Тема: «Степенная функция».

Степенная функция функция f (x) = ха, где а — фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. xa. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а — рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то xa не имеет действительного значения ни при каком х < 0. При х = 0 степенная функция xa равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0° определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для х > 0 С. ф. — возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0. С. ф. непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки х = 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (xa)' = axa-1. Далее, , при a ≠ -1; , при a ≠ -1; в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции. в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.