ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методическое пособие №2 для самостоятельной работы

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  «Воронежский государственный промышленно­технологический колледж» Воронежской области   (ГБПОУ ВО «ВГПТК») ТЕХНИЧЕСКАЯ  МЕХАНИКА Раздел «Сопротивление материалов» Учебно­методическое  пособие №2 для  самостоятельной работы студентов 2­го курса  специальности 23.02.03 «Техническое обслуживание  и ремонт автомобильного транспорта» Составитель : канд. пед. наук О. Е. Наумов ББК  30.12 Воронеж  2016 г. Данное   методическое  пособие  представляет  краткий  сборник  лекций  по  предмету  студентов   ПССЗ «Техническая     механика»   раздела   «Сопротивление   материала»     специальности   23.02.03   «ТО   и   ремонт   автомобильного   транспорта»  и     является дополнительным   пособием   для   подготовки   студентов к контрольным работам, к сдаче экзамена     и     при   выполнении   расчетно­графических задач.   Методическое     пособие разработано   в соответствии   с   рабочей программой   по   дисциплине,   составленной   на основе  требований  ФГОС.        Рецензенты:  доцент   кафедры «Транспортных машин»  ВГАСУ,                             канд. техн.  наук  С.А.Никитин                            Печатается   по   решению   методического   совета   Воронежского   государственного промышленно­технологического колледжа 2 Пояснительная  записка.             Методическое     пособие     предназначено     для     студентов     второго     курса специальности     23.02.03  «Техническое   обслуживание   и   ремонт   автомобильного транспорта». Пособие  составлено  на  основе образовательных стандартов  и  рабочей программы   предмета   «Техническая   механика» при   изучении   курса   объёмом 144 аудиторных   часа. Оно   является     второй     частью       общих   разделов   курса и рассматривает   вопросы  «Сопротивления материалов».              В пособии   в краткой   форме   изложены   основные   теоретические   вопросы, определения,     формулы,   которые     рассматриваются     на   лекционных   занятиях. Материал   построен   таким   образом, что   по   мере   изучения   основных понятий каждой   темы, студенту   предлагается   ответить   на       вопросы. Рассматриваемые вопросы    относятся   к зачетному   материалу,   на   них студент  будет   отвечать  по окончанию   изучения     всего     курса.     Полный     список   вопросов   и     дополнительная литература,   предложена  в  конце  пособия.           В   методическом   пособии   намеренно   опущена       часть поясняющих   схем   и графических     рисунков,     так     как     они     подробно     рассматриваются     на     уроках предмета   «Техническая механика»   и в   процессе   решения   расчетно­графических задач.          Такой     нестандартный      подход   позволяет      дифференцированно  обучать   и оценивать     знания     студентов   и   реализовать   матричную   технологию   обучения, применяемую   автором   на   уроках.   Слабому     студенту     он     дает     возможность подготовить     минимальный    объем      теоретических  знаний     для    сдачи  экзамена  , сильному ­   более   углубленно  и   творчески     изучить    предмет,   преподавателю  ­ высвободить  время   для  прямого диалога  со  студентами  при  изучении  сложных тем  и  разделов  предмета  «Техническая   механика».           3 СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.1. Основные понятия Сопротивление     материалов     это   раздел     технической     механики     изучающий способности     материалов   сопротивляться    действию    внешней     нагрузки.    В  данном разделе рассматривают тела, которые под действием внешних сил меняют свою форму и размеры, т.е. деформируются. Что  изучает  сопротивление  материалов?     Деформации могут быть упругими, если тело после устранения нагрузки, т.е. внешних сил, восстанавливает свои размеры и  форму. Если же после снятия нагрузки тело не восстанавливает   прежней   формы,   то   возникающие   при   этом   деформации   называются остаточными.  Здесь будем изучать только  однородные  изотропные  тела, у которых по всем направлениям свойства одинаковые. Чем  отличаются упругие  деформации от остаточных?   В сопротивлении материалов тела классифицируют следующим образом: • пластина ­ у нее длина и ширина намного больше толщины; • оболочка ­ в отличие от пластины она ограничена криволинейными поверхностями; • брус ­ у него длина тела значительно больше его высоты и  ширины. Если линия, соединяющая центры тяжести отдельных поперечных сечений бруса, прямая, то такой брус называют прямым; • стержень ­ брус, работающий на растяжение или сжатие; • балка ­ брус, к которому приложены силы под углом. В этом  случае брус под действием таких сил будет работать не только на сжатие (растяжение), но и на изгиб, т.е. будет изгибаться. В   зависимости   от   того,   какие   силы   приложены   к   брусу,   он   будет   по   разному 4 деформироваться.   Чтобы   определить   напряженное   состояние,   применяют  метод сечений.  Метод сечений позволяет выявить внутренние силы и заключается в том, что тело мысленно рассекают плоскостью на две половины (рис. 1,  а)  и рассматривают равновесие   какой   либо   отсеченной   части.   Считают,  что   внутренние   iF силы распределены равномерно, их равнодействующая равна N (рис. 1, б). J   Рис. 1 Расскажите  о   методе  сечения.  Составим уравнение равновесия сил, действующих на отсеченную часть бруса: E i F   i  i J i F  0 или NF  0       (1.1) Отсюда                N = F. Величина а, характеризующая интенсивность распределения  внутренних сил по поперечному сечению, называется напряжением: N S                             (1.2) где  S  ­  площадь   поперечного   сечения.   Напряжение   согласно   Международной системе   единиц   измеряется   в   Па   (Н/м2),   а   на   практике   чаще   используют   Н/см2, Н/мм2. В   рассмотренном   примере   внутренние   силы   направлены   по   нормали   к поперечному сечению, поэтому напряжение называется нормальным. 5 Рис. 2. В  общем  случае  нагружения  тела  (рис. 2.)  все  внутренние  силы  можно  привести  к главному вектору R и главному моменту М. Выбираем   систему   координат   так,   чтобы   ось  z  была   направлена   по   нормали   к сечению, а оси  х  и  у  расположим в его плоскости. Спроектировав главный вектор и главный   момент   на   координатные   оси,   получим   шесть   уравнений   для   определения внутренних силовых факторов. Составляющая внутренних сил по нормали к  сечению N  ­   нормальная   сила;   силы  Qx  и  Qy  являются   составляющими   поперечной   силы  Q. Момент относительно оси z называют крутящим моментом (Мкр), а моменты Мх и Му ­ изгибающими  моментами относительно осей  х и у.  При заданных внешних силах  все шесть   внутренних   силовых   факторов   могут   быть   определены   из  шести   уравнений равновесия,  составленных  для  отсеченной  части  бруса. Если  в поперечном   сечении возникает   только   нормальная   внутренняя   сила  N,  а   прочие   внутренние   силовые факторы обращаются в нуль, то имеет место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы N. Если в поперечном сечении возникает только момент Мкр, то брус в   данном   сечении   работает   только   на  кручение.   В   случае,   когда   внешние   силы приложены   к   брусу   таким  образом,   что   в   поперечных   сечениях   возникает   только изгибающий момент Мх (или Му), имеет место чистый изгиб в плоскости yz (или xz). Если в   поперечном   сечении   наряду   с   изгибающим   моментом,   например  Мх,  возникает   и поперечная   сила  Qy  такой   случай   нагружения   называется   поперечным   изгибом   (в плоскости  у2).  Возможны и другие случаи, когда в поперечном сечении действуют раз­ личные силовые факторы; при этом брус испытывает сложное напряженное состояние. Помимо нормального напряжения в сечении будет возникать касательное напряжение т в плоскости этого сечения. Перечислите  все  внутренние  силовые  факторы  возникающие  в  сечении бруса.   1.2. Растяжение и сжатие Под   растяжением   понимается   такой   вид   нагружения,   при   котором   в поперечных сечениях бруса (стержня) возникают только нормальные силы, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающие моменты) равны нулю. Сжатие отличается от растяжения только знаком силы N: при растяжении нормальная сила  N  направлена от сечения (см. рис. 1),  а при сжатии ­ к сечению.   Поэтому   при   анализе   внутренних   сил   сохраняется   единство   подхода   к вопросам растяжения и сжатия. Исключение составят длинные тонкие стержни, для которых сжатие сопровождается изгибом.  Закон Гука.  Многочисленные наблюдения за поведением твердых тел показывают, что   в   подавляющем   большинстве   случаев   перемещения   в   определенных   пределах пропорциональны действующим силам. Впервые в 1676 г. Гуком был сформулирован закон о том, что «какова сила, такова и деформация». В современной трактовке  закон Гука определяет  линейную зависимость между напряжением и деформацией:  E                              (1.3) 6 Здесь коэффициент пропорциональности  Е  есть  модуль упругости первого рода,  деформация, которую для однородного стержня можно определить как  ­ε  l l                               (1.4) Величину  ε  иногда   называют  относительным   удлинением  стержня  длиной  l, удлинение которого под действием приложенной силы составило Δl. Модуль   упругости   первого   рода  является   физической   константой   материала;   он определяется экспериментально. Для наиболее  часто встречающихся материалов его значения приведены в табл. 1 . Запишите  закон  Гука  при растяжении (сжатии) Удлинение стержня. Если в закон Гука вместо напряжения подставить=  N/S,  а вместо   деформации       ,  то   для   стержня,  у   которого   на   длине  l  внутренняя нормальная сила постоянная и поперечное сечение не изменяется, получим выражение для определения удлинения стержня: l l  l  lN SE                     (1.5) При   решении   многих   практических   задач   возникает   необходимость   наряду   с удлинением, обусловленным напряжением а, учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В   этом   случае   деформацию   рассматривают   как   сумму   силовой   и   чисто температурной деформации:   t   E                    (1.6) где      ­   коэффициент   температурного   расширения   материала.   Для   однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, имеем  l lN SE  tl                     (1.7) Что  такое  относительное  удлинение , и от чего он зависит? Построение эпюр. График изменения нормальной силы, напряжений и перемещений стержня   вдоль   его   оси   называется   эпюрой   соответственно   нормальных   сил, напряжений   и   перемещений.   Эпюры   дают   наглядное   представление   о   законах изменения   различных   исследуемых   величин.   Построение   эпюр   рассмотрим   на конкретном примере. 7 Пример 1 Для бруса, изображенного на рис.3,а, построить эпюры внутренних сил, напряжений и перемещений по длине бруса. 1. Выбираем начало отсчета в неподвижном сечении (точка О);  положительное направление оси z направим по оси бруса, т.е. вниз.      2. Определим реакцию, составив одно уравнение равновесия: Решение. Отсюда     N0 =2F. N0  ­ 3F   + F = 0.     3. Построим эпюру внутренних сил N. Для этого на расстоянии z1 рассечем брус и рассмотрим равновесие нижней части (рис. 3, б): ∑ Fiz = 0;   ­ N1 +  F = 0       Рис. 3 Отсюда N1 =F , что справедливо для l  ≤  z1 ≤ 3l. В этих пределах в брусе возникает растяжение, так как продольная сила  N1 направлена от сечения. Теперь выберем второй участок бруса 0 ≤ z2 ≤ l и рассмотрим равновесие верхней части (рис. 3, в):   ∑ Fiz = 0;   N0  ­  N2  = 0;   2F – N2 = 0          Отсюда N2 = 2F. Поскольку N2 направлена к сечению, то брус под действием сил N0 и N2 сжимается. После   того   как   определили   все   внутренние   нормальные   силы,   переходим  к  Вправо   будем   откладывать построению   эпюры   нормальных   сил   (рис.   3,  г). 8 положительные значения, а влево ­ отрицательные значения нормальных сил.     Анализируя построенную эпюру  (N) , заметим, что внутренние силы не зависят от размеров   поперечного   сечения,   а   зависят   только   от   приложенных  внешних   сил. Поэтому длину бруса разбивают на такое число участков, сколько сил на его длине приложено. В данном случае было два участка.       При проверке правильности построения эпюры  следует обратить внимание на то, что на эпюре внутренних сил в тех сечениях, где были приложены внешние силы, должны быть скачки, равные приложенной внешней силе. ).σ  Брус следует разбить на участки. Поскольку σ    4. Построим эпюру напряжений ( =  N/S,  то   участков   на   эпюре   будет   столько,   сколько   раз   меняется  поперечное сечение;   при   этом   следует   обращать   внимание,   чтобы   при   постоянной   площади поперечного сечения нормальная сила на эпюре N оставалась неизменной. С учетом этого на эпюре  ( (рис. 2.3, д): )σ   будут три различных значения   σ σ1 = N1/ S1 = F/S; σ2 = N2/S2 = F/2S; σ3 = N2/S2 = ­2F/2S  = ­F/S.       5.Строим эпюру перемещений  (U). Начинать следует от неподвижного сечения, т.е. от сечения О. Выразим перемещение сечения, находящегося от неподвижного на расстоянии z2: U   E 2z Если  0 ≤ z2 ≤ l , то     для z2 = l      перемещении     U  F 1 ES l                                   Для  l  ≤  z ≤ 2l            UU  1 2 Или                                UU  1 2 при  z = 2l                      U 1   2 F ES z                                    E F 2 ES                                         l z l )  (   Для  2l  ≤  z1 ≤ 3l         UU  2 3 F ES ( 1 z  )2 l при  z1 = 3 l                     U 3  2 F ES l     σ  – продольное напряжение  в  сечении бруса; где          S – площадь поперечного сечения в характерной точке;         l – длина  характерного участка;         Е – модуль упругости  материала;         U – перемещение деформируемого участка.    Откладываем вычисленные перемещения на эпюре   (U) (рис. 3, e). 9 Какие     необходимо     построить     эпюры     чтобы     выполнить       расчет     на прочность при  растяжении? Диаграмма растяжения. Наиболее наглядно особенности диаграммы растяжения можно показать на примере испытания образца из малоуглеродистой стали (рис. 4). Диаграмма вычерчена в координатах F,Δl. На кривой можно выделить четыре зоны.   Зона     ОА носит название зоны упругости. Здесь материал подчиняется закону Гука и  l  lF SE .                 (1.8) где S – площадь поперечного сечения в характер­               ной точке;         l – длина  характерного участка;         Е – модуль упругости  материала;          F – внешняя  сила;          На рис. 4 этот участок для   большей наглядности показан с отступлением от масштаба. Удлинения на участке ОА очень малы, и прямая ОА, будучи вычерченной в масштабе, совпадала бы в пределах ширины линии с осью ординат. Значение силы, для которой справедлив закон Гука, зависит от размеров образца и физических свойств материала, поэтому   при   дальнейшем   рассмотрении   диаграммы   растяжения   ее   перестраивают   в координатах σ и ε l   ­  удлинение  деформируемого  участка. Зона      АВ  называется  зоной   общей   текучести,  а   участок  АВ  ­  площадкой текучести. Здесь происходит существенное изменение длины образца без заметного увеличения   нагрузки.   Не   все   металлы   имеют   площадку   текучести.   Например,   у алюминия, отожженной меди, легированных сталей площадка текучести не обнару­ живается. Зона     ВС называется зоной упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается  возрастанием  нагрузки. В стадии     упрочнения               на             образце намечается место   будущего разрыва и начинает образовываться так называемая шейка –  местное сужение образца. При дальнейшем растяжении образца шейка быстро прогрессирует. Начиная с точки С Рис.4 10 удлинение     образца     происходит     с   уменьшением силы, но среднее напряжение в поперечном   сечении   шейки   возрастает.   Удлинение   образца   носит   в   этом   случае местный характер, по этому участок CD называется зоной  местной текучести     Точка     D соответствует разрушению образца. Рис.5  ?     Какая  зона  на  диаграмме  растяжения  сжатия является  зоной  упрочнения и  почему   Относительная  поперечная  деформация.  При   растяжении   (сжатии)   прямого   бруса кроме продольной деформации е происходит изменение поперечных размеров бруса (рис.5). Ширина бруса     b  при   растяжении  уменьшается на Δb. Если   Δb   отнести  к первоначальной   ширине,   то   получим   выражение   для   определения   относительной поперечной деформации: 1 b b          (1.9) Отношение относительной поперечной     деформации к относительной продольной деформации называют  коэффициентом Пуассона и обозначают :  1     (1.10)   Коэффициент   Пуассона,   так   же   как   и   модуль   упругости  Е,  характеризует физические свойства материала; его значение колеблется для металлов в пределах от 0,25 до 0,35. Некоторые значения коэффициента  приведены в  табл. 1. 1.3. Основные механические характеристики материалов         Механические   свойства   материалов   устанавливают   опытным   путем,   испытывая образцы на растяжение. Затем диаграмму растяжения перестраивают в координатах  11 и . Как видно из рис. 6, она имеет такой же вид, как и в координатах F, Δl (см. рис. 4), но эта кривая будет характеризовать уже не свойства образца, а свойства материала. Отметим на этой диаграмме характерные точки. Наибольшее  значение напряжения, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности σп. Упругие   свойства   материала   сохраняются   до   значений   напряжения,   называемого пределом   упругости.  Под   пределом   упругости  σу  понимается   такое   наибольшее значение напряжения, до которого материал не получает остаточных деформаций. На   практике   предел   пропорциональности   и   предел   упругости   трудно   поддаются замеру, поэтому значения  п  и  у  в справочные данные по свойствам материалов обычно не включаются. Более определенной  характеристикой   является  предел   текучести.  Под пределом текучести понимается такое значение напряжения, при котором рост деформации происходит без заметного увеличения нагрузки. В  тех случаях, когда на диаграмме отсутствует  явно   выраженная   площадка   текучести,   за   предел   текучести   условно принимают   такое   значение   напряжения,   при   котором   остаточная   деформация составляет 0,2%. В этом случае условный предел текучести будет обозначаться через σ0,2  .Если   необходимо   отличить   предел   текучести   при   растяжении   от   предела текучести при сжатии, то в обозначение вводится дополнительный индекс «р» или «с» (σтр  и   σтс).   Предел   текучести   легко   определяется   экспериментально,   поэтому   он является одной из основных механических характеристик материала Что  такое  предел  упругости  и  предел текучести ,  и  от чего  они  зависят?  Отношение   максимальной   силы,   которую   способен   выдержать   образец,   к   его начальной   площади   поперечного   сечения   называется  пределом   прочности,  или временным сопротивлением разрыву ­ σвр  (сжатию ­ σвс). Следует заметить, что σвр  не является тем значением напряжения, при котором разрушается образец. Фактическое напряжение, при котором образец Рис. 6 12 Фактическое напряжение, при котором образец разрушается, будет больше, так как площадь   поперечного   сечения   в   этот   момент   меньше   первоначальной   площади вследствие   образования   шейки   (на   диаграмме   напряжение   подсчитывается относительно   первоначальной   площади   поперечного   сечения   образца).   Значение  σвр является   сравнительной   характеристикой   прочностных   свойств   материалов   и   часто используется при расчетах. При испытаниях на растяжение определяется еще одна характеристика материала ­ так называемое удлинение при разрыве    %.δ Удлинение   при   разрыве   представляет   собой   значение   средней  остаточной деформации, которая образуется к моменту разрыва на  определенной стандартной длине образца. За стандартную длину образца принимают либо  l0 = 10 d, либо l0 = 5d,  где d ­ диаметр образца. До  какого  значения  напряжения  справедлив  закон  Гука?    Значения   механических   характеристик   некоторых   наиболее   часто   встречающихся материалов приведены в табл. 1. Используя тбл.1   объясните, как   от значения напряжения зависит   удлинение       образца.   Таблица 1. Материал Напряжение, Н/мм2 σтр σтс σвр σвс Е ,  Н/мм2 δ % l0 =5d μ Сталь малоуглеродистая Сталь 30 незакаленная Сталь 30 закаленная Сталь 45 незакаленная Сталь 45 закаленная Сталь У8 незакаленная Сталь У8 закаленная Сталь 30ХГС закаленная 250 330 250 330 390 530 030 900 1100 370 370 620 1040 970 1080 250 430 630 700 700 1100 Сталь 40ХНВ закаленная 1400 1400 1620 1720 2100 2050 13 2,0?105 2,0?105 2,0?105 2,0?105 2,0?105 2,0?105 2,0?105 2,0?105 2,0?105 42 28 11 24 13 25 16 10 10 0,25... ...0 ,35 Чугун серый СЧ28 Титан технический Медь отожженная Медь прутковая Латунь Бронза Алюминий Дюраль Текстолит 140 520 55 250 330 110 50 340 75 310 520 55 250 330 110 50 340 115 150 600 220 320 450 136 84 540 127 640 0,7?105 1,1?105 1,1?105 1,1?105 1,2?105 1,2?105 0,7?105 0,75?105 0,03?105 168 0,6 23 46 15 17 7,5 35 13 1,5 0,34 0,26….... 0,36 1.4. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии           Размеры   элементов   конструкции   следует   подбирать   так,   чтобы   обеспечить   их прочность   в   работе   при   наименьшей   затрате   материала.   На   основании   анализа конструкции   выявляется   та   точка,   где   возникают   наибольшие   напряжения   σнаиб. Найденное значение напряжения сопоставляется с допустимым значением напряжения для данного материала и конструкции.     Когда   конструкция   находится   в   стадии   проектирования,   то   задаются коэффициентом   запаса   п.  Он   назначается   из   конкретных   условий   работы рассчитываемой   конструкции.   В   каждой   области     техники   уже   сложились   свои традиции,   свои   требования   и   специфика   расчетов.   Например,   при   проектировании строительных   сооружений,   рассчитанных   на   долгие   сроки   эксплуатации,   запасы принимаются довольно большими (пв = 2...5). Индекс «в» показывает на то, что запас вычисляется от предела прочности σв. В авиационной технике, где на конструкцию накладываются ограничения по массе, коэффициенты запаса также определяются по пределу прочности, но составляют пв ­ 1,3... 2,0. Значение   коэффициентов   запаса   зависит   и   от   свойств   материала.  В   случае пластичного   материала   коэффициент  запаса  берется  от  предела   текучести (пТ = 1,5...2,0),   а   для   хрупких   материалов   запас  рассчитывается   от   предела   прочности   и принимается пъ = 2,5...4,0. Назначив   коэффициент   запаса,   для   данного   элемента   конструкции   рассчитывают допускаемое напряжение    в n в  Т n T           или       Выбрав допускаемое напряжение, составляют условие            (1.11) σнаиб ≤ [     σ  ]            (1.12)   ­  допускаемое  продольное  напряжение; где           σт  ;  σв ­  напряжение  текучести  и выносливости           материала. из которого определяют размеры проектируемого элемента. 14 Для  чего  вводится  понятие  допускаемого напряжения? 1.5. Срез и смятие Напряжения и деформации при сдвиге (срезе).  Ранее    уже  упоминалось,  что в ,  σ так   и   касательные поперечном   сечении   могут   возникать   как   нормальные   .τ   Если к короткому брусу, жестко заделанному одним концом в стену напряжения  (рис.7, а),перпендикулярно к оси бруса приложить силу F, то в поперечных сечениях возникнет   внутренняя   поперечная   сила  Q  в   плоскости   сечения,  а   следовательно,   и касательное напряжение    τ = Q/S.         (1.13) где  τ – касательное напряжение ;        Q – поперечная сила  в  сечении бруса;         S – площадь сечения участка . Рис. 7 Параллельные сечения бруса сдвигаются относительно друг друга (рис.7, б) так, что  γ с   горизонталью.   Установлено,   что   касательное верхняя   грань   образует   угол   напряжение τ прямо пропорционально угловой деформации  :γ                       τ = G γ.                       (1.14) Эта зависимость выражает  закон Гука для сдвига.  Явление среза можно наблюдать, если стальную полосу или бумагу перерезать ножницами, а также в случае, если к 15 клепаному   соединению   приложена   сила,   большая,   чем   та,   на   которую   данное соединение было рассчитано. На рис. 8 показано, что силы F приложены в плоскости сечений; они вызывают деформацию сдвига, и может произойти  срез заклепки. Вот почему сдвиг часто называют срезом. Модуль упругости при сдвиге зависит от модуля упругости   I   рода Е: G  E 1(2  )          (1.15) Если известны Е и μ , то модуль упругости при сдвиге можно определить. Например, для стали 30  Е = 2 ∙ 105 Н/мм2, μ = 0,3 , следовательно, G  10  2 5   )3,01(2  77,0  10 5 ( Н / 2 мм ) Подчеркнем, что сдвиг ­ это напряженное состояние. Если возникшие при сдвиге деформации находятся  в  пределах  упругости,  то  после  снятия  нагрузки  размеры  и форма детали восстанавливаются. Если же деформации превысили предел упругости, то   наблюдаются   пластические   деформации.   После   снятия   нагрузки  остается намеченное место среза. По достижении предельных напряжений произойдет срез. Как  вы  понимаете  деформацию  сдвига  и что такое  модуль  упругости  при сдвиге?     Рис. 8 Смятие.  При сжатии двух тел возникает опасность смятия этих плоскостей. Напряжения,   возникающие   на   контактирующих   поверхностях,   называются напряжениями смятия.  Смятие имеет место в заклепочных и болтовых соединениях. Напряжение смятия определяют по формуле: F см S см                (1.16) где   F ­ сила, с которой сдавливаются контактирующие          поверхности,         Sсм ­ площадь смятия.  16 Если   поверхность   смятия   является   криволинейной,   то   площадь   смятия   такой поверхности   вычисляется   как   площадь   проекции   этой   поверхности   на   плоскость, перпендикулярную к линии действия сминающей силы. Объясните сущность  деформации  смятия.   1.6. Кручение Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент. Прочие внутренние силовые факторы (нормальная и поперечные силы, изгибающие моменты) равны нулю. Рассмотрим кручение круглого бруса (рис. 9). К круглому брусу, жестко заделанному в стенку, на свободном торце приложен крутящий момент М.  В   результате   этого   брус   деформируется:   смежные   сечения   поворачиваются относительно друг друга, образующая ОВ искривляется и занимает положение ОС. При описании кручения принимаются следующие допущения и правила:  ось бруса не деформируется;  поперечные сечения, плоские до деформации, после деформации также остаются плоскими;  продольные   волокна   не   изменяют   своей   длины   (угол   у   настолько   мал,   что изменением длины можно пренебречь);  радиусы  r  поперечных   сечений   остаются   прямыми   после   деформации, поворачиваясь на некоторый угол φ;  для   внутренних   крутящих   моментов   принято   следующее   правило   знаков:   если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит внутренний крутящий момент Мкр направленным против хода часовой стрелки, то момент считается положительным. Таким   образом,  при   кручении   в   поперечном   сечении   бруса  возникают   касательные напряжения (чистый сдвиг). Существуют понятия угла закручивания φ и относительного угла закручивания  :γ                                                                   (1.17)  l Касательные напряжения  τ  при кручении распределяются по сечению неравномерно: в центре   они   равны   нулю,   а   на   максимальной   окружности   поперечного   сечения   ­ максимальному значению τmax. 17 Рис 9 Поэтому   расчет   ведется  по  τmax  .Значение   касательного   напряжения   зависит   от внутреннего   крутящего   момента   и   геометрической     характеристики   поперечного сечения:  max M W кр p                      ( 1.18) pW   ­ есть  полярный  момент  сопротивления  сечения  где   Для  сплошного  поперечного  сечения  диаметром  D:                                                    Wp = 0,2 D3                                (1.19) Для  кольцевого сечения  (полый  вал):                        Wp = 0,2 D3( 1 – d4/D4)               (1.20) где  d – внутренний  диаметр  отверстия ;          D – внешний  диаметр вала. Какие  внутренние  силовые  факторы  вызывают деформацию  кручения ,  и  какие  напряжения  возникают  в  сечении?  Построение эпюр.  При кручении, как и при растяжении, строят эпюры внутренних силовых факторов ( Mкр крутящих моментов), напряжений (τmax) и перемещений (углов закручивания  ).φ 18 Построение эпюры Мкр. Всю длину бруса (рис. 10) разобьем на два участка. На эпюре внутренних силовых факторов в сечениях, где приложены внешние силы, будут скачки, равные приложенным нагрузкам (в данном случае ­ крутящим моментам). Применяя метод сечений с учетом правила знаков для крутящих моментов, строим эпюры Мкр. На рис. 2.10 для изображения внешних моментов применено условное обозначение в виде кружков: кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком ­ силу, направленную от наблюдателя. Рис. 10 Построение эпюры τmax .   Всю длину бруса разбиваем на три участка; на каждом из них Мкр и Wp сохраняют постоянное значение. Затем подставляем в формулу  (1.18)    τmax =Mкр /Wp  соответствующие значения Мкр и Wp:  на I участке            М кр  WМ ; p  )2(2,0 d 3  6,1 d 3 ;  max  M 6,1 d 3 ; на II участке     19 WМ ; кр М      на II участке         ;  М кр  2,0 d 3 ; p  max 5 M  3 d ; 2 WМ  2,0 d 3 ; p  max  M 3 ; 10 d Поскольку все внутренние крутящие моменты имели положительный знак, то и все касательные напряжения будут положительны при построении их на эпюре τmax Построение эпюры  висимость, по которой будем   определять   углы   закручивания  φ.   На   основании   закона   Гука   для   сдвига запишем   выражение   для   максимального   касательного   напряжения   в   поперечном сечении круглого бруса, по  аналогии с   формулой  для  сдвига  (1.14) : φ . Прежде всего, необходимо установить за τmax = G γ. От  чего  зависит  построение  эпюры  касательных напряжений  при  кручении? Из рис. 9 видно, что при кручении образующая цилиндра ОВ поворачивается на угол у и занимает положение ОС. При этом дуга ВС равна γl; глядя на поперечное сечение по стрелке А, можно записать, что та же дуга ВС равна φr. Следовательно,       γl = φr         откуда                                                 (1.21) r l Подставляя найденное значение  в закон Гука, получим                            G r                    (1.22)  l С другой стороны,          М W кр p ,      следовательно,  Выразим отсюда угол закручивания                                               кр lM rWG p                   (1.23) М W кр p  G  l r Величину Wpr  называют полярным моментом инерции сечения и обозначают Jp. Полярный момент инерции для сплошного круглого бруса                              Jp   0,1 ≈ D4                   (1.24) для полого круглого бруса                                           J p  1,0 D   4 1   4 4 d D                   (1.25) Теперь угол закручивания  запишем в виде 20  lM кр JG p                        (1.26) Произведение GJp называют жесткостью бруса при кручении. Что  такое  полярный  момент  инерции сечения  и что  он  характеризует?   Итак, получена зависимость, по которой можно опреде­лять углы закручивания  бруса.  Определять угол закручивания по этой зависимости можно только при условии, что  на длине  l  все входящие в эту формулу величины ­ Мкр  , Jp   и  G­ постоянные.  Переходим   к   построению   эпюры   угловых   перемещений.   Вал   по   длине   эпюры разбиваем на четыре участка. Так же, как и при построении эпюры перемещений при растяжении,   начинаем   строить   эпюру   от   неподвижного   сечения,   т.е.   от   жесткой заделки. В конце первого участка угол закручивания будет  lM  )2(1,0 d В конце II участка угол закручивания lM крI JG  G pI I 4  G lM  6,1 d 4  lM JG В конце III участка крII pII II I  lM  dG 6,1  4 lM  dG 1,0 4  6,10 dG lM 4  III II крIII lM JG pIII  6,10 dG lM 4  2 lM  dG 1,0 4  6,30 dG lM 4 На IV участке угол закручивания будет равен углу закручивания φIII, так как на этом участке отсутствуют внутренние крутящие моменты. Вычисленные угловые перемещения откладываем на  эпюре  Объясните,  как  построить эпюру  углов  закручивания  деформируемого бруса. .φ 1.7. Прямой поперечный изгиб Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса   возникают   изгибающие   моменты.   Если   изгибающий   момент   является единственным  силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют,  то такой изгиб называется чистым. В большинстве случаев в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающими моментами возникают поперечные  силы. В этом случае изгиб называют поперечным. Брус,   работающий   в   основном   на   изгиб,   называется   балкой.  На   балку   могут действовать  сосредоточенные  силы и силы и моменты, а также  распределенные  по 21 длине. Например, на рис. 11   F ­ сосредоточенная сила,   М ­ сосредоточенный Рис .11 момент; на участке а приложена распределенная нагрузка от нуля до qmax. Что   такое     изгиб?   При   описании   явления   изгиба   используют  геометрические   характеристики поперечного сечения,  учитывающие распределение  материала по высоте сечения:  Jx  ­ момент инерции  сечения относительно главной оси, перпендикулярной  к плоскости изгибающего момента; Wx ­ момент сопротивления сечения при изгибе,                           Wx = Jx/ymax,                     (1.27) где  ymax  ­   координата   точки,   наиболее   удаленной   от  нейтральной   линии   бруса (см.рис.12,б). Например, для прямоугольного сечения J x  3 hb 12 ; W x  2 hb 6            (1.28) где  b ­ ширина;         h ­ высота сечения;  для круглого поперечного сечения J x  4  D 64 ; W x  3  D 32  1,0 D 3     (1.29) где D ­ диаметр сечения. Что называется  геометрической  характеристикой   сечения?      Анализ внутренних силовых факторов начинается с определения полной системы внешних   сил.   Рассмотрим   некоторые   характерные   примеры   и   установим   правила определения изгибающих моментов и поперечных сил. 22 На  рис. 12,  а  показана простейшая двухопорная балка, нагруженная силой  F. Освобождаем   балку   от   связей   и   заменяем   их   действие   реакциями.   Опора  А представляет собой невесомый стержень, поэтому реакция  RA  пойдет вдоль него. В шарнире  В  реакцию раскладываем на две составляющие. Несмотря на то, что выбор системы координат, безусловно, произволен, в сопротивлении материалов принято ось z направлять вдоль бруса; оси х и у должны лежать в плоскости, перпендикулярной к этой оси, причем  поворот от оси  х  к оси  у  должен происходить против хода часовой стрелки, Рис.12.   если смотреть с конца оси  z  (рис. 12,  б).  Начало отсчета для осей располагается в центре тяжести поперечного сечения. В этом случае оси  х п у  называются  главными центральными осями поперечного сечения. Составим уравнения равновесия для плоской системы сил и определим неизвестные реакции связей. Неизвестных величин три   RA,  YB,  ZB.  Уравнений статики тоже три, следовательно, задача статически определимая:  Σ Fiy = 0;  +RA – F + YB = 0   Σ Fiy = 0;    + ZB = 0 23 ΣmomB (Fi) = 0 ; ­ RJ + F(l – a) = 0  Отсюда находим реакции опор: ZB=0; RA=F(l­a)/l; YB=Fa/l Теперь приступим к выявлению внутренних силовых факторов в поперечных сечениях бруса.   Для   этого   между   точками   приложения   внешних   сил   и   моментов, воспользовавшись   методом   сечений,   составляют   уравнения   равновесия   отсеченных частей. Так, в конкретном примере необходимо делать сечения дважды: на расстоянии z, и  z2  от левой опоры. На рис. 12, в показано, как рассечен брус на расстоянии  z,. Следует обратить внимание на то, чтобы внутренние силовые факторы в поперечном сечении левой и правой частей были обязательно противоположны по направлению. Из   предыдущего   материала   уже   известно,   что   внутренние   силовые   факторы определяются   из   уравнений   равновесия   отсеченных   частей.   Следует   условиться   о знаках поперечных сил и моментов. Рис.13. Существует   несколько   способов   определения   знака   изгибающего   момента   в поперечном сечении.  1. По знаку кривизны изогнутого бруса (рис.13, а). Очевидно, знак будет зависеть от выбранной системы координат. Если ось у направить в противоположную сторону, то знаки Мтг изменятся на противоположные.  2. Чаще всего при построении эпюр изгибающих моментов знак момента не зависит от выбранной системы отсчета, а ордината откладывается на сжатом волокне, т. е. в сторону вогнутости изогнутой оси бруса (рис. 13, б).   3.   Если   трудно   представить,   как   будет   выглядеть   изогнутая   ось   бруса,   то составляют сумму моментов сил, действующих на левую отсеченную часть бруса. Если равнодействующий момент всех сил, действующих на левую часть, будет направлен по часовой стрелке, то ордината изгибающего момента откладывается на эпюре вверх, т.е. момент. в поперечном сечении действует против часовой стрелки, а брус изгибается вогнутостью вверх, следовательно, ордината будет отложена на сжатом волокне. Если 24 же   сумма   моментов,   действующих  слева   от  сечения,  направлена  против   часовой стрелки, то изгибающий момент откладывается вниз (рис. 13, б). Для сил, лежащих справа от сечения, имеет место обратная зависимость. Правило определения знака для поперечных сил: если равнодействующая внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, направлена вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, а если вниз, то поперечная сила отрицательна. В сечении на расстоянии zx от начала координат (т.е. в левой части бруса от сечения, см.   рис.   12,  в)  поперечная   сила  Q  имеет   положительный   знак   и   на   эпюре   будет откладываться вверх. При рассмотрении равновесия правой отсеченной части для сил, лежащих справа от сечения, имеет место обратная зависимость. Чтобы легче усвоить правила определения знаков, желательно рассматривать равновесие, например, всегда левой   части   бруса.   При   построении   эпюр   изгибающих   моментов   и   поперечных   сил будет показан способ проверки правильности выбора знаков поперечных сил. По  каким  принципам определяется  знаки  изгибающих  моментов. Построение   эпюр   изгибающих   моментов   и   поперечных   сил  осуществляется   в следующей последовательности: 1) определяют реакции опор;  2)   выявляют   в   поперечных   сечениях   бруса   все   внутренние  силовые   факторы   (их значение и знак); 3) строят эпюры. Построим эпюры для балки, представленной на рис. 12, используя полученные ранее вычисления. 1.Определяем реакции опор. Составляем уравнения равновесия плоской системы сил:                         RA=F(l­a)/l;   YB=Fa/l. 2.Определяем внутренние изгибающие моменты в поперечных сечениях балки. Для этого рассматриваем равновесие отсеченной левой части (рис. 12, в):  в сечении z1 mom c               ( F i )  ;0  MzR  A 1  0 изг М изг  zR A 1   alF  l  z 1      для  0 ≤ z1 ≤ a           в сечении z2             mom c  F i ) (  изг A 2   ;0 zR      для  a ≤ z2 ≤ l       Ma a 3.Определяем поперечные силы в сечении z1                                              Σ Fiy = 0;  RA – Q = 0   zF  zF zR A  М   2  2  2  0 изг      Отсюда         Q = RA=F(l­a)/l;      в сечении z2                   Отсюда         Q = Fa /l.  Σ Fiy = 0;  RA – F + Q = 0   25 4.Строим эпюры изгибающих моментов. Эпюра Мизг в пределах 0 ≤ z1 ≤ а имеет линейную зависимость. Задаемся z1 = 0, при этом Мизг = 0. Откладываем эту точку на эпюре (рис. 14).  Далее при z1 = а;      Мизг = F(l­a)a/l В пределах a ≤z2 ≤ l получаем:  при z2 = a   Мизг = F(l­a)a/l;   При  z2 = l   Мизг = 0.  Откладываем   эти   ординаты   (они   построены   на   сжатом   волокне)   и   соединяем линиями.   Следует   заметить,   что   на   втором   участке   можно   было   ординаты   не вычислять, так как в шарнирной опоре В момент не может возникать, и поэтому на эпюре нужно сразу отложить 0. 5.  Строим эпюры поперечных сил. Как было выявлено в п. 3, поперечные силы постоянны на каждом из двух участков, поэтому   откладываем   подсчитанные   значения   с   учетом   знаков.   Нужно   обратить внимание, что в точке приложения внешней силы должен быть скачок, равный прило­ женной силе. Рис.14 Кроме того, можно проверить правильность установленных знаков поперечных сил. Тангенс угла наклона линии  Мизг  на эпюре изгибающих моментов показывает на знак поперечной силы. Если угол острый, то тангенс положительный, а следовательно, и поперечная   сила   имеет   знак   плюс.   Если   угол   наклона   линии   с   осью  z  тупой,   то поперечная сила отрицательная. Сопоставьте построенные эпюры Мизг и Q (см. рис. 14). Объясните  принципы  построения  эпюр  поперечных  сил  и  изгибающих  моментов 26 при  изгибе  бруса.         Напряжения в брусе при прямом чистом изгибе. Чистый изгиб в брусе может иметь место по всей длине бруса аb (рис. 15, а) или только на его части ab (рис. 15, б). При чистом изгибе в брусе возникают напряжения, непостоянные по высоте поперечного сечения. Из рис. 2.16 видно, что при изгибе бруса напряжение меняется от  +σтaх  до ­σmaх. Следовательно, в поперечных сечениях есть недеформируемые точки, которые образуют нейтральную линию, проходящую через центр тяжести поперечных сечений. Если   изменение   кривизны   бруса   происходит   в   плоскости,  в   которой   действует изгибающий момент, и эта плоскость проходит через главные оси сечения, то такой изгиб называется прямым. При прямом чистом изгибе Mmax W изг x       (1.30) Расчет на прочность при изгибе по методике аналогичен расчетам на прочность при растяжении и кручении. Подсчитываются напряжения в сечениях по длине бруса и из них (по эпюре напряжений) выбирается наибольшее. После чего из условия сжр ,             ( 1.31)               max  наиб    определяются геометрические размеры  поперечного  сечения бруса. Рис. 15  Рис. 16 Пример 2 Определить   диаметр   круглого   поперечного   сечения   бруса,   нагруженного изгибающим моментом М = 600 кНм (см. рис. 15, а), если допускаемое напряжение 27 [ ]σ р = 160 Н/мм2. Решение. 1. Поскольку   эпюра   изгибающих   моментов   уже   известна,   а   брус   имеет   по­ стоянное поперечное сечение, то определяем момент сопротивления WW  y x M    изг р   100 6000000 160  375000 ( 3мм ) 2. Определяем диаметр круглого бруса:        D 375000 1,0  Wx D ;  1,0 D 3 ; 3  10 3 3750  155 ( ) мм Какие  напряжения  возникают  в  поперечном   сечении  при  изгибе ?  1.8. Устойчивость при осевом нагружении стержня Под устойчивостью понимается свойство системы самостоятельно восстанавливать свое   первоначальное   состояние   после   того,   как   ей   было   сообщено   некоторое отклонение от положения равновесия. Если система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой (говорят, что произошла потеря устойчивости). Система, потерявшая устойчивость, может вести себя по разному, но переход к новому положению   равновесия   сопровождается   большими   перемещениями.   Классическим примером   неустойчивого   равновесия   является   равновесие   шарика   на   выпуклой поверхности (рис. 17, а). Малейшее отклонение от этого положения приведет к тому, что шарик скатится вниз (рис.17,  б, в).  Попав в вогнутую поверхность, шарик будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. Если теперь его вывести из этого состояния, отклонив влево или вправо, он вернется в первоначальное положение. Явление   потери   устойчивости   можно   наблюдать   для   упругих   тел  на   целом   ряде примеров.   Наиболее   простым   случаем   является   потеря   устойчивости   центрально сжатого   стержня   (рис.   18).   При   достаточно   большой   силе   стержень   не   сможет сохранить прямолинейную форму и изогнется. Произойдет потеря устойчивости. Рис..17                  Рис. .18 Тонкостенная   труба,   нагруженная   внешним   давлением,   также   может   потерять устойчивость. При этом круговая форма сечения переходит в эллиптическую, и труба сплющивается. 28 Что  такое  устойчивость? Впервые задача об устойчивости стержня была поставлена и решена Л. Эйлером в середине  XVIII  в.   Поэтому,   когда   речь   идет  об   устойчивости   сжатого   стержня, употребляют выражение «устойчивость стержня по Эйлеру». Эйлер определил значение первой критической (эйлеровой) силы для продольно сжатого стержня с шарнирным опиранием (рис. 19):                Fкр   2 l JЕ 2               ( 1.32) По достижении критической силы  Fкр  прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Продольно сжатые стержни необходимо проверять на устойчивость. Особенно опасен этот вид деформации при сжатии длинных стержней с небольшим осевым моментом инерции J. Как  определяется  эйлерова  сила? Рис.19 1.9. Расчет бруса на совместное действие кручения и изгиба Детали   машин   очень   часто   работают   при   совместном   действии   изгибающих   и крутящих моментов (например, валы редукторов и коробок скоростей). Чтобы можно было сравнить два сложных напряженных состояния, вводится понятие эквивалентного напряжения. Эквивалентное напряжение σэкв ­ это такое напряжение, которое следует создать в растянутом   образце,   чтобы   его   напряженное   состояние   было   равноопасно   с заданным. Если значение σэкв  найдено, то задачу  о мере  опасности сложного напряженного состояния можно считать решенной. Коэффициент запаса При совместном действии кручения и изгиба эквивалентное напряжение n   Т  экв           (1.33) 29  экв   2   2 4     изг М W x 2      4   M W кр p 2          (1.34) По  какому  напряжению  ведется  расчет  бруса  на  который  действуют   одновременно  изгибающий  и  крутящий  момент? Вопросы и задания по разделу «Сопротивление  материалов» 1. Что  изучает  сопротивление  материалов? 2. Чем отличаются упругие деформации от остаточных? 3. Расскажите о методе сечений. 4. Перечислите  все  внутренние  силовые  факторы  возникающие  в  сечении  бруса. 5. Запишите закон Гука при растяжении (сжатии). 6. Что такое относительное удлинение,  от чего  оно зависит? 7. Какие эпюры необходимо построить, чтобы выполнить расчет на  прочность при растяжении? 8. Какая  зона  на  диаграмме  растяжения  сжатия является  зоной   упрочнения и  почему?   9. Что такое предел упругости и предел текучести,  от  чего  они  зависят?    10.До какого значения напряжения справедлив закон Гука? 11.Используя тбл.1  объясните, как  от значения        напряжения зависит  удлинение  образца?   12.Для чего вводится понятие допускаемого      напряжения? 13.Как  вы  понимаете  деформацию  сдвига  и что  такое  модуль  упругости  при  сдвиге?   14.Объясните сущность  деформации  смятия.           15.  Какие  внутренние  силовые  факторы        вызывают деформацию  кручения,    какие       напряжения  возникают  в  сечении? 16. От  чего  зависит  построение  эпюры      касательных напряжений  при  кручении? 17. Что  такое  полярный  момент  инерции сечения,   что  он   характеризует? 18. Объясните,  как  построить эпюру  углов  закручивания  деформируемого  бруса. 19. Что   такое     изгиб? 20. Что называется  геометрической  характеристикой   сечения? 21. По  каким  принципам определяется  знаки  изгибающих  моментов. 22. Объясните  принципы  построения  эпюр  поперечных  сил  и  изгибающих   моментов  при  изгибе  бруса.    23. Что такое устойчивость? 30 24. Как  определяется  эйлерова  сила? 25. По какому напряжению ведется расчет бруса, на который действуют  одновременно изгибающий и крутящий моменты? Вереина Л.И.   Техническая механика: учебник  для среднего проф. образов. – М.:  Издательский  центр «Академия»,2011. – 288с. Литература. Аркуша А.И. Техническая механика: учеб. для средних спец. учеб. Заведений –  М.:Высш.шк.,2012. – 352с.: ил; Олофинская В.П. Техническая  механика: Курс лекций с вариантами практических   заданий: учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА­М, 2012. – 349с., ил. –  ( Профессиональ­ное  образование)    31 ТЕХНИЧЕСКАЯ  МЕХАНИКА Раздел «Сопротивление материалов» Учебно­методическое  пособие №2   для  самостоятельной работы студентов специальности  23.02.03 «Техническое обслуживание  и ремонт автомобильного транспорта»  Составил:  преподаватель  технических дисциплин Канд. пед. наук. Наумов  О. Е. Редактор: канд. техн. наук Старчакова О.К.   ГБПОУ ВО  « Воронежский  государственный   промышленно ­ технологический   колледж » г. Воронеж, ул. 9 – го Января, д. 268 32