни диаметр и радиус.
В
А
P
O
или
Назвать все радиусы, диаметры и хорды окружности
Назвать все радиусы, диаметры и хорды окружности
Хорды АВ и CD окружности с центром
Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. Докажите, что ∠АОВ = ∠ COD.
Дано:
Доказать:
Хорды АВ и CD окружности с центром
Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. Докажите, что ∠АОВ = ∠ COD.
Дано:
Доказать:
Отрезки АС и АВ – соответственно диаметр и хорда окружности с центром
Отрезки АС и АВ – соответственно диаметр и хорда окружности с центром О, ∠ВАС = 26°. Найти ∠ ВОС.
Хорда CD пересекает диаметр АВ в точке
Хорда CD пересекает диаметр АВ в точке М, СЕ ⊥ АВ, DF ⊥ АВ, ∠АМС = 60°, МЕ = 18 см, MF = 12 см. Найти хорду CD.
Теорема Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам
Теорема
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам
А
O
C
D
В
М
Если окр. (О; R)
CD – диаметр
AB – xорда, CD ⊥ AB,
то AM = MB
O r Н r O r Н Н O а а а Взаимное расположение прямой и окружности
O
r
Н
r
O
r
Н
Н
O
а
а
а
Взаимное расположение прямой и окружности
Теорема Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания а окр
Теорема
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания
а
окр. (О; R)
a – касательная
AО- радиус
а ⊥ AО
А O C D М В На рисунке точка О – центр окружности, диаметр
А
O
C
D
М
В
На рисунке точка О – центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде АВ.
Доказать, что ∠AOD = ∠BOD.
Дано: окр. (О; R) CD – касательная
Дано: окр. (О; R)
CD – касательная
A – точка касания
AB – хорда
∠𝑩𝑨𝑫 = 35°
Найти: ∠𝑨𝑶𝑩
O А В М Дано: окр. (О; R) МА,
O
А
В
М
Дано: окр. (О; R)
МА, МВ – касател.
A, B – точки касан.
∠ ОAB = 20°
Найти: ∠𝑨𝑴𝑩
Вписанная и описанная окружность
Вписанная и описанная окружность.
Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника
Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника
Определение:
На каком рисунке окружность описана около треугольника: 1 2 3 4 5
На каком рисунке окружность описана около треугольника:
1
2
3
4
5
Если окружность описана около треугольника,
то треугольник вписан в окружность.
Около любого треугольника можно описать окружность
Около любого треугольника можно описать окружность
Заметим, около треугольника можно описать только одну окружность
Теорема 21.1
Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке
Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке
Следствие 1
Следствие 2
Центр окружности, описанной около треугольника, - это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон
Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон
Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон
Определение:
На каком рисунке окружность вписана в треугольник: 1 3 4
На каком рисунке окружность вписана в треугольник:
1
3
4
Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.
2
5
В любой треугольник можно вписать окружность
В любой треугольник можно вписать окружность
Заметим, в треугольник можно вписать только одну окружность
Теорема 21.2
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке
r
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке
Следствие 1
Следствие 2
Центр окружности, вписанной в треугольник, - это точка пересечения его биссектрис
О
Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле где r – радиус вписанной окружности, а и b - катеты, c - гипотенуза
Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле
где r – радиус вписанной окружности,
а и b - катеты, c - гипотенуза
№ 542, № 543
№ 542, № 543
Домашнее задание на 23.08 1. Один из внешних углов треугольника равен 98°
Домашнее задание на 23.08
1. Один из внешних углов треугольника равен 98°. Найти углы треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов в 6 раз меньше другого.
2. В прямоугольном треугольнике МКС известно, что ∠ М = 90°, ∠ М = 60°, СМ = 7 см. Найти гипотенузу СК.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
